《1.2 一定是直角三角形吗》同步习题 2020-2021学年北师大版数学八年级上册

《1.2 一定是直角三角形吗》同步习题2020-2021年数学北师大

新版八（上）

一．选择题（共10小题）

1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A．三内角之比为1:2:3 B．三边长的平方之比为1:2:3

C．三边长之比为3:4:5

D．三内角之比为3:4:5

2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A．6，12，8

B．7，24，25

C．1.5，2，2.5

D．9，12，15

3．下列各组数中，是勾股数的为( ) A．1，2，3

B．4，5，6

C．3，4，5

D．7，8，9

4．下列各组数据不是勾股数的是( ) A．2，3，4

B．3，4，5

C．5，12，13

D．6，8，10

5．在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是( )A．如果CBA，则ABC是直角三角形

B．如果c2b2a2，则ABC是直角三角形 C．如果A:B:C1:2:3，则ABC是直角三角形 D．如果a2b2c2，则ABC不是直角三角形 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．1.5，2，2.5

B．4，5，6

C．2，3，4

D．1，2，3

7．下列数据能作为直角三角形三边长的是( ) A．6，7，8

B．1，3，2

C．5，12，14

D．7，24，26

8．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是( ) A．1，2，3

B．2，3，4

C．4，5，6

D．5，13，12

9．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是( ) A．1，2，3

B．2，3，4

C．3，4，5

D．4，5，6

10．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( ) A．2，4，5

B．6，8，11

C．5，12，12

D．1，1，2 二．填空题（共10小题）

1

11．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则BACDAE ．

12．若一个三角形的三边满足c2a2b2，则这个三角形是 ．

13．下列各组数：①1、2、3；②2，2，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是 （填序号）．

14．三个正整数a，b，c，如果满足a2b2c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如324252，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ．

15．一个三角形的三边的比是3:4:5，它的周长是36，则它的面积是 ．

16．如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE （点A，B，C，D，E是网格线交点）．

17．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则12 度．

18．若8，a，17是一组勾股数，则a ．

19．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 ．

20．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11， ；

2

（2）若第一个数用字母a(a为奇数，且a3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么

321521721，表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4，，，1224222a21

于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为 ．

2

三．解答题（共8小题）

BD5cm． 21．如图，已知等腰ABC的底边BC13cm，且CD12cm，D是腰AB上一点，

（1）求证：BDC是直角三角形； （2）求ABC的周长

22．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．

23．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：

1 2 3 4  a 312 523 b c 5221 13431 4212 12223 734 945 24234 40245 25641 41851    3

n a b c （1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上） （2）你能发现a，b，c之间的关系吗？ （3）你能用以上结论解决下题吗？

201922020210092(202010091)2

24．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB5km，BC12km，AC13km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

BC15cm，CD7cm，AD24cm，ABC90．25．如图，在四边形ABCD中，AB20cm，

（1）求ADC的度数； （2）求出四边形ABCD的面积．

26．如图，在四边形ABCD中，ABBC2，CD3，DA1，且ABBC于B． 求（1）BAD的度数； （2）四边形ABCD的面积．

27．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．

4

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；

（2）若第一个数用字母a(a为奇数，且a3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么

321521721表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4，12，24，

222a21于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为 ；

2（3）用所学知识加以说明．

28．已知：整式A(n21)2(2n)2，整式B0．尝试化简整式A．发现AB2．求整式B． 联想由上可知，B2(n21)2(2n)2，当n1时，n21，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值； 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ 勾股数组Ⅱ n21 2n B 35 8

5

参

一．选择题（共10小题）

1．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30，60，90，所以此三角形是直角三角形；

B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；

C、324252，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；

D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45，60，75，所以此三角形不是直角三

角形； 故选：D．

2．解：A、6282122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．

B、72242252，符合勾股定理的逆定理，故错误；

C、1.52222.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；

D、92122152，符合勾股定理的逆定理，故错误；

故选：A．

3．解：A、错误，12225329，不是勾股数；

B、错误，4252416236，不是勾股数；

C、正确，

3242255225，是勾股数；

D、错误，72821139281，不是勾股数．

故选：C．

4．解：A、123242，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；

B、324252，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

C、52122132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

D、6282102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

故选：A．

5．解：A、CBA，即ABC，又ABC180，则C90，那么ABC是直角三角形，说法正确；

B、c2b2a2，即a2c2b2，那么ABC是直角三角形且B90，说法正确；

C、A:B:C1:2:3，又

ABC180，则C90，则ABC是直角三角

形，说法正确；

6

D、a3，b5，c4，325242，但是324252，则ABC可能是直角三角形，故

原来说法错误． 故选：D．

6．解：A、1.52222.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；

B、425262，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

C、223242，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

D、12(2)232，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

故选：A．

7．解：A、627282，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；

B、12(3)222，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；

C、12252142，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；

D、72242262，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；

故选：B．

8．解：A、1222532，故不能组成直角三角形，错误；

B、22321342，故不能组成直角三角形，错误；

C、42524162，故不能组成直角三角形，错误；

D、52122169132，故能组成直角三角形，正确．

故选：D．

9．解：A、122232，不能构成直角三角形，故此选项错误；

B、223242，不能构成直角三角形，故此选项错误；

C、324252，能构成直角三角形，故此选项正确；

D、425262，不能构成直角三角形，故此选项错误．

故选：C．

10．解：A、22422052，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、6282100112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、

