相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，**而且它们有如下的关系：
要把两个四元数只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于则可跟随以下的乘数表： Paste_Image.png 四元数 。
例子
假设：
四元数
四元数
那么：
四元数
四元数
四元数 四元数 ；
四元数 ；
四元数 。 四元数 就有无数多个解。 只要是符合 四元数 的实数，那么 四元数 就是一个解。
一个四元数 四元数 的值定义为：
四元数
而它的则是非负实数，定义为：
四元数
注意 四元数 ，一般状况下不等于 四元数 。
四元数的乘逆可以 四元数 算得。
透过使用 四元数 ，四元数便可成为于 四元数 的，并且有的运算。另外，对于所有四元数 四元数 和 四元数 皆有 四元数 。 若以绝对值为，则四元数可组成一实数 。
群旋转
如条目所释，非零四元数的乘法群在R3
的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：
表达式无奇点（和例如之类的表示相比）
比更简炼（也更快速）
单位四元数的对可以表示中的一个转动。 四元数
第二种则是以四阶实数矩阵表示：
四元数 四元数
四元数
其中
四元数 表示矢量<b, c, d>，而 四元数 表示矢量<x, y, z>.加、乘和一般函数
四元数加法：p + q
跟、和一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来： 四元数 四元数
四元数
由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。积常用在描述许多其他。qp乘积的部分是:
四元数
四元数点积： p · q
点积也叫做，四元数的点积等同于一个四维矢量的。的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个。 四元数
可以用积的形式表示:
四元数
这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：
四元数
四元数外积：Outer(p,q) 四元数
四元数
四元数
四元数偶积：Even(p,q)
四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。
四元数
四元数
四元数叉积：p × q
四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价，并且只返回一个矢量值：
四元数
四元数
四元数转置：p−1
四元数的转置通过p−1
p = 1被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：
四元数
一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。
四元数除法：p−1
q
四元数的不可换性导致了 p−1
q 和 qp−1
的不同。这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。
四元数标量部：Scalar(p)
四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：
四元数矢量部：Vector(p)
四元数的矢量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：
四元数
四元数模：|p|
四元数的绝对值是四元数到原点的距离。
四元数符号数：sgn(p)
一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：
四元数辐角：arg(p)
辐角函数可找出一4-矢量四元数偏离单位标量(即：1)之角度。此函数输出一个标量角度。
幂和对数
因为四元数有除法，所以和可以定义。
自然幂： 四元数 自然对数： 四元数 幂： 四元数 四元数 余弦： 四元数 正切： 四元数 四元数 双曲余弦: 四元数 双曲正切: 四元数 四元数 反双曲余弦: 四元数 反双曲正切: 四元数 四元数 反余弦函数: 四元数 反正切函数: 四元数