2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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B题 交巡警服务平台的设置与调度
“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。
附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。
交巡警的服务平台的设置与调度
摘要
正在整理……
一、问题重述
……
二、问题分析
……
三、模型的假设
^
四、符号说明
^
五、模型的建立与求解
问题一：
（1）各交巡警服务平台的管辖范围，尽量在 分钟内到达事发地，实质上是求最短路径问题。即在不考虑各个警亭工作量的前提下，对整个 区域各个警亭管辖区域进行分配，把各个点和路段分配给各自附近最近的警亭管理，这样才能在尽可能短的时间内赶到事发地点。根据离散数学中图论相关知识，使用floyd算法解决该问多源最短路问题。
通过matlab程序运算出的结果画出图像如下：
说明：
（1）图中实线表示市区道路；各个不同颜色表示分属不同区域警亭；
（2）实圆点“•”表示路段分节点；
（3）实圆点“•”表示A城区的路口节点；
（4）圆圈“○”表示现有交巡警服务平台的设置点；
（5）圆圈加星号“○ •”表示在路口处设置了交巡警服务平台；
程序运行结果数据见附录。
（2）抽取问题模型，即求全区20各交巡警服务平台如何尽可能快速的分配到13个需要封锁的路口，问题模型转化为两个集合Sets1={20个巡警平台}，Sets2={13个路口}，在两个集合中建立Sets2集合的完全匹配，并且使得匹配的各条线段尽可能的短，因为这条匹配是制约堵截完成时间的重要标识。
根据完全匹配模型建立约束条件方程组如下：
建立目标函数如下：
其中 表示街道 号结点到 号结点的距离。目标函数意义：求取一种完全匹配方案使得一组解中的距离边的距离值尽可能的小。详细lingo非线性规划程序见附表。程序运行结果为： ，即一组完全匹配最优解中警亭到相应封锁路口的一条最长路段最短为
得到路径最短最优值后，为得到一组该解下的最优方案，故需再次进行非线性规划求解一组最优警力分配方案，建立新的约束条件方程组如下：
建立目标函数如下：
目标函数意义：求取一组解使得完全匹配的所有路径和最短，即获得最优方案。使用数学软件lingo变成解该非线性规划（详细程序见附录），运行程序获得结果为 ，即最优
方案全部路径和为 。最优分配方案结果如下：
出入A区的路口标号 堵截路口的警亭编号
(3)
出警时间数学期望 分钟的条件下， , 的密度函数为 ，且以 记已知 的条件下， 的条件数学期望：
， 是相依的随机变量，设 与 的函数关系为 ，使 与
尽可能靠近，运用最小二乘法，要求使 达到最小。因为
故当 时 达到最小。即当我们观察到 时， 是一切对 估值中均方误差最小的一个。
是 关于 的回归。
限定为 的线性函数 ，求 ， 使 达到最小。
把 对 ， 求偏导数，并令它们等于 。得到
整理后为
所以
最佳线性预测为
由上可知为避免工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，所以应使得 的值尽可能接近 ，故当 时，得 的值最接近 。因此统计出交巡警平台21-92号各平台，以其点连接路线 内结点的工作量，与 相比较，值越靠近，应该在该点增加平台。由此可知添加平台的个数为 个，分别为 结点, 结点, 结点, 结点。
问题二
B题 交巡警服务平台的设置与调度
“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。
附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。
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