2015年三明市高三质检理科数学试题含答案(...

2015年三明市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：

样本数据，，…，的标准差 锥体体积公式 　　

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，那么等于

A． 　　　　　　　　　　 B． C． 　　 　D．

2．已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加上4后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是

A．平均数 　 B．众数 C．标准差 D．中位数

3．已知函数，则是

　 A．奇函数 B． 偶函数　 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为

A． 　 B． C． D．

5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，

则“⊥”是“⊥”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为A．　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D．17．已知，那么函数的图象不可能是

A　　　　　　　　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　　 D

8．已知函数将函数的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，则该数列的通项公式为A． B．

C． D．an＝2n－2

9．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是

A． 　 　B． 　 　C． 　　 D．

10．若曲线在点处切线的斜率为，曲线在点处切线的斜率为（），将的值称为这两曲线在，间的“异线曲度”，记作．现给出以下四个命题：

①已知曲线，，且，则；

②存在两个函数，，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线，，若，则；

④对于曲线，，当时，若存在实数，使得恒成立，则的取值范围是．

其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．二项式的展开式中，的系数是，则实数＝_____．

12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右

图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为＿＿＿＿＿．

13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围

是 ．14．过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂

足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．

15．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线到的距

离

相等．点 在直线上，点在直线上，为平 面区域内的点，且满足．

若所在的区域为④,则的取值范围是是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

已知集合，从中随机抽取两个不同的元素，作为复数(为虚数单位)的实部和虚部．

（Ⅰ）求复数在复平面内的对应点位于第一象限的概率；（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望.

17．（本小题满分13分）

如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．

图1图2

18.（本小题满分13分）

已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点

与椭圆交于两点，且与直线交于点．

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；

(Ⅱ) 试判断直线，，的斜率是否成等差数列？若成

等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．

19．（本小题满分13分）

如图

是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，，设

，且．

(Ⅰ) 若，求的长；

(Ⅱ) 求的长，并求的最小值；

(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量的

函数关系式为（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范

围．

（Ⅲ）将函数的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单

位，得到函数 的图象，试证明：当时， ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题

作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵（）．

（Ⅰ）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；

（Ⅱ）当时，曲线在矩阵的对应变换作用下得到曲线：，

求的值．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)．以直角坐

标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围．

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知不等式的解集与不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．

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理科数学试题参及评分标准

一．选择题：　　

1—5 BCACB　　6—10 DDABC二、填空题：

11．；　 12．； 　13．；　14．；　15．；

三．解答题：

16．解：（Ⅰ）从集合中随机抽取两个不同的元素，组成复平面内的对

应点有种，其中位于第一象限的点有种，所以所求的概率为.　　　……………………6分

（Ⅱ）, ．　　　　　　 ……………………7分,，，．

251013

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………11分

∴. ……………………13分

17．解：（Ⅰ）当时，，，∴，又，

∴平面，而平面，

∴．　　　　……………………5分（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，又，∴平面，

∵平面，∴平面⊥平面，

过作，则轴，　　　　　　　　 ……………………7分在中，，，可得．

故，∵，∴为中点，∴．设平面的法向量为，

则∴　即……………9分

取，则，又平面的法向量为， ………11分则＝＝．

故二面角的余弦值为．　　　　 ……………………13分18．解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以.

整理得，，即，

解得或 (舍)，所以离心率.　　　　　　　……………………5

分

（Ⅱ）直线，，的斜率成等差数列，证明如下：由(Ⅰ）知，，∴椭圆

直线的方程为．代入椭圆方程并整理，

得.　 ……………………6分设，直线，，的斜率分别为k1，k2，k3，

则有.　　　　　　　　　 ……………………8分可知的坐标为．所以

，　　　　　 ……………………12分∴.

故直线，，的斜率成等差数列．　　　 ……………………

13分

19．解法一：（Ⅰ）在中，已知，，，由正弦定理得：

，故.　 ……………………2分当时, ＝

故的长为．　　　 ……………………4分（Ⅱ）在中，已知，，，由余弦定理得：　　　 ……………………5分

　　　　　　 因为，所以，即，

则的最小值为，此时=1，即.　　……………………9分(用其它方法求出的表达式及最小值酌情给分)（Ⅲ）设x=6θ,,令, ,

问题转化为在是否存在的值，使是,　　　　……………………10①当时, |sinx|≤1，必有；②当时, ，因为，所以，

从而,在恒成立，在区间递减，于是

综上，在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零.

……………………7分

分

　　　　　　　　　　13分

解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）设x=6θ,，令, ,　　

问题转化为在是否存在x的值，使得使是,　………………10分,令，得,

∵,故存在,,使得,

易知在单调递，在(递减，在递增，故在,,

∵,注意到,且 ,∴ ,．

这样．……………12分

综上：在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零．　　　　　　　　　　　　　　

………………

13分

20．解法一：（Ⅰ）当时，，

，

故函数的单调递增区间为. ……………………3分（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，、

……………………

设()，只需即可．

由，　　　　　　…………………4分(ⅰ) 当时， ，

当时，，函数在上单调递减，

故成立．　　　　　　　　　　　　　 ……………………5分(ⅱ) 当时，由，因，所以，① 若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值，

当时，，此时不满足条件；② 若，即时，函数在上单调递减，

在区间上单调递增，同样在

上无最大值，

当时，

，不满足条件．　　　　　　　　　(ⅲ) 当时，由，∵，∴，

∴，故函数在

上单调递减，

故

成立．……………………8分

综上所述，实数的取值范围是． 分

……………………

……………………79分

（Ⅲ），∴，

当时，　　　　…………………10分∴

. 令，则.∵，∴

.

∴，即. 　　　　　　……………………14分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ），∴，

当

时，， …………………10分

∴设，

当时，结论成立；当时，∵当时，∴，

当时，上式显然成立.∴

当时，；当时，∴

∴，.　　　 ……………………14分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）

，∴，

当时，

　　　 …………………10分

∴

以下用数学归纳法证明不等式.

①当时，左边，右边，不等式成立；② 假设当时，不等式成立，即，则

.

也就是说，当时，不等式也成立.由①②可得，对，

都成立. ………………14分21．（1）解：（Ⅰ），令＝＝0，

得或，

当时，由，得，当时，由，得，

所以对应特征值为2的一个特征向量是；

对应特征值为3的一个特征向量是．　　　　 ……………………4分

（Ⅱ）设曲线上的点在矩阵的作用下变成，则，即将变换公式代入曲线：可得，，即，即为曲线，

∴，又，∴．　　　　　 ……………………7分（2）解法一：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，

所以曲线的直角坐标方程为．　　　……………………4分（Ⅱ）法一：∵，而，∴，∴，

即的范围是． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）联立解得或

∴的范围是．　　　　 ……………………7分（3）解：（Ⅰ）不等式的解集为， 所以方程的两根为.

∴ 解得.　　　　　 ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，＝，定义域为.所以.

则，当且仅当时取等号.

故当时，的最大值为.　　　 分…………………7