2015年浙江省高考理科数学试卷及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式

如果事件A,B互斥 ，那么 如果事件A,B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A 恰好发生

k次的概率

台体的体积公式

其中S1,S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高

柱体体积公式VSh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式S4R2

球的体积公式VR3其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合P={x|x2-2x≥0}, Q={x|1213432.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几

正视图2侧视图22俯视图何体的体积是

( )

A.8cm3 B.12cm3 C.32cm3 D.40cm3

333.已知{an}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是Sn, 若a3, a4, a8 成等比数列, 则( )

A. a1d>0, dS4>0 B. a1d<0, dS4<0 C. a1d>0, dS4<0 D. a1d<0, dS4>0

4.命题“nN*,f(n)N* 且f(n)≤n” 的否定形式是( ) A.nN*,f(n)N*且f(n)>n B.nN*,f(n)N*或f(n)>n C.n0N*,f(n0)N*且f(n0)>n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)>n0

5.如图, 设抛物线y2=4x的焦点为F, 不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B, C, 其中

点A, B在抛物线上, 点C在y轴上, 则△BCF与△ACF的面积之比是( )

|BF|21|BF|1A. B.

|AF|1|AF|21OByAFx|BF|21|BF|1C. D.

|AF|1|AF|21C6.设A, B是有限集, 定义d(A, B)=card(AB)-card(AB), 其中card(A)表示有限集A中的元素个数,

命题①：对任意有限集A, B, “A≠B”是“d(A, B)>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A, B, C, d(A, C)≤d(A, B)+ d(B, C), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f(x)满足, 对任意x∈R都有( ) A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

8.如图, 已知△ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将△ACD折 成△ACD, 所成二面角ACDB的平面角为, 则( ) A.ADB≤ B.ADB≥ C.ACB≤ D.ACB≥

二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。

x29.双曲线y21的焦距是 , 渐近线方程是

22x3,x1f(x)=x, 则

lg(x21),x110.已知函数f(f(-3))= , f(x)的最小值是

11.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 , 单调递减区间是 12.若a=log43, 则2a2a=

A13.如图, 三棱锥A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2,

BC 点M, N分别是AD, BC的中点, 则异面直线AN, CM所成NMD的角的余弦值是

14.若实数x, y满足x2+y2≤1, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是

15.已知e1, e2是空间单位向量, e1 e2=1, 若空间向量b满足b e1=2, b e2=5, 且对于

22任意x, y∈R, |b(xe1y e2)|≥|b(x0e1y0 e2)| =1 (x0, y0∈R), 则x0= ,

y0= ,

|b|=

三、解答题：本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分14分)在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知A=,

4b2-a2=1c2

2(I)求tanC的值；(II)若△ABC的面积为3, 求b的值

17.(本题满分15分)如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90°, AB=AC=2, A1A=4,

A1在底面ABC的射影为BC的中点, D为B1C1的中点.

(I)证明: A1D平面A1BC; (II)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值

18.(本题满分15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a, bR), 记M(a, b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的 最大值

(I)证明: 当|a|≥2时, M(a, b)≥2; (II)当a, b满足M(a, b)≤2, 求|a|+|b|的最大值

19.(本题满分15

x2分)已知椭圆y2=1

2上两个不同的点A, B关于直线y=mx+1对称．

2(I)求实数m的取值范围；(II)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点) 20.(本题满分15分)已知数列{an}满足a1=1, 且an1=an-an2 (nN*)

(I)证明：1≤ana≤2 (nN*)

n1(II)设数列{a2n}的前n项和为Sn, 2证明

12)≤Sn2(nn≤

12(n1)nN*)

(2015年浙江省高考数学(理)参考答案 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B 9.23, x2y=0 10. 0,22-3 11. ?, [k? +

38, k? +7], k∈Z

812.433 13.7 14. 3 15. 1, 2,282

16.解: (I)∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2- ∴3sinC=2

2sinB=22sin(C+

2bc 又

b2-a2=1c2∴

22bc-c2

=1c2即3c=222b

4)=2(sinC+cosC) ∴sinC=2cosC, 故tanC=2

2又

(II)S△ABC=1bcsinA=

224bc=3∴bc=6

c=223b∴223b2=62∴b2

=9, 故b=3

法二: (I)∵b2-a2=1c2, A=∴sin2B1=1sin2C 即-cos2B=sin2C

2422∴sin2C=-cos2(34C)=sin2C=2sinCcosC 即sinC=2cosC, 故tanC=2

1, sinC=2 55(II)由tanC=2, 0211tan2C∴sin2B=1(1+sin2C)=

2910∴sinB=

33231022522sinC, 从而c=223b

又S△ABC=1bcsinA=

224bc=1b2= 3 ∴b2=9, 故b=3

317.解: (I)设BC的中点为O, 则A1O⊥平面A1B1C1, 即A1O⊥平面ABC ∴A1O⊥A1D 又A1B1=A1C1, B1D=DC1∴A1D⊥B1C1∴A1D⊥BC, BCA1O=O∴A1D⊥平面A1BC C1A1zDB1(II)建立如图所示的坐标系O-xyz, 则A1D=(-

2, 0, 0), DB=(2C,2, -14)

设平面A1BD的法向量为n=(x, y, z), 则nA1DnDB=0x AOBy∴x0xy7z0, 令z=1, 得n=(0,

7, 1)

