示范：人口预测的数学模型

示范：人口预测的数学模

型

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人口预测的数学模型

摘 要

本题要求根据给出的01到05年的人口情况的数据，对我国的人口增长建立数学模型并做出预测。我们建立递归模型，从2005年开始预测。按照性别和市，镇，乡的区别把人口分为6类。按照年龄进行分段，每一个年龄作为一段。用2005年的每个年龄的人数预测06年统一年龄的人数。把06年各年龄的预测值相加，即可得到2006年的总人数的预测值。然后依次递归，得出其他年份的人口数据。

影响人口增长的主要因素有：出生率、死亡率、政府政策、老龄化、和乡村城镇化的影响。我们在递归模型主题框架的基础上，逐步深入建立了四个模型：

模型一，只考虑出生率和死亡率对人口增长的影响，从2001年到2005年的数据中，求出平均出生率和平均死亡率，并假定2005年以后的平均出生率和平均死亡率不变。为了减少累计误差，用05年数据逐步迭代得到人口随时间的变化曲线。然后，用01年的数据运用模型一迭代出01～05年人数，与修正后的数据进行比较，求得我们的模型的估计值与实际值相近，进而推出模型基本的合理性。

模型二，在模型一的基础上加上政策因素的影响，引进人口政策影响因子R，通过对结果进行分析，发现政府政策对人口的变化情况会产生较大的影响。体现为了控制人口数量，国家可以进行较好的宏观调控。

模型三，在模型二的基础上加上老龄化对人口增长的影响，引进阻滞因子，建立人口随时间的变化曲线。

模型四，在模型三的基础上加上乡村人口城镇化的影响，通过对结果进行分析我们发现模型四与前几个模型的主要区别是在城镇人口的数量，及城镇人口在全国人口总人口的比率上，更符合实际情况。

在每个模型的基础上，进一步分别对人口总数，性别比例，老龄化程度，生育期内妇女总数，有劳动力的人数等做出了预测。

此外根据《国家人口发展战略研究报告》计划的目标，在模型四的基础上，通过对R值进行调整，得到当R＝基本能够满足国家的战略计划。并对国家的政策给出合理化建议。

运用matlab编程求解，求得四个模型人口峰值及达到峰值时间如下表； 模型一 2025 亿

模型二 2040 亿

模型三 2038 亿

模型四 2035 亿

在模型的最后，对模型的优缺点及不足之处进行了分析。 关键词：递归模型，人口政策影响因子，阻滞因子，人口城镇化

1．问题的重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；

2．问题分析

本题要求我们通过2001～2005年的数据，从我国的实际情况和人口增长的特点出发，建立人口增长的数学模型，对我国人口增长的中短期和长期的趋势做出预测。由题中所给数据，不同性别，不同地区包括（城、镇、乡），我们将人员分为六类。对每一类人分别进行分析，具体分类情况如下：

表1 人员分类情况表

分类 i

市男 1

市女 2

镇男 3

镇女 4

乡男 5

乡女 6

对每一类人分别进行递归，得到0到90岁人口的变化情况。

在递归过程中，首先考虑死亡率和生育率，通过01年～05年的数据求出平均死亡率和平均生育率。

对模型进行再分析，人口的增长不仅仅由出生率和死亡率决定，还有很多社会因素，包括城市化进程，老龄化，性别比例及政府的政策。如目前国家已经放宽了计划生育政策，允许夫妻双方都是独生子女的生第二胎。除了考虑因素外，人口的增长还受社会平均教育水平等多方面因素的影响。所以，我们应不断增加模型的考虑因素，对模型进行优化。

在我们的模型中，采用老年人的衡量标准是60岁，有劳动能力的人的衡量标准是15到59岁；孕期妇女的衡量标准是15到49岁。

3．模型假设

1．忽略中国人口出国和外国人口加入我国国籍的情况； 2．假定每年的平均出生率和平均死亡率恒定不变； 3．假定没有影响人口非正常增长的意外情况发生；

4、人口迁移后与当地人的各方面因素相同；

5．假设短期，中期和长期分别为5年，20年和50年；

4．符号约定 5．模型一的建立与求解

问题的进一步分析

城、镇、乡人口的出生率和死亡率是不同的，不同年龄不同性别的死亡率也是不同的。在对平均死亡率的处理上，我们将不同年龄、性别的人的死亡率分别考虑。题目中给出了01到05年全国人口分布情况，我们采用递归法，后一年各年龄上的人数，是上一年小一岁的人数减去该人数在本年中死亡人数。用01年到05年，每年新出生的婴儿的总量，和5年女性人口的总数取比值，可以求出01到05年平均生育率。据模型假设，05年以后的平均出生率，等于计算得到的平均出生率。 数据的预处理

国家统计局公布的数据01到05年全国总人数如下表。

表2 01～05年全国人口总数（单位：万人）

2001 127627

2002 128453

2003 129227

是：

2004 129988

2005 130756

题目中给出的2005年中国人口1%调查数据

表3 题目给出的05年数据表

城市男 2357679

城市男 2350224

镇男 1464804

镇女 1444176

乡男 4762400

乡女 4606484

总数

表4 修正后2005年的数据

市男

城女

镇男

镇女

乡男

乡女

总数

1816052 1807716 1127500 1110929 3662326 3544768

对2001年到2004年的数据做同样的修正。

利用经过上述处理的数据，可以算出01到05年各类人，各年龄的平均死亡率:

i,j01到05年第i类年龄为j的死亡人数；

01到05年第i类年龄为j的总人数平均出生率i为：

i01到05年，第i类年龄为0的总人数01到05年，第i类女人的总数i2,4,6;01到05年，第； ii类年龄为0的总人数01到05年，第(i+1)类女人的总数i1,3,5;各年出生的男孩女孩的性别比计算如下：

表5 2001到2005年出生婴儿的男女性别比例

市

镇

乡

年份 男婴人数 女婴人数 男婴人数 女婴人数 男婴人数 女婴人数 2005 1667101 1449653 1254022 1074876 4687893 3894557 2004 1520807 1326662 1135296

4643516 3759037

2003 1311788 1180609 1055038 920760 4888792 4073993 2002 1449276 1284586 884548 726593 5169821 4398206 2001

1388248 1240562 933705 822926 5138444 4448206

平均性别比

模型建立

（）由于城市，城镇和乡村的人口情况差别很大，我们在建立模型的时候，以对城市人口的情况进行建模为例进行说明。城镇和乡村人口的模型与城市人口的模型，从数学的角度来讲完全一样，只是有关的参数的数值有些许的差别。此时，i=1,2.

由于2001年到2005年，总的人口情况已经给出，所以我们只要对从2006年开始的以后年份开始预测即可。因为人口变化的影响因素很多，并且我们的模型只是局部适用的，不可能对所有的年份都适用，我们只对2006年到2055年的人口模型进行预测。

我们建立递归的模型如下：

第i类，第j年，年龄为0的城市人数，即第j年新出生的第i类人数，符号表示如下：

90Mi,j,0M2,j,mi;m02005j2054; i1,2;第i类，第j年，年龄为k的城市人数是由第(j-1)年，年龄为(k-1)的人数乘以

(1i,k-1)后剩余的总人数，符号表示如下：

Mi,j,kMi,j1,k1(1i,k-1); i1,2; 1k90;第i类，第j年，年龄为90的城市人数由两部分组成，一部分是第(j-1)年，年龄为89岁人经过一年，年龄变为90；另外一部分是第(j-1)年，年龄为90的人经过一定的存活率(1i,90)之后剩余的人数。两类人数总和即为第i类，第j年，年龄为90的人数，用符号表示如下：

Mi,j,90Mi,j,90(11,90)Mi,j1,89(1i,89); （） 2005j2054;i1,2;第j年末的总的城市人数量符号表示如下：

2289Mj(Mi,j,0Mi,j,90)Mi,j,m i1i1m12005j20542005的城市人口情况的数据已经给出，通过以上模型，可以递归出2006年城市的人数。同样的处理方法，我们可以递归出2006年的乡村和城镇的人数。然后依次递归，即可求出后面每年的人口数量。因为我们建立的递归模型只和相邻两年的数据有关，我们从2005年开始递归。 综上所述，模型一为： 模型求解

编制的MATLAB程序计算里面，分别考虑了城男，城女，镇男，镇女，乡男和乡女六种情况，并且计算了每一年六种人数的总和。程序运行的结果如下：

表6 模型一预测2006年到2054年全国人口数据（单位：万人）

年

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 份 人

130693 131268 131815 132336 132830 133297 133734 134143 134522 134871 数 年

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 份 人

138979 139679 140355 141006 141633 142235 142812 143362 143884 144379 数 年

2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 份 人

147811 147931 148021 148082 148116 148123 148105 148065 148004 147923 数 年

2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 份

人

147811 147931 148021 148082 148116 148123 148105 148065 148004 147923 数 年

147811 147931 148021 148082 148116 148123 148105 148065 148004 147923 份 人

147822 147706 147580 147442 147301 147160 147015 146869 146716 146558 数

图1 模型一预测全国人口变化图

图2 模型一预测城镇人口变化图 图3 模型一预测农村人口变化图 图4 模型一预测老年人口变化图 图5 模型一预测劳动人口变化图 图6 模型一预测育龄妇女变化图 图7 模型一预测性别比变化图 从上面的图形可以看出，我国的人口数量在2025年达到最大值亿。此后人口的总数下降。在2055年降到亿以下。

结果分析

从上面的结果，可以看出在2023年，人口会达到峰值亿。城镇人口的数量是先上升后下降的过程。不过城镇人口占全国人口的比值是一直下降的，并且在峰值之后，下降的速度很快。农村人口的数量是一个先上升后下降的过程，不过农村人口占全国人口的比值是一个一直上升的过程。

从上面的结果可以看出，我们建立的模型过于简单，仅考虑平均出生率和平均死亡率的影响。没有考虑其他因素的影响，尤其是乡村城镇化的因素。单纯的把城市，城镇和乡村的分开单独考虑，与实际情况下的人口变化差距很大。本来城市人口的平均出生率就比乡村人口的出生率低，乡村人口的基数又比城镇人口的基数大很多。要是没有乡村人口向城镇迁移的话，城镇人口占全国总人口的比值就会一直下降，即使城镇人口总数在增加，但没有乡村人口增加的快。乡村人口的变化真好与城镇人口的变化相反。我们预测出来的乡村人口变化情况和城镇人口变化情况的图形，正好验证

了我们的分析。说明乡村人口城镇化对人口变化的影响很大，是我们以后改经模型的一个重要的出发点。

模型的优点是大致预测出了以后人口的变化趋势，说明我国人口不会无限期的增加，达到一定时间之后，人口的总数会下降。

模型检验

运用修正后的数据，从01年开始递归，得到02～05年的估计人口数，与修正后的数据进行比较。得到如下对比图：

图8 模型一2001年到2005年模型检验图 表7 模型一检验的绝对误差与相对误差

年份 实际误差 相对误差

2002 1436758

2003 2810666

2004 4270284

2005 6028468

从相对误差的大小可以看出，我们建立模型的预测值和实际值的误差非常小，据此可以说明建立的递归模型，是基本合理的，说明递归模型在解决此问题时，是适用的。

6．模型二的建立与求解

问题分析与建模

在上面的模型中，我们只考虑了根据国家的人口计划生育政策，一个孕妇只生一个小孩的情况。其实在人口问题中，国家的人口政策对人口数量的影响是很大的，这也是我们在考虑问题时不可忽略的一个重要因素。所以我们对模型做出以下的改进，第i年的年城市人口年龄为0，即第i年新出生的城市人口数为：

90Mi,j,0iRM2,j1,k;k0i1,2;90iRM4,j1,k;M i,j,0 （） k0i3,4;90Mi,j,0iRM4,j1,k;k0i5,6;第i类，第j年，年龄为k的城市人数是由第(j-1)年，年龄为(k-1)的人数，乘以 (1i,k-1)后剩余的总人数，符号表示如下：，

Mi,j,kMi,j1,k1(1i,k-1); i1,2; 1k90;第i类，第j年，年龄为90的城市人数由两部分组成，一部分是第(j-1)年，年龄为89岁人经过一年，年龄变为90；另外一部分是第(j-1)年，年龄为90的人经过一定的存活率(1i,90)之后剩余的人数。两类人数总和即为第i类，第j年，年龄为90的人数，用符号表示如下：

Mi,j,90Mi,j,90(11,90)Mi,j1,89(1i,89); （） 2005j2054;i1,2;第j年末的总的城市人数量符号表示如下：

2289Mj(Mi,j,0Mi,j,90)Mi,j,m i1i1m12005j2054通过以上的步骤，我们建立了城市人口新的递归模型。同样的道理和步骤，我们可以建立乡村和城镇人口的新的递归模型。 综上所述，模型三为：

模型求解

R值的大小到底取多少才能够比较符合我国的现实人口状况是我们在模型中要考虑的一个重点。对R的取值要进行适当的手工调整。对R在到之间取值， 求得人口增长情况见下图（从左至右从上至下依次为到）

图9 R的调整对人口变化的影响

在我们求解的时候，我们对R的值取一系列的值，比较不同的R值情况，得出的人口预测模型的结果。从上面的结果可以看出R的取值范围在1R1.3和现实的状况比较接近。我们取定R的值为。解决问题的程序见附录二的MATLAB程序。在取定R值为的情况下，我们建立的模型对以后年份的预测结果如下：

表8 模型二预测2005年到2054年全国人口数据（单位：万人）

年份 人数 年份 人数 年份 人数 年份 人数 年份 人数

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

130693 131597 132468 133317 134143 134945 135725 136479 137208 137914 2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

138593 139250 139881 140485 141067 141621 142152 142655 143124 143570 2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

2032

2033

2034

143983 144368 144723 145047 145346 145609 145843 146043 146209 146341 2035

2036

2037

2038

2039

2040

2041

2042

2043

2044

146437 146501 146533 146536 146507 146450 146371 146261 146135 145986 2045

2046

2047

2048

2049

2050

2051

2052

2053

2054

145823 145655 145471 145289 145121 144939 144763 144536 144260 144035

图10 模型二预测全国人口变化图

图11模型二预测城镇人口变化图 图12 模型二预测乡村人口变化图

图13 模型二预测老年变化图 图14 模型二预测劳动人口变化图 图15 模型二预测育龄妇女变化图 图16 模型二预测性别比变化图

结果分析

从上面的结果可以看出，此模型下我国未来人口的峰值出现在2040年，峰值是亿。相对于模型一来讲，峰值出现的时间向后推迟，而峰值比模型一的要大。其实模型而仅在计算新出生的人口是于模型一不同，其他年龄段的人口递归方程与模型一的完全相同。R的值如果变大的话，峰值出现的时间还会向后偏移，并且峰值会变大。R的变大相对于政府放宽了人口计划生育政策。

城镇人口的变化趋势和模型一中的变化趋势基本类似，不过比模型一时曲线要平缓的多。

而乡村人口的变化趋势在此模型下呈现出新的特点。乡村人口总数和乡村人口占全国人口比值都是一直增加的。和模型一相比，无论是总数还是变化率在同一年份都要比模型一的大。而城镇人口则没有这么的明显，说明放宽计划生育政策，乡村人口的变化更明显，而城镇人口的变化比较迟钝。

模型的优点是：此模型基本反映了政策因素对人口的变化影响，这能反应大致趋势。不能完全用来做预测。此模型也就是在模型一的基础上，增加考虑政策因素。 模型的缺点是，仍然没有考虑，乡村人口城镇化的因素，与实际情况不太吻合。另外，R值的确定具有很大的主观因素和随意性，必须在有其他辅助条件的情况下，才有可能确定。全国人口在达到峰值之后的下降趋势很慢。我们无法确定其可信度。R值是一个政策性的因子，人为R值的影响较大。所以此模型不适合中长期预测，只适合在政策可以预期的一段保持不变的时间内有作用，只适用于短期定性预测。

7．模型三

问题的进一步分析

我们建立的模型一，只是对城市，城镇和乡村的人口变化情况，单独考虑与预测，没有考虑乡村人口城镇化，人口老龄化，以及性别比例持续升高等因素的影响。这些因素的影响随着时间的推移，对人口数量的变化影响的作用越来越明显。在模型一的基础上，建立了新的模型三如下:

将所有的影响因素整体考虑为阻滞因子，老龄化上升，乡村人口城镇化的加强，生存资源的约束都会对人口发展起阻滞作用。不考虑他们对人口增长的影响，引入带阻尼系数的预测模型。由于老龄化和乡村人口城镇化都会使，总人口数量减少。阻滞因子的对人口变化起负面影响。 模型建立

第i类，第j年，年龄为k的人口数量的数学模型如下：

Mi,j,kMi,j1,k1(1i1,k1)i1,k1M2i,j1,k1

上面方程中的第一项，表示平均死亡率的影响，第二项表示阻滞项。其中的i,k表示第i类，年龄为k的阻滞系数。根据前5年的数据，估计上述阻滞函数的参数，在01年～05年的过程中，我们可以得到每种类型的人的数量，对不同年龄的人求：

Mi,j,90Mi,j1,89(1i,89)i1,k1M2i,j1,89Mi,j1,90(1i,90);1k89;

i,kMi,j,kMi,j1,k1(1i,k)M2i,j1,k1

我们以第i类，2岁阻滞因子的求解为例。根据01到05年的已有数据，得到4组1到2岁变化过程的数据。求出四个阻滞因子并比较其大小，取最小的一个作为1到2岁变化过程中的阻滞因子。对0到90+岁分别求得系数，代入公式得0到90岁人数变化的公式。新出生的人口数量没有阻滞因子的影响。

第i类，第j年，新出生的人口数量的数学模型方程为：

90Mi,j,0iRM2,j1,k;k1i1,2;90Mi,j,0iRM4,j1,k;， （） k1i3,4;90Mi,j,0iRM4,j1,k;k1i5,6;第i类，第j年，年龄为k的人口数量的数学模型方程为：

Mi,j,kMi,j1,k1(1i1,k1)i1,k1M2i,j1,k1;1k89;

第i类，第j年，年龄为90的人口数量的数学模型方程为：

Mi,j,90Mi,j1,89(1i,89)i,k1Mi,j1,89Mi,j1,90(1i,90);

2第j年总的人口数量的数学模型方程为：

MjMi,j,k;

i1ko690综上所述，模型三为： 模型求解

按照上面建立的模型，通过编写MATLAB程序，求出了一组的初始值。不过用用这组初始值，去预测2005年以后的人口变化。预测的结果很差。分析可能的原因之后，我们认为主要是由于的值过大造成的。采取的处理方法是，分别对的值缩小一定的倍数。用缩小后的值预测的2005年以后人口的变化情况。给出以下机几组典型缩小值后的人口预测图形如下。

图18 值不缩小时预测人口变化图 图19 值缩小为倍时预测人口变

化图

图20 值缩小为倍时预测人口变化图 图21 值缩小为倍时预测人口变化图 根据附件中的中国人口网2007年2月1日发布的《国家人口发展战略研究报告》中的有关数据。我们发现当值缩小为倍时，作出的预测模型是比较符合实际情况的。对比以上四个图形，可以得出如下的结论，随着阻滞因子的不断减小，人口出现峰值的年龄会相有偏移。当不缩小时，的阻滞影响太强列，不符合实际。经过比较，我们选定值缩小为原来的值，作为的修正后的值，并用于预测2005年以后年份的人口数量。通过Matlab程序求解，见.求出如下的结果：

表9 改进模型预测2005年到2054年全国人口数据（单位：万人）

年份 人数 年份 人数 年份 人数 年份 人数 年份 人数

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

130693 131597 132468 133317 134143 134945 135725 136479 137208 137914 2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

138593 139250 139881 140485 141067 141621 142152 142655 143124 143570 2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

2032

2033

2034

143983 144368 144723 145047 145346 145609 145843 146043 146209 146341 2035

2036

2037

2038

2039

2040

2041

2042

2043

2044

146437 146501 146533 146536 146507 146450 146371 146261 146135 145986 2045

2046

2047

2048

2049

2050

2051

2052

2053

2054

145823 145655 145471 145289 145121 144939 144763 144536 144260 144035

图22 模型三预测全国人口变化图

图23 模型三预测城镇人口变化图 图24 模型三预测农村人口变化图 图25 模型三预测老年变化图 图26 模型三预测劳动人变化图 图27 模型三预测育龄妇女变化图 图28 模型三预测性别变化图

结果分析

从上面的结果可以看出，总人口2042年，取得峰值亿，然后下降，和模型二相比，模型的峰值附近的值的变化比较快，峰值附近的值持续时间短。说明，我们的阻滞因子却是起到了作用。城镇人口和乡村人口的变化情况，和模型二相比变化很小。 此模型的优点，是把更多的因素考虑进了模型，更加接近实际；缺点是单纯的用一个笼统的变量来反应，不够精确和合理。并且没有把乡村人口城镇化的因素考虑进去。

8．模型四

问题的进一步分析

考虑人口城镇化因素影响，第i类人，第(j+1)年，年龄为(k+1)的城市人口数量

Mi,j1,k1不仅与第j年，年龄为k的人口存活量有关，还与从乡村迁入城市的年龄为

(k+1)的人口数量有关。

以2004年1岁人口和2005年2岁人口的变化来说明我们建立模型的思路。从附件中提取如下数据：

表10 04年和05年1岁人口和2岁人口的有关数据 市

存活数 总数 2005 2004 1岁 2岁 1岁 2岁 3078037 2717175 2180055 2583504 存活数 3116753 2899305 2181822 2584620 镇 总数 存活数 2349516 2215824 1656780 1854874 2351292 2216932 1656780 1856392 乡 总数 8366086 8366086 7110809 7875412 8352079 8355829 7105042 7868422 注：T1:04年1岁城市人口存活数； T2:05年2岁城市人口总数；

H1:04年1岁城镇人口存活数； H2:05年2岁城镇人口总数； K2:04年1岁乡村人口存活数； K1:05年2岁乡村人口总数；

从上面的数据可以看出，2005年城市2岁人的总数比2004年1岁人的存活数要大，说明在2005年有一部分2岁的人口从乡村迁移到城市，对于城镇有类似的结论。对于乡村来说，2005年2岁人的总数比2004年1岁人的存活数要小，说明在2005年，有一部分2岁的人口从乡村迁出。结合我们的模型假设，乡村人口城镇化只有两种情况，从乡村迁移到城镇和从乡村迁移到城市，不存在从城镇迁移到城市的情况。乡村人口的变化量和变化率的符号表示如下：K1K2 ， ；城市人K1口变化量为：1T2T1；城镇人口变化量为：2H2H1。当乡村人口向城市和城镇迁移的变化过程中，如果全国所有城市，城镇和乡村全部考虑进去，会有以下的等式成立：12，不过我们的题目中只是全国情况的一个抽样，满足上述等式关系的可能性不大。所以我们求出如下的两个相对迁移率：

P11;

122岁乡村迁出人口，迁移到城市的数量占2岁乡村迁出总量的相对迁入率。

P22;

122岁乡村迁出人口，迁移到城镇的数量占2岁乡村迁出总量的相对迁入率。 只要我们得出每个年龄乡村人口迁出率，以及每个年龄城镇和城市人口的相对迁入率，就可以得出在考虑迁移因素影响下的城市，城镇和乡村的人口变化模型。基于这一思想，通过对2004年到2005年所有类型的人口各求出一组以上的三个参数，

u,p1,p2

模型建立

乡村人口变化的递归方程是：

Mi,j+1,k+1(1i,k)(1i,k1)Mi,j,ki,kMi,j,k2;i5,6;

城镇人口变化的递归方程是：

Mi,j+1,k+1(1i,k)Mi,j,kP2i,k(1i2,k)i2,k1Mi2,j,ki,kMi,j,k2;i3,4;

城市人口变化的递归方程是：

Mi,j1,k1(1i,k)Mi,j,kP1i,k(1i4,k)i4,k1Mi4,j,ki,kMi,j,k2;i1,2; 在上面的递归方程中，没有考虑0岁和90人口的计算方法，并且这两个年龄的人口方程不符合上面的递归方程。0岁的人由于刚出生，不参与递归过程。第i类第j年0岁的人口数量的方程如下：

90Mi,j,0RiM2,j,m; m0i1,2;90RiM4,j,m;M i,j,0 m0i3,4;90Mi,j,0RiM6,j,m; m0i5,6;在计算第i类第j年90岁以上的人口数量的时，仍然要从两个方面来考虑。计算方程如下：

2Mi,j+1,90+Mi,j,89(1i,89)(1i,90)i,89Mi,j,89Mi4,j,90(1i4,90)i4,90P1i,90;i1,2;2Mi,j+1,90+Mi,j,89(1i,89)(1i,90)i,89Mi,j,89Mi2,j,90(1i2,90)i2,90P2i,90; i3,4;2Mi,j+1,90(1i,89)(1i,90)Mi,j,89i,89Mi,j,89;i5,6;则第j年全国人口的总数是:

MjMi,j,k;

i1k0690综上所述，模型四为：

模型求解

从上面的方程可以看出，只要求出i,k,P1i,k,P2i,k就可以得到递归方程的确切形式。然后就可以递归出05年以后每年的人口情况。2003年，SARS病毒爆发期间，国家实施了强制的政策，限制了人口的自然流动。所以2003年的数据在乡村人口城镇化方面，不能真实反映自然情况。又因为2001年和2002的数据距离我们模型预测的起点较远。最终，我们选择2004和2005年的数据，作为我们的求解依据。

根据04年和05年的数据，编写MATLAB程序实现模型四问题进一步分析中的

i,k,P1i,k,P2i,k的求解方法，得出90组数据,p1,p2。通过分析得到的结果，发现有些年龄组的数据不符合实际，例如有些年龄组的城市的迁入率是负值，有些年龄组的乡村的迁出率是负值。分析之后，发现是由于样本数据本身不具备全局代表性导致的。对于不符合实际情况的数据做出如下修正。用距离不符合实际数据最近的一个符合实际的数据代替不符合实际的数据，因为年龄相近的人口迁移率基本上是相同的。我们的修正是在程序当中实现的。

分析实际情况下的乡村人口城镇化的过程后，我们发现不同年龄段的乡村人口向城镇迁移率是不同的。一般老年人和儿童向城镇迁移率比较小，青壮年人向城镇的迁移率比较大。我们按年龄把乡村人口划分为三类：20岁以下的人，21到50岁的人和50岁以后的人。对每一类人，我们给定一个平均的迁移率。在计算的过程中，用平均迁移率，来递归05以后每年的人口数量。通过Matlab程序求解，见.模型的求解结果如下：

表11 模型四预测2005年到2054年的人口数

年

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 份

人130693 131595 132464 133309 134132 134929 135702 136450 137170 137865

数 年份 人数 年份 人数 年份 人数 年份 人数

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024

138533 139174 139787 140375 140933 141466 141968 142436 142877 143286 2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

2032

2033

2034

143666 144017 144335 144628 144881 145102 145290 145440 145554 145627 2035

2036

2037

2038

2039

2040

2041

2042

2043

2044

145661 145658 145621 145543 145434 145293 145113 144914 144685 144447 2045

2046

2047

2048

2049

2050

2051

2052

2053

2054

144200 143936 143689 143454 143201 142937 142576 142150 141788 141439

图29 模型四预测全国人口变化图

图30模型四预测城镇人口变化图 图31 模型四预测农村人口变化图

图32 模型四预测老年人口变化图 图33 模型四预测劳动人口变化图 图34模型四预测育龄妇女变化图 图35 模型四预测性别变化变化图

结果分析

通过图13我们可以看出，在2036年中国人口数量达到峰值亿。然后人口数量开始下降，在2054年左右人口数量降到亿左右。在峰值附近的几年，人口的变化率比较小，人口曲线比较平缓，可能中国人口的总数，会在此峰值附近的几年维持一个比较恒定的水平。

由图14我们可以看出，城镇人口不断增加，城镇人口占全国总人口的比例程上升趋势。图15可以看出，农村人口呈下降趋势，并且农村人口占全国总人口的比例程下降趋势。在迁移模型下，我们考虑了城镇化对人口变化的影响，分析可知，受城镇化的影响，大于出生率、老龄化、和性别关系的影响时，城镇的人口数会越来越多，

农村人口的人数越来越少。同时，城镇人口占总人口的比例程上生趋势，而农村人口占总人口的比例程下降趋势。说明我们考虑了城镇化进程，结果还是比较符合实际情况。

模型的优点是把多种影响模型的因素都考虑进去了，和实际的人口变化情况更好的吻合。比较准确的预测了，中短期内人口总量的变化状态。

模型的缺点是,在建立模型的过程中，始终假定每年的出生率和死亡都是一个恒定的值，事实上不是一个恒定值。并且始终假定新出生的婴儿的性别比例恒定不变。这也和实际情况不太一致。这些因素都会导致我们模型的结果预测上的偏差。

9．对政府政策的建议

在模型四的基础上，《国家人口发展战略研究报告》中政府的战略目标中得出，到2010年人口的总量应控制在亿人，到2020年人口总量控制在亿人，到本世纪中叶人口控制在15亿左右。调整政府影响因子，使得人口增长模型基本上满足政府的战略目标，对政府给出战略措施和政策建议。

对R在到之间进行调整，运用matlab求解得到R值不同时对应的2010年、2020年及峰值的数据如下表：

表12：政策因子的变化对人口变化的影响

2010年人口

2020年人口

年份

高峰值

R

通过表中的数据与政府的战略目标进行比较我们发现，当R＝时与政府的战略目标基本吻合。所以，为了完成政府的战略目标我们对政府的政策的建议为调整影响因子R＝

10．模型的优缺点

1、模型的优点

（1）综合考虑了多方面的因素，且分类详细，共对数据划分了90×6类。 （2）逐步对模型进行深化。特别在模型四中，考虑城镇化率对人口增长的影响时，城镇人口数量在总人口的比例与模型二和模型三中有较大的差别。进一步说明了模型的合理性和可靠性。

2、模型的缺点

(1)有国家统计《国家人口发展战略研究报告》上所给出我国出生人口的高峰潮，通过已有的三个高峰潮我们可以估算出未来的生育高峰期，但是我们在建立的模型过程并未对此进行详细的分析

(2) 《国家人口发展战略研究报告》上还给出未来我国的男女比例不是一个固定的不变的关系，为了简化模型我们通过前5年给出的男婴和女婴的出生率加权平均后得到男婴和女婴的比例，在以后的迭代过程中，我们将其视为固定值

11．参考文献

[1]石博强等，MATLAB数学计算范例教程，北京：中国铁道出版社，

[2]赵静等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社， [3]幺焕民等，数学建模，哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社， [4]2005年中国统计年鉴

[5]2005年全国1%人口抽样调查主要数据公报