湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2015-2016学年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=( ) A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}

2．若a=3a+1，b=ln2，c=log2sin

，则( )

A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

3．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为( )

A．n=4，S=30

B．n=4，S=45 C．n=5，S=30 D．n=5，S=45

4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为( ) ①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线． ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直． ③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线． ④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线． A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )

A．2

B．3 C．4 D．5

6．若将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移最小值是( ) A．

7．函数f（x）=

cosx，（﹣

＜x＜

B．

C．

D．

个单位，得到的图象关于y轴对称，则|ϕ|的

）的图象大致是( )

A． B． C． D．

8．已知直线Ax+By+C=0（其中A+B=C，C≠0）与圆x+y=4交于M，N，O是坐标原点，则•

=( )

2

2

2

2

2

A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．2

9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A． B．27 C．18 D．9

10．已知过原点O的直线与函数y=log9x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log3x的图象 交于C，D两点，当BC∥x轴时，A点的横坐标是( )

A．

B．2 C． D．3

11．已知平面向量、、满足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，则|的最大值是( ) A．

B．

C．

D．

|

12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N*）

内的所有零点的和为( ) A．n

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=x﹣4y的最大值为__________．

B．2n C．（2n﹣1）

D．（2n﹣1）

14．设二次函数f（x）=ax﹣4x+c（x∈R）的值域为上的最小值．

18．已知函数

（x∈是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒

2

成立，求实数m的取值范围．

19．如图直三棱柱ABC﹣A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．

（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；

（2）当三棱锥B﹣EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度．

（3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．

20．小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；

（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．

21．已知圆M的方程为x+（y﹣2）=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当的方程；

（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

22．已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2„+an﹣1b2+anb1=2n+1﹣n﹣2． （1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{bn}是等比数列； （2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

时，求直线CD

2

2

（3）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求证：

++„+＜．

2015-2016学年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=( ) A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．

【分析】进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：∁RB={1，5，6}；

∴A∩（∁RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}． 故选：B．

【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．

2．若a=3a+1，b=ln2，c=log2sin

，则( )

A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【考点】对数值大小的比较．

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=3，化为0＜b=ln2＜1，c=log2sin∴a＞b＞c， 故选：B．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为( )

＜0，

a+1

＞0，当0＜a≤3时不成立，∴a＞3．

A．n=4，S=30 B．n=4，S=45 C．n=5，S=30 D．n=5，S=45

【考点】程序框图． 【专题】图表型．

【分析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S＜24，即S=0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n，S值． 【解答】解：开始S=0时， S=0+3=3，n=2； S=3+6=9，n=3； S=9+9=18，n=4； S=18+12=30，n=5；

此时S＞24，退出循环，故最后输出的n，S的值分别为n=5，S=30． 故选C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．

4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为( ) ①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线． ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直． ③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线． ④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线． A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；推理和证明．

【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．

【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；

对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；

对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误； 对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确； 故选：C．

【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．

5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( ) A．2

B．3

C．4

D．5

【考点】系统抽样方法． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可． 【解答】解：系统抽样的抽取间隔为设抽到的最小编号x，

则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48， 所以x=3． 故选：B．

【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．

6．若将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移最小值是( ) A．

B．

C．

D．

个单位，得到的图象关于y轴对称，则|ϕ|的

=6．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】常规题型；三角函数的图像与性质．

【分析】先根据左加右减的原则将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移图象关于y轴对称，知函数为偶函数，结合诱导公式求出|ϕ|的最小值． 【解答】解：将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移

个单位后得到的图象对应函数为，

又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 故

所以|φ|的最小值为故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数图象的平移及三角函数的性质，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．三角函数奇偶性的转化结合诱导公式实现．

7．函数f（x）=

cosx，（﹣

＜x＜

）的图象大致是( )

，

，即

，

个单位，然后根据

A． B． C． D．

【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项． 【解答】解：﹣函数f（x）=

＜x＜

时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，

＜x＜

）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．

cosx，（﹣

∴四个选项，只有C满足题意． 故选：C．

【点评】本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．

8．已知直线Ax+By+C=0（其中A2+B2=C2，C≠0）与圆x2+y2=4交于M，N，O是坐标原点，则•

=( )

A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】本题是考查平面几何、向量、解析几何有关知识，先求出圆心到直线的距离，这样得到特殊的直角三角形，求出圆心角，根据圆的半径知道向量的模是2，代入数量积公式求解． 【解答】解：圆心O到直线Ax+By+C=0的距离

，

∴∴

•

=

，

，

故选C．

【点评】通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．

9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A． B．27 C．18 D．9 【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求． 【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．

