高中竞赛常用的不等式

22222221．柯西不等式(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)，

ana1a2。 其中等号成立条件为

b1b2bn附：

给出大家可能没见过的证明: 对于一元二次方程

2222(a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)0

等价于(a1xb1)(a2xb2)(anxbn)0， 该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即

22224(a1b1a2b2anbn)24(a12a2an)(b12b2bn)0，

222ana1a2得证，且等号成立条件，。 b1b2bn

2．四个平均的关系：

22a1a2ana12a2an平方平均Qn，算术平均An，几何平

nn均Gnn1Ha1a2an，调和平均n111。

a1a2an满足关系：QnAnGnHn，其中等号成立条件为a1a2an。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：a1a2an，b1b2bn，则有

a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjna1bna2bn1anb1

（同序和） （乱序和） （逆序和） 。

其中j1,j2,,jn是1,2,…,n的一个排列。 4．切比雪夫不等式：若a1a2an，b1b2bn，则有

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn。

nnn附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

5．关于凸函数的琴生不等式：

f(x)的二阶导数f''(x)0，则f(x)为下凸函数；f(x)的二阶导数f''(x)0，

则f(x)为上凸函数。凸函数有琴生不等式性质： 若f(x)在区间I为下凸函数，则对x1,x2,,xnI， 总有f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))；

nn若f(x)在区间I为上凸函数，则对x1,x2,,xnI， 总有f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))。

nn1，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 x2附：应用f(x)111n322aa2an。 22，等号成立条件1a1a2an(a1a2an)而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的

1112n2()2aa2an。 22，等号成立条件1a1a2ana1a2an