人教初中数学 《一元二次方程教学设计

一、内容和内容解析 1．内容

一元二次方程的概念及一般形式． 2．内容解析

以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一．这些概念是全章后续内容的根底． 本课的教学重点是：对一元二次方程及其有关概念的认识． 二、目标和目标解析 1．目标

(1)理解一元二次方程的概念．

(2)掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项． 2．目标解析

达成目标(1)的标志是：能够通过实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出的这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，得出一元二次方程的定义．

达成目标(2)的标志是：会将一元二次方程整理成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项；能在具体例子中识别各项系数的取值．能注意到二次项系数不为0． 三、教学问题诊断分析

列方程的内容贯穿本节课的始终，这是本课的教学难点.教学时应注意控制问题背景的难度，要有利于学生经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，进而认识一元二次方程及其相关概念．

四、教学过程设计 1．归纳概念

问题1 根据实际背景，列出方程：

(1)要设计一座高2 m的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？

(2)有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突

2

出局部折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

(3)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？

师生活动：通过多媒体播放图片，引入问题．通过教师引导，学生独立思考列出方程，解决问题． 设计意图：通过实际问题引入一元二次方程的概念，提高学生建立方程模型解决实际问题的能力．

问题2 观察上面三个方程，它们与一元一次方程有什么共同点?有什么不同点？ 师生活动：学生观察，并归纳出共同特征：①整式；②一元；③2次．

给知名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．

设计意图：让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而到达真正理解定义的目的． 2．辨析稳固概念 问题3 区分以下各式是否为一元二次方程．

22(1)4x＝81； (2)2(x－1)＝3y； (3)3x(x－1)＝5(x＋2)； 22

(4)2x＋3x－1； (5)关于x的方程mx－3x＋2＝0(m≠0)．

师生活动：学生独立思考后答复．教师引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念．

2一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax＋bx＋c＝0(a≠0)．

2这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

设计意图：稳固对一元二次方程定义中3个特征的理解．

此环节采取抢答的形式，提高学生的兴趣和积极性．在练习后，通过类比一元一次方程的一般形式，得出一元二次方程的一般形式和项、系数的概念．

问题4 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．

师生活动：学生尝试完成，教师引导学生得出化为一元二次方程一般形式的一般步骤． 设计意图：加深学生对一般形式的理解． 3．练习、稳固概念

教科书第4页练习1，练习2．

师生活动：学生独立完成后再全班交流．

设计意图：稳固一元二次方程的一般形式，掌握化为一般形式的方法． 4．小结

问题5 答复以下问题：

(1)本节课学了哪些主要内容？ (2)一元二次方程的概念是什么？

(3)如何转化为一般形式，包括哪些项？

师生活动：学生独立思考后答复、相互补充，教师归纳总结．

设计意图：梳理本课所学内容，形成对一元二次方程的概念、一般形式等的完整认识，特别要强调二次项系数不为0的重要性． 5．布置作业

教科书第4页习题21.1第1题，第2题，第3题． 五、目标检测设计

1．根据以下问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．

2

(1)一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm，矩形的长和宽各是多少？

(2)参加一个聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？ 设计意图：稳固对一元二次方程的一般形式的认识，为后面讨论一元二次方程的解法做准备．

2

2．以下哪些数是方程x＋x－12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4

设计意图：稳固一元二次方程的根的概念．15.2.2 分式的加减 教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算.

3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11) (1) ( 〔2〕()() x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算： (1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2

aa22aa24a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(114)2，并求出当a-1的值. a2a2a

六、答案：

ab 〔3〕3 abxy11 五、1.(1)2 (2) 〔3〕 2xyza2 四、〔1〕2x 〔2〕

a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4

13.3.1 等腰三角形

教学目标

〔一〕教学知识点

1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求

1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

重点难点

重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．

难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备

师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

AABI

BIC

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．

A 〔投影仪演示学生证明过程〕

[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

ABAC, BDCD,

ADAD,BDC 所以△BAD≌△CAD〔SSS〕． 所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC, BADCAD,

ADAD, 所以△BAD≌△CAD． 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=

A1∠BDC=90°． 2BDC [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．

A 〔演示课件〕

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数．

D [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

CB∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD〔等边对等角〕．

设∠A=x，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习

〔一〕课本练习 1、2、3． 练习

1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

36120(1)(2)

答案：〔1〕72° 〔2〕30°

2.如图，△ABC是等腰直角三角形〔AB=AC，∠BAC=90°〕，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

AABDC

BCD 答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和 ∠C的度数．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业

〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．

2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

BDA

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，

EC12, ADAD,

ADPADC,P ∴△ADP≌△ADC．

B ∴∠P=∠ACD． D 又∵DE∥AP， ∴∠4=∠P． ∴∠4=∠ACD． ACE ∴DE=EC．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习

1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线 C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50° 答案：1．C 2．C

3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．

解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．

15.2.2 分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11))() (1) ( 〔2〕(x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算：

(1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2 22aa2aa4a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(

六、答案：

114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab 〔3〕3 abxy11 五、1.(1)2 (2) 〔3〕

xy2za2 四、〔1〕2x 〔2〕

a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4