则故选：C．

=18．

【点评】做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．

10．已知过原点O的直线与函数y=log9x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log3x的图象 交于C，D两点，当BC∥x轴时，A点的横坐标是( ) A．

B．2

C．

D．3

【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．

【分析】可分别设A（x1，log9x1），B（x2，log9x2），A，B在过点O的直线上，从而便有

（1），可得到点C的纵坐标为log3x1，根据BC∥x轴便可得到log3x1=log9x2，

从而可得到，带入（1）式便可求出x1，即求出C点的横坐标．

【解答】解：如图，设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1＞1，x2＞1； ∴A，B点的纵坐标分别为log9x1，log9x2； ∵A，B在过点O的直线上； ∴

；

点C，D的坐标分别为（x1，log3x1），（x2，log3x2）； ∵BC∥x轴； ∴log3x1=log9x2； ∴

；

∴；

∴∴x1=2． 故选B．

；

【点评】考查根据点的坐标求直线的斜率，以及对数的运算性质，对数函数的单调性．

11．已知平面向量、、满足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，则|的最大值是( ) A．

B．

C．

D．

|

【考点】向量的模．

【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由题意可知，当和+同向时，|到|

|有最大值，根据向量的数量积的运算得

|2=||2+||2+||||，分别令||∈{1，2，3}，求出值，再比较大小即可．

|有最大

【解答】解：平面向量、、满足＜，＞=60°，当和+同向时，|值， ∴|∵|

2

|max=|

2

2

|+||，

=||+||+2||||cos60°=||+||+||||，

2

2

2

2

|=||+||+2

当||=1时， ∴|∴|

|=4+9+6=19， |=1+

，

2

当||=2时， ∴|∴|

|2=1+9+3=13， |=2+

，

当||=3时， ∴|

|2=1+4+2=7，

∴|∵3+|

|=3+＞2+

， ＞1+

， ．

|的最大值是3+

故选：A．

【点评】本题考查了向量的模的运算和向量的数量积的运算，关键得到当和+同向时，|

|有最大值，属于中档题．

12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N）

*

内的所有零点的和为( ) A．n

B．2n C．（2n﹣1）

D．（2n﹣1）

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出． 【解答】解：当所以当

时，f（x）=8x﹣8，

，此时当

时，g（x）max=0；

2

时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）+2＜0；

由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0． 下面考虑2当2

n﹣1

n﹣1

≤x≤2且n≥2时，g（x）的最大值的情况．

n﹣2

n

≤x≤3•2时，由函数f（x）的定义知，

，

，

因为所以

此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0； 当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，

由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．

．

综上可得：对于一切的n∈N，函数g（x）在区间上有1个零点， 从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为

．

故选：D

【点评】本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=x﹣4y的最大值为1．

，因此，所有这些零点的和为

*

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．

【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值． 【解答】解：由z=x﹣4y，得y=平移直线y=

，

经过点B（1，0）时，直线y=

的截

，由图象可知当直线y=

距最小，此时z最大．

此时z的最大值为z=1﹣4×0=1． 故答案为：1

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．

14．设二次函数f（x）=ax﹣4x+c（x∈R）的值域为 故答案为：a＞2或a＜﹣3或﹣1＜a＜2．

【点评】本题考查了分段函数的性质的判断与应用．

16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为9π﹣【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差． 【解答】解：扇形半径r=3扇形面积等于弧田面积=9π﹣r2sin圆心到弦的距离等于

=9π﹣，所以矢长为

=9π（m2）

（m2） ．

+

）=

（

+）．

﹣

．

2

按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×∴9π﹣

﹣

（

+）=9π﹣

﹣

﹣

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣故答案为：9π﹣

﹣

．

平方米．

【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．

三、解答题（共6小题，满分70分） 17．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间上的最小值．

【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+函数的周期性及其求法即可得解； （2）由x∈，可求范围x+

∈，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．

sin

2

sin2

）﹣，由三角

【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

=2π；

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈， ∴x+

∈，

∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣．

∈，

∴可解得f（x）在区间上的最小值为：﹣

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

18．已知函数

（x∈是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒

成立，求实数m的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题．

【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，（x1﹣x2）（

=

），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在，由此进行分类

讨论，能够求出实数m的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，

=（x1﹣x2）（

∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1， ∴x1﹣x2＜0，∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）在

①g（x）在上单调递增，且g（x）＞0，

②g（x）在上单调递减，且g（x）＞0，

无解

＞0，

）

综上所述

【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．

19．如图直三棱柱ABC﹣A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．

（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；

（2）当三棱锥B﹣EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度． （3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【专题】综合题；转化思想；定义法；空间位置关系与距离．

