2021届高三精准培优专练十四 外接球(文) 教师版

培优点十四 外接球

一、构造正方体与长方体的外接球问题

例1：已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，

AA112，则球O的半径为（ ）

A．317 2B．210

C．

13 2D．310 【答案】C

【解析】∵ABAC，∴直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为直角三角形， 把直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体，

324212213则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O的半径为．

22

二、与正棱锥有关的外接球问题

例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ） A．

33 4B．

3 3C．

3 4D．

3 12【答案】C

【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上， ∴球心是底面三角形的中心，

1332(3)11∵球的半径为，∴底面三角形的边长为3，即该正三棱锥的体积为． 344

三、其他柱体、锥体的外接球问题

例3：已知A,B是球O的球面上的两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A．36π 【答案】C

【解析】设球O的半径为R，则S△AOBB．π

C．144π

D．256π

12R， 2当OC平面AOB时，三棱锥OABC的体积最大， 此时V112RR36，解得R6， 322所以球O的表面积为S4π6144π．

对点增分集训

一、选择题

1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个 球面上，则这个球的表面积是（ ） A．16π 【答案】C

【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为26，即球的半径为6，球的表面积为24π．

2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）

B．20π

C．24π

D．32π

A．3π 【答案】A

【解析】把原来的几何体补成以DA，DC，DP为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，

B．43π

C．12π

D．123π

2Rl1212123，R332，S球=4πR4π3π．

423．直三棱柱ABCA则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） 1B1C1中，ABBC，ABBCAA12，A．4π 【答案】C

【解析】∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCAA12， ∴AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，

B．8π

C．12π

D．

32π 32222223，故表面积为S4πR212π． 则外接球的半径R24．点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBCAC3，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A．

169π 16B．

2π 16C．

25π 16D．8π

【答案】B

【解析】设△ABC的中心为E，过点E作平面ABC的垂线l， 则有题意可知，点D在直线l上，△ABC的面积为S1333sin603． 24113由体积的最大值可得SDE3DE3，则DE4．

334由题意易知，外接球的球心在DE上， 设球心为点O，半径ODOBR．

△ABC的外接圆半径满足asinA2r，即32r，∴rBE1．

sin60

222在Rt△OBE中，OE2BE2OB2，即(4R)1R，解得R17． 8据此可得这个球的表面积为S4πR4π222π． 16

5．一个正四面体的所有棱长都为A．3π 【答案】A

【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的体对角线长为3， 即此球的半径RB．4π

2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）

C．33π D．6π

32，故球的表面积S4πR3π． 2

6．已知三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上，底面△ABC满足BABC6，B90，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A．21π 【答案】D

【解析】因为△ABC为等腰三角形，所以AC为截面圆的直径，AC

B．

32π 3C．

16π 3D．16π

AB2AC2=23，

即该三棱锥的外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，

当P，O，D三点共线且P，O位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD，

11所以66PD=3，解得PD=3，

32设外接球的半径为R，则OD3R，OCR， 在Rt△OCD中，CD1222AC3，由勾股定理得(3R)(3)R，解得R2， 22所以外接球的表面积为S4π216π．

7．已知四面体ABCD中，ABAD6，AC4，CD213，AB平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ） A．36π 【答案】B

【解析】在△ACD中，由AD6，AC4，CD213， 可得AD2AC2CD2，则ACAD， 又AB平面ACD，故2R则V4π(22)288π．

8．已知A，B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为183，则球O的体积为（ ） A．81π 【答案】D

【解析】由题意可知VCOABB．128π

C．144π

D．288π

B．88π

C．92π

D．128π

42626288222，

112114R6，(Rsin60)h(R2sin60)R183，V球=πR3288π．

32323

9．已知A，B，C，D是同一个球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，

AD平面ABC，

AD2AB6，则该球的表面积为（ ）

A．16π 【答案】C

B．24π

C．323π

D．48π

C，B，D扩展为三棱锥，【解析】把A，上下地面中心连线的中点与OE3，△ABC是正三角形，所以AEA的距离为球的半径，AD2AB6，

21AB2(AB)23，AO32(3)223． 32所以球的体积为

4π(23)3323π． 3

PA10．已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，AB2，AC3，则球O的表面积为（ ）

A．

AB，PA2，PAAC，BAC60，

40π 3B．

30π 3C．

20π 3D．

10π 3【答案】A

【解析】设△ABC外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R， ∵AB2，AC3，BAC60，

∴BCABAC2ABACcos604922322217，即BC7， 2∴2rBC22121，解得r，

sin6033∵PAAB，PAAC，∴PA平面ABC，

则将三棱锥补成三棱柱可得，R(2PA222110)r1， 2931040π． 33即球O的表面积为S4πR4π211．如图，在四面体PABC中，PAPBPC4，点O是点P在平面ABC上的投影，

且tanAPO22．则四面体PABC的外接球的体积为（ ）

A．86π B．24π

C．323π

D．48π

【答案】A

【解析】∵在四面体PABC中，PAPBPC4， 点O是点P在平面ABC上的投影，且tanAPO22． ∴sinAPO33，cosAPO3463，∴AO3，PO3． 由题意知四面体PABC的外接球的球心O在线段PO上， ∴OO2AO2AO2，∴(463R)2(433)2R2，解得R6． ∴四面体PABC的外接球的体积为86π．

12．已知四面体ABCD的外接球球心O恰好在棱AD上，且ABBC2，AC2，DC23， 则这个四面体的体积为（ ） A．

2 3B．

23 3C．

43 3D．

53 3【答案】B

【解析】∵ABBC2，AC2，∴ABBCAC．

222∴ABBC，∴△ABC外接圆的直径为AC，球心O为AC的中点． ∵球心O恰好在侧棱DA上，∴OO面ABC，

又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以AD∥BC． 即BC面ABC，DC23．

11123SDC2223则四面体的体积为． △ABC3323

二、填空题

13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

【答案】29π

【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R， ∴2R491629，∴R

29． 2

∴外接球的表面积为S4πR29π．

2

14．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为23 正方形，若PA26，则△OAB的面积为 ． 【答案】33 【解析】∵ABCD是边长为23正方形，PA平面ABCD，PA26． ∴PCAPAC242448，∴2R43，ROP23， ∴S△AOB22212323sin6033． 2π，AA14，则直三棱柱ABCA1B1C1的 3AB4，AC6，A15．在直三棱柱ABCA1B1C1中，

外接球的表面积 ． 【答案】

160π 3【解析】由题的直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心O2和下底面 外接圆的圆心O1的连线O1O2的中点O．

在三角形ABC中，由余弦定理得BC46246cos222π28，∴BC27． 3由正弦定理得

2722r，∴3r27，∴r21． π3sin3221． 3在直角三角形OOA中，OAR，OO12，O1Ar1

∴R4242840214． 9332∴球的表面积为S4πR4π40160π． 33

16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．

【答案】12π

【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r23，r3，

所以球的表面积为S4πR212π．