矩形的性质和判定
1． 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2． 如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3． 如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。 4． 现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5． 矩形的一条较短边的长为5 cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6． 如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE ⊥ BD于E，∠ DCE：∠ ECB=3：1，则 ∠ACE=____度。
7． 下列说法中正确的是( )
A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8． 四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（ ） A．AB=CD,AD=BC, BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180° D．∠ BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180° ★菱形的性质和判定
9． 己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。 10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。 13．菱形具有而矩形没有的是（ ） A．对角线相等且互补 B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边想等 D．对角线互相垂直。 14．下列命题正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角钱互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ★正方形的性质及判定
15．如图32-3-4，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=____。
16．如图32-3-5，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=____。
17．如图32-3-6，若P是边长1的正方形ABCD内一点且S△ABP=0．4，则S△DCP=____。
18．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 [互动探究，拓展延伸] [科学综合] （一）新形题
19．如图32-3-7，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AP∥BD，DP∥ AC，AP、
DP交于点P，你能判断四边形AODP是什么特殊四边形吗？证明你的结论。
[创新思维]
20．如图32-3-8，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196 C．280 D．284
（二）课本习题变式题
21．（课本P148习题4变式题）己知：如图32-3-9，BD、CD是△ ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE。
（三）易错题
22．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 （四）难题巧解题
23．如图32-3-10，一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个顔色不同的正方形组成，设中间最小的正方形边长为a,求整个矩形色块的面积。
（五）一题多解题
24．如图32-3-11所示，平行四边形 ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB、CD分别交于F、E，证明四边形DEBF是菱形。
[迁移运用，落实课标]
[数学在经济、科技、生活中的应用
25．木工师傅在做门时，为了检查是否合乎要求，只需用尺量一下对角线是否相等，就可以做出判断，你知道为什么吗？
[自主探究]
26．如图32-3-12所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，（1）BO与对角线AC有怎样的数理关系。（2）如果涂掉AD、OD、CD三条线段，如图（2）这时，BO是Rt
△ABC的斜边AC的什么线段？由（1）图能发现什么结论？试用语言描述。
[潜能开发]
27．如图32-3-13所示，己知 ABC的三边在BC的同侧作等边三角形ABD、BCE、ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当 ABC满足什么条件时，四边形 ADEF为矩形、菱形？
（3）当 ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？ [信息处理]
28．如图32-3-14所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30 米，求四边形BEDF的面积。
[开放实践]
29．如图，32-3-15所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分。（至少有两种画法）
[经典名题，提升自我]
30．如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得四边形是（ ）]
31．（2004 呼和浩特）下列各图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
32．如图32-3-16，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F、E为垂足，连结DF，则 CDF等于（ ）
33．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 [开放实践]
34．如图32-3-7所示，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分 BAD，交BC于E， CAE=15，那么 BOE=_____。
[趣味数学]
35．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但顔色不同的布料生产一批形状如图32-3-18所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点。其中阴影部分用甲布料（截剪两各布料时，均不计余料）。若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）
A．15匹 B．20匹 C．30匹 D．60匹 参考答案： 1．5 2．=
3．22cm或20cm 4．3 5．10 6．45 7．D 8．D
9．203 10．
24 511．52 12．58° 13．D 14．D 15．15° 16．22．5° 17．0．1 18．B
19．AODP是菱形。
证明：∵AP∥ BD，DP ∥AC，∴四边形AODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，∴OD=
11BD，OA= AC，AC=BD， 22∴OA=OD，∴Y AODP是菱形。 20．C
21．点拨：证明FE=FD，再利用等腰三角形边上的三线合一。 22．错解D 正确答案C
23．解：如图，设其中一个正方形边长为X，则其它边长可表示为（如图）x+a,x+2a,x+3a,
2
x+2a+x+3a=x+a+2x, x=4a．矩形邻边长为14a和11a, 矩形色块图面积为14a×11a=143a
24．证法1 因为EF垂直平分DB，所以O是 YABCD的对称中心，所以 △DOF和 △BOE关于点O对称，故FO=EO。又已知DO=BO，因而四边形DEBF是平行四边形，又因为EF ⊥DB，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定四边形DEBF是菱形。
证法2 已知EF垂直平分DB，得O是Y ABCD的对称中心，所以 △DOF和 △BOE关于点O 对称，即DF=BE。双因为EF垂直平分DB。所以DF=FD，DE=BE，因而得DE=BE=BF=DF，根据“四条边都相等的四边形是菱形”得四边形DEBF是菱形。
25．根据矩形的对角线相等进行判断。 26．解：（1）BO=
1AC。 21 AC，语言描述：2（2）BO是RT △ABC的斜边AC边上的中线。由图（1）得BO＝直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
27．（1）平行四边形
（2）当 ABC满足当∠ A=150°时，四边形ADEF为矩形;当AB=AC时，为菱形。 （3）当 BAC=60° 时，四边形ADEF不存在。
28．解：如图，连结DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥ CD，所以∠ ODF=∠ OBE,由EF垂直平分BD，得OD=OB，∠DOF= ∠BOE=90°，所以△ DOF是 △BOE成旋转对称，故DF=BE，所以四边形BEDF是平行四边形，又因为EF是BD的垂直平分线，所以FD=FB，因此BFDE是菱形，所以S菱形BFDE=
112
·EF ·BD= ×30×40=600(米)。 22
29．分割法如图所示：
30．C 31．A 32．D 33．D 34．75° 35．C
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