【分析】（1）先由线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直的性质证明即可．

（2）利用函数求最值的方法，求解最值时符合的条件，确定E，F是AB，BC的中点，再求解． （3）根据异面直线所成角的定义进行求解即可． 【解答】解：（1）连接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形， ∴B′C⊥BC′

又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C ∴B′C⊥AB，BC′∩AB=B ∴B′C⊥平面ABC′， 又∵C′E⊂平面ABC′， ∴B′C⊥C′E

（2）设AE=BF=m，∵直三棱柱ABC﹣A′B′C′，

∴BB′为三棱锥B﹣EB′F的高，底面△BEF为直角三角形， ∴三棱椎B′﹣EBF的体积为

．

当时取等号，故当，

即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大， 此时△ABC为正三角形， 则AF=3×

=

（3）由（2）知点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大， 则EF∥AC，

∴∠A′FE为异面直线AC与C′F所成的角； ∵∴

，

．

，，

【点评】本题考查异面直线所成的以及线面垂直的判定与性质，利用定义法是解决本题的关键．

20．小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；

（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）众数为出现频率最高的数，体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点，中位数是从小到大排列中间位置的数，在直方图中其两边的小矩形面积相等， （Ⅱ）考查几何概型，条件中已有父亲上班离家的时间y，再设报纸送达时间为x，关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能，收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y，围成平面区域为梯形，利用几何概型转化为面积之比求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00 由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430 ∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233 =20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233

解得x2=6：59，

（Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于

，如图

所求概率为P=1﹣=

【点评】本题（Ⅰ）考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据，尤其是众数，中位数和平均数，要理解并记忆，（Ⅱ）概率不是古典概型就是几何概型，事件可一一列举多位古典概型，否则为几何概型，设报纸送达时间为x，关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域，转化为几何概型，求面积之比．

21．已知圆M的方程为x+（y﹣2）=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当的方程；

（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【考点】圆方程的综合应用． 【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．

（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．

2

2

时，求直线CD

（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，

M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标． 【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）+（m﹣2）=4， 解之得：

，

．

2

2

故所求点P的坐标为P（0，0）或

（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在， 由题知圆心M到直线CD的距离为

，所以

，

解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．

，

（3）设P（2m，m），MP的中点

因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为：

化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式， 故x+y﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，

2

2

解得或

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．

【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．

22．已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2„+an﹣1b2+anb1=2﹣n﹣2． （1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{bn}是等比数列； （2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

（3）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求证：【考点】数列与不等式的综合．

+

+„+

＜．

n+1

【专题】证明题；等差数列与等比数列．

【分析】（1）利用递推关系式得出bn+2bn﹣1+3bn﹣2+„+（n﹣1）b2+nb1=2n+1﹣n﹣2，bn﹣1+2bn﹣2+3bn

﹣3

+„+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1，（n≥2），

n

n﹣1

相减得出bn+bn﹣1+„+b2+b1=2﹣1，利用前n项的和Sn求解bn=2（2）bq

n﹣1

，证明即可．

n﹣3

a1+bq

n﹣2

a2+bq

n﹣3

a3+„+bqan﹣1+ban=2﹣n﹣2，又bq

n+1n﹣2

a1+bqa2+bq

n﹣4

a3+„+ban﹣1=2

n

﹣n﹣1（n≥2）， an=

×2n

+

+×n

+„+

，讨论求解即可．

=+„+

+„+

求解为和的形式，放缩即可．

＜

（3）求解

【解答】解：（1）b1=1，b2=2， 依题意数列{an}的通项公式是an=n，

故等式即为bn+2bn﹣1+3bn﹣2+„+（n﹣1）b2+nb1=2﹣n﹣2， bn﹣1+2bn﹣2+3bn﹣3+„+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1，（n≥2）， 两式相减可得bn+bn﹣1+„+b2+b1=2﹣1，

得bn=2n﹣1，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． （2）设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，则bn=bq从而有：bq

n﹣1

n﹣1

n

n+1

，

a1+bq

n﹣2

a2+bq

n﹣3

a3+„+bqan﹣1+ban=2﹣n﹣2，

n+1

又bqn﹣2a1+bqn﹣3a2+bqn﹣4a3+„+ban﹣1=2n﹣n﹣1（n≥2）， 故（2﹣n﹣1）q+ban=2﹣n﹣2， an=

×2

n

n

n+1

×n，

要使an+1﹣an是与n无关的常数，必需q=2，

即①当等比数列{bn}的公比q=2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是an=； ②当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列． （3）由（2）知anbn=n•2n﹣1， 显然n=1，2时当n≥3时

+

++

+„++„+

=+„+

=

＜，

+„+

＜

1=．

【点评】本题考查了数列的综合应用，递推关系式的运用，不等式，放缩法求解证明不等式，属于综合题目，难度较大，化简较麻烦．