52122169122，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、12122(2)2，能够构成直角三角形，故本选项符合题意．

故选：D．

二．填空题（共10小题）

7

11．解：如图所示，把ADE移到CFG处，连接AG，

此时DAEFCG，

CF//BD， BACFCA，

BACDAEFCAFCGACG，

设小正方形的边长是1，

由勾股定理得：CG2123210，AC2AG212225， AC2AG2CG2，ACAG，

CAG90，

即ACG是等腰直角三角形，

ACG45， BACDAE45，

故答案为：45． 12．解：c2a2b2， a2b2c2，

此三角形是直角三角形．

13．解：①1、2、3，因为123，无法组成三角形，所以不是勾股数；②2，2不是正整数，不属于勾股数； ③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数； ④因为92402412，所以9、40、41属于勾股数； 故答案为：④．

14．解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10． 故答案为6，8，10（答案不唯一）． 15．解：设三角形的三边是3x:4x:5x，

(3x)2(4x)2(5x)2，

此三角形是直角三角形，

8

它的周长是36，

3x4x5x36， 3x9，4x12，

三角形的面积12912， 故答案为：．

16．解：如图，连接CG、AG，

由勾股定理得：AC2AG212225，CG2123210， AC2AG2CG2，

CAG90，

CAG是等腰直角三角形， ACG45， CF//AB， ACFBAC，

在CFG和ADE中， CFADCFGADE90， FGDECFGADE(SAS)，

FCGDAE，

BACDAEACFFCGACG45，

故答案为：45．

17．解：由勾股定理得，AD222125，DE222125，AE2321210，则AD2DE2AE2，

ADE为等腰直角三角形，

DAE45，

9

GADEAF904545，

故答案为：45．

18．解：①a为最长边，a82172353，不是正整数，不符合题意； ②17为最长边，a1728215，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．

19．解：①0.620.8212，不是整数，不是勾股数； ②52122132，是勾股数； ③82152172，是勾股数； ④425262，不是勾股数； 其中是勾股数的组为2． 故答案为：2．

20．解：（1）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，

11，60，61；

故答案为：60，61；

（2）第一个数用字母a(a为奇数，且a3)表示，第二数为a212

，

则用含a的代数式表示第三个数为a21a21212， 故答案为：a21

2

．

三．解答题（共8小题）

21．（1）证明：BC13cm，CD12cm，BD5cm， BC2BD2CD2

BDC为直角三角形；

（2）解：设ABx，

ABC是等腰三角形， ABACx，

10

AC2AD2CD2

x2(x5)2122，

解得：x169， 10169234ABC的周长2ABBC210135． 22．解：ABC中，AC5.5米，BC4.5米，AB3.2米； AC230.25，BC220.25，AB210.24；

30.2520.2510.24，

不能做帐篷的支撑竿．

23．解：（1）由表中数据可得：a2n1，b2n(n1)，c2n(n1)1， 故答案为：2n1，2n(n1)，2n(n1)1； （2）a2b2c2，理由是：

a2n1，b2n(n1)，c2n(n1)1，

a2b2(2n1)2[2n(n1)]2[2n(n1)]24n(n1)1 c2[2n(n1)1]2[2n(n1)]24n(n1)1

a2b2c2；

（3）当2n12019时，n1009， 当n1009时，a220192，

b2[2n(n1)]22020210092c2[2n(n1)1]2[202010091]2，

a2b2c2；

201922020210092(202010091)2

0．

24．解：BC2AB212252169， AC2132169， BC2AB2AC2，

ABC90，

当BDAC时BD最短，造价最低

11

，

S1ABC2ABBC12ACBD， BDABBCAC6013km 601326000120000元． 答：最低造价为120000元．

25．解：（1）连接AC，在RtABC中，ABC90，

AB20，BC15，

由勾股定理可得：ACAB2BC220215225；

在ADC中，CD7，AD24， CD2AD2AC2，

ADC90；

（2）由（1）知，ADC90，

四边形ABCD的面积S120151ABCSACD2724234(cm22)．

26．解：（1）连接AC，

B90，ABBC2，

ACAB2BC222，BAC45，

又CD3，DA1，

AC2DA2819，CD29， AC2DA2CD2，

ACD是直角三角形， CAD90，

12

BAD4590135．

（2）四边形ABCD的面积

ABC的面积ACD的面积

12221212222． 27．解：（1）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，

11，60，61；

故答案为：60，61；

（2）第一个数用字母a(a为奇数，且a3)表示，第二数为a212

，

a2则用含a的代数式表示第三个数为1

2

，

故答案为：a21

2

；

3）a2(a212a42a2（12)4， (a212a42a212)4， a212a2(2)2(a12)2

又a为奇数，且a3，

，a2由a12，a21

2

三个数组成的数是勾股数． 28．解：A(n21)2(2n)2n42n214n2n42n21(n21)2，AB2，B0， Bn21，

当2n8时，n4，n2142115，n2142117； 当n2135时，n6（负值舍去），2n2612，n2137． 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组Ⅰ 15 8 17 勾股数组Ⅱ 35 12 37 故答案为：15，17；12，37． 13