2020年九年级中考复习 三角形、四边形综合探索题型 讲义(word版)

随着中考题型的不断变化，三角形、四边形题目由原来单纯考察全等、相似、旋转、位移、特殊平行四边形等基础题型，也变为开放探索性综合题目。开放探索性问题，由于没有指明结论，对学生的要求较高，一般要求学生通过自己的观察、猜想、分析、归纳概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件。所以是近几年的热点考题。如：山东枣庄 2017 年中考题目

例 1：已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF， 使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA，EC．

（1） 如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；

（2） 如图 2，若点 P 在线段 AB 的中点，连接 AC，判断△ACE 的形状，并说

明理由；

（3） 如图 3，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC，当 EP 平分∠AEC 时，设 AB=a，

BP=b，求a : b 及∠AEC 的度数．

:

D A

D P

C B 图 1 P

A E F

D A P

E

F

C E

B

图 2

C

B

图 3

F

分析:这是一道典型的三角形、四边形综合题目。（1）连 BE，依据正方形的性质可得到△CBE≌△ABE，即可得出结论；（2）是结论探索型问题，具有开放性，学生要依据正方形的性质，分别表示出△ACE 三边的长度，即可得出结论；（3） 正方形的性质和 EP 平分∠AEC 可推出三线合一的存在，利用三角形相似即可得出结论，求∠AEC 的度数，要利用勾股定理、三角形全等的性质得出 CE 平分 ∠ACF 即可得出结论

由此得出：三角形、四边形综合题目，要求学生不仅要掌握三角形、四边形的基础知识点，而且还要把这些知识点形成知识树，明白知识点之间的关系，并能灵活进行知识点间的互换；还要学生把自己平时的做题经验进行总结，形成自己的解题能力。

例 2、如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AC，BC 上， 且 CD=CE．

（1） 如图 1，求证：∠CAE=∠CBD；

（2） 如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE⊥CF； （3）

如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2，CE=1，求△CGF 的面积．

分析：这是一道典型的三角形综合题目。

（1） 直接判断出△ACE≌△BCD 即可得出结论； （2）

先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；

（3） 先求出 BD=3，进而求出 CF=，同理：EG= ，再利用等面积法求出

ME，进而求出 GM，最后用面积公式即可得出结论．

例 3、如图，在矩形 ABCD 中，AB═2，AD=，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP．

（1） 用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE（保留作图痕迹，不

写作法）；

（2） 如图②，在（1）的条体下，判断 EB 是否平分∠AEC，并说明理由； （3） 如图③，在（2）的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F，连接

AP，不添加辅助线，△PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

分析：这是一道图形变换综合题目。（1）考查学生的动手操作能力；（2）是

存在探索型问题 - 在一定条件下探索发现某种数学关系是否存在，考查学生的 推理能力和综合运用数学知识的能力；（3）属于图形变换，是结论探索型问题。

例 4：问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ= ，求α+β的度数．

探究：（1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1），请借助这个网格图求出α+β的度数；

延伸：（2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求

的弧长．

分析：这是一道有关圆的计算综合题目，属于探索型问题。

（1） 连结 AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH 为等腰直角三角形即可； （2） 先求得 MH 的长，然后再求得弧 MR 所对圆心角的度数，最后，再依据弧

长公式求解即可。掌握本题的辅助线的作法是解题的关键，这也说明学生在平时的做题经验的总结很重要。

例 5：（2019 威海）如图，在正方形 ABCD中，AB＝10cm，E为对角线 BD上一动点，连接 AE， CE，过 E点作 EF⊥AE，交直线 BC于点 F．E点从 B点出发，沿着 BD方向以每秒 2cm的速度运动，当点 E与点 D重合时，运动停止．设△BEF的面积为 ycm，E点的运动时间为 x 秒．（1）求证：CE＝EF；

（2） 求 y与 x之间关系的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围；

2

（3） 求△BEF面积的最大值

中考数学在线：

1、（2019 烟台）【问题探究】

（1） 如图 1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

点 B，D，E 在同一直线上，连接 AD，BD． ①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系： ②若 AC＝BC＝【拓展延伸】

（2） 如图 2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC

；

；

，DC＝CE＝ ，则线段 AD 的长为

＝，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE 绕点 C 在平面内顺时针旋转，

设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D， E 在同一直线上时，画出图形，并求线段 AD 的长．

2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB= 4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD⊥AC 于点 D（点 P 不与点 A、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q．设点 P 的运动时间为 t秒．

（1） 用含 t 的代数式表示线段 DC 的长； （2） 当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；

（3） 设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；

3、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点．

（1） 如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE．当 OE=DE 时，求 AE

的长；

（2） 如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于

点 G．当 BE 平分∠ABC 时，求 BG 的长；

（3） 如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点

D 落在 EC 上的点 D'处，过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N，与 EH 交于点 M，且 AE=1．

①求

的值；

②连接 BE，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．

4、如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE， 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G．

（1） 求线段 CE 的长；

（2） 如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且∠

DMN＝∠DAM，设 AM＝x，DN＝y．

①写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值；

②是否存在这样的点 M，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值； 若不存在，请说明理由．

5、如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥ CD 交 AF 于点 G，连接 DG．

（1） 求证：四边形 EFDG 是菱形；

（2） 探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由； （3） 若 AG=6，EG=2

，求 BE 的长．

6、将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形 AEFG．

（1） 如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD=CD； （2） 当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

7、在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D．

（1） 如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2

时，求线段 AM 的长；

（2） 如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（3） 如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN

＝ AM．

参：



45°

，



例 1：（2）直角三角形 （3） a : b 2 :1

例 2：解：（1）在△ACE 和△BCD 中，

∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；

（2）如图 2，在 Rt△BCD 中，点 F 是 BD 的中点， ∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD， ∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°， ∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；

（3）:S△CFG= CF•GM= ××=．

例 3：（2）EB 是平分∠AEC（3）△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和△EPA 重合， ①沿 PF 折叠，②沿 AE 折叠． 例 4、（1）即α+β=45°．

例 5：（1）AE＝CE＝EF； （2）y＝（3）当 x＝

＝时，y有最大值是 ＝﹣2x+5

2

（2） == ．

x（0≤x≤5

．

）；

；即△BEF面积的最大值是

中考数学在线：

1、解：【问题探究】（1）：AD⊥BD ②4

【拓展延伸】（2）若点 D 在 BC 右侧，∴AD＝DF+AF＝3

若点 D 在 BC 左侧，∴AD＝AF﹣DF＝2

2、解：（1）CD=AC﹣AD=2（2）t=1；

﹣

t（0＜t＜2）；

（3）S= ；

3、解：（1）AE=（3）①

；（2）在 Rt△GKB 中，BG=；②相似

；

4、（1）EC＝3；（2）当 x＝4时，y 有最小值，最小值＝2； ﹣10 或．

（3）．满足条件的 x 的值为 8 5、（2）EG2= GF•AF．

（3）BE=AD﹣GH=4 ﹣=．

6、（2）当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上， 分两种情况讨论：

①当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M，旋转角α=60°； ②当点 G 在 AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴旋转角α=360°﹣ 60°=300°．

7、（1）AM＝AD﹣DM＝ ﹣

；

（2） 证明：△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；

（3） 证明：过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E，∴△BME≌△AMN（ASA），

∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝ AM．