材料阅读题、新定义

33，2.53，1、对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.21，

若x45，则x的取值可以是（ ）. 10A.40 B.45 C.51 D.56

2、若定义：f(a,b)(a,b)， g(m,n)(m,n)，例如f(1,2)(1,2)，

g(4,5)(4,5)，则g(f(2,3))=（ ）

A．(2,3)

B．(2,3)

C．(2,3)

2

D．(2,3)

3、对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a+ab﹣2，有下列命题：

①1⊗3=2；

②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2=1； ③不等式组

的解集为：﹣1＜x＜4；

④点（，）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上． 其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④ 4、对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（ ） A． 在同一条直线上 B． 在同一条抛物线上 C． 在同一反比例函数图象上 D． 是同一个正方形的四个顶点

5、已知fx1，则

xx1f1f2……

11

1111211

22123fn14，求n的值。 15已知f1f2f3

1

2aab(ab),6、 (2013年临沂) 对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为2（ab).abb4>2,所以4﹡24428.若x1,x2是一元二次方程x5x60的两个根，则x1﹡

22x2=

b3

8、定义一种新的运算a﹠b=a，如2﹠3=2=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ．

9、我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是 之间的任意两个实数） （写出1个即可）．

，

（或介于

和

10、若正整数n使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，个数位上均不产生进为现象，则称n为“本位数”，例如2和30是 “本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为____.

12、选取二次三项式axbxc a0中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如

2①选取二次项和一次项配方：x24x2x22； ②选取二次项和常数项配方：x4x2x2 或x③选取一次项和常数项配方：x2222224x，

4x2x2422x 4x22x2x

2222根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x28x4的两种不同形式的配方； （2）已知xyxy3y30，求xy的值。

13、人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程x+kx+6=0的一个根是m． （1）求m和k的值；

2

（2）求方程x+kx+6=0的另一个根．

2

22﹣=0无解，方程

2

14、阅读材料：求1+2+2+2+2+…+2的值．

23420122013

解：设S=1+2+2+2+2+…+2+2，将等式两边同时乘以2得：

234520132014

2S=2+2+2+2+2+…+2+2

2014

将下式减去上式得2S﹣S=2﹣1

2014

即S=2﹣1

23420132014

即1+2+2+2+2+…+2=2﹣1 请你仿照此法计算：

23410

（1）1+2+2+2+2+…+2

234n

（2）1+3+3+3+3+…+3（其中n为正整数）．

15、定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．

（1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ． （2）如果[

]=3，求满足条件的所有正整数x．

2342013

16、定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算，比如： 2⊕5＝2(2－5)+1 ＝2(－3)+1 ＝－6+1

＝－5

（1）求（－2）⊕3的值

（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来.

17、阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立． 证明：∵（）≥0，∴a﹣+b≥0． ∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立． 举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值． 18、阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=

2

（1+）．善于思考的小明进行了以下探索：

222

设a+b=（m+n）（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m+2n+2mn．

22

∴a=m+2n，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b

2

2

2

=，用含m、n的式子分别表示

a、b，得：a= m+3n ，b= 2mn ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2

2

）； （3）若a+4

=

，且a、m、n均为正整数，求a的值？

=（ 1 + 1

3

19、阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

20、阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=

，同理

，所以

AB的中点坐标为

以A、B两点间的距离公式为

．由勾股定理得AB=

．

2

，所

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立． 解答下列问题：

2

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

4

21、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

ACBC，那么称点C为线段AB的黄金ABAC分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果

S1S2，那么称直线为该图形的黄金分割线. SS1（1）如图2，在△ABC中，A36°，ABAC，C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，DC90，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. · A

C C A

· C 图1

· B

A

D 图2

B

图3

D

A

B

H B D

F C 图4

E

5

22、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度

数．

23、(2013年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。 A A A’ A’

B’ C’ B C C’ B C B’

 

(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；  △GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)

(2) 如图，在锐角△ABC中，A<B<C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重 合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明 理由。 C

A B



6

24、我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

AO2； （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：

AD3（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶

S四边形BCGH

点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究

S△AGH 的最大值。

O

BD （图1）

AO2，试判断O是AD3AAAGOCBCBOHCD（图2）D（图3）

7