设平面BB1D的法向量为m=(u, v, w), 则mDB1mDB=0, 又DB1=(0,

v02, 0) ∴, 令

uv7w0w=1, 得m=(

7, 0, 1)

∴cos=mn1

|m||n|8又二面角A1-BD-B1的平面角是钝角, 故所求的平面角的余弦值为1

8法二: 过A1作A1H⊥BD交BD于H, 连结B1H, 由∠BAC=90°, AB=AC=2 ∴AO=OB=∴A1O=

A1A2OA214, 从而

2

A1B=

A1O2OB2=4=BB1

A1C1DB1又A1D=B1D=H) 2 ∴△A1BD≌△B1BD (此题数据设计的要点, 非常规, 不易发现

C故由A1H⊥BD得B1H⊥BD ∴∠A1HB1是二面角A1-BD-B1的平面角A 由B1C1⊥A1D, B1C1⊥A1O 得B1C1⊥平面A1DO ∴B1C1⊥OD 从而B1C1⊥BB1 ∴A1H= B1H =

B1DB1BB1D2B1B24 3OB2B1H2A1B121∴cos∠A1HB1=

82B1H2因此, 二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值是1

818.解: (I)∵|a|≥2 ∴|a|≥1, 故f(x)在[-1, 1]上为单调函数

2 ∴M(a, b)=max{|f(-1)|, |f(1)|}=max{|1+b-a|, |1+b+a|}=|1+b|+|a|≥2 (最佳表达式, 重复应用)

(II)由(I)知|a|≤2, ∴|a|≤1 ∴M(a, b)=max{{|f(-1)|, |f(1)|, f(a)}

22∴|b|-1+|a|≤|1+b|+|a|=max{|f(-1)|, |f(1)|}≤M(a, b)≤2

∴|a|+|b|≤3, 当a= -2, b= -1时, M(a, b)=2, |a|+|b|=3 (每一点的知识都不难, 串起来才难)

因此, |a|+|b|的最大值为3

法二: (I)由已知得|f(-1)|≤M(a, b), |f(1)|≤M(a, b)

又f(-1)=1-a+b, f(1)=1+a+b ∴2a=f(1) -f(-1) (隐含着通过函数值反求系数, 常法)

∴4≤2|a|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2M(a, b) ∴M(a, b)≥2 (II)由(I)知a+b=f(1)-1, a-b=1-f(-1)

∴|a|+|b|=max{|a+b|, |a-b|}=max{|f(1) -1|, |1- f(-1)|}≤M(a, b)+1≤3 当a= -2, b= -1时, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2∈[-2, 2], |x|≤1, 此时M(a, b)=2, |a|+|b|=3

因此, |a|+|b|的最大值为3

19.解: (I)设A(x1, y1), B(x2, y2), AB的中点M(x0, y0), 则2x0=x1+x2, 2y0=y1+y2

显然m≠0, 故可设直线AB的斜率k=y1y2=1

x1x2m222y22, 相减得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0 即x0由x122y122,x22y0=0 m又点M(x0, y0)在直线y=mx+1上, ∴y0=mx0+1, 故得x0=1, y0=1

22m2又点M在椭圆因此, m>

63x211<1, 解得y21的内部, 故得22m2463m2>2

3或m< (此题用点差法最佳, 简明使得出错的几率小)

法二: 设A(x1, y1), B(x2, y2), AB的中点M(x0, y0), 则2x0=x1+x2 显然m≠0, 故可设直线AB的方程为y =1x+b

m1yxbm由得(1+22mx22y22)x24bx+2(b2-1)=0有两个不等实根x1, x2,

m16b2∴△=28(122)(b21)>0 整理得

mmm2+2-m2b2>0 (*)

且

bm2112bmx0=(x1+x2)=2, y0=x0+b=2

m2m2m2又∵点M(x0, y0)在直线代入(*)式得m因此, m>

632

y=mx+1上, ∴y0=mx0+1, 整理得

223m22bm=

2m(m22)2+24m263>0 即4m2-(m2+2)>0, 解得m2>2

或m< (其中也可得x0=1, y0=1)

m2(II)由k=1, 则0m222k212 1k2∴原点O到直线AB的距离d=

12ykxk2得由x22y22x2-2kx+1(2k2+1)222k21=0 (利用|x1-x2|=)

∴|AB|=

1k2|x1-x2|=

1k24k2(2k1)2282k211k264k2 22k1故S△AOB=1|AB|d=124(2k21)(64k2)1128(k2)28≤422, 且02因此, 当k2=1即m=22时, △AOB的面积S△AOB有最大值

2 220.解: (I)∵an-an+1=an2≥0 ∴an+1≤an ∴an≤a1=1

2 由an=(1an1)an1得an=(1an1)(1an2)(1a1)a10, 故0< an≤1

2anan1an1an(1an)1ananan1 从而∈[1, 2] 即1≤≤2

法二: 在0< an≤1基础上证an≤2an+1可用分析法

2 要使an≤2an+1, 只要an≤2(an-an2)2an2≤an0< an≤1, 故an≤2an+1成立

2(II)∵an2=an-an+1 ∴Sn=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1=a1-an+1=1-an+1

2由an+1=an(1-an) ∴

1an111an1an ∴

111an1an1an∈[1, 2], 02故1≤

1an11an≤2, n∈N*, 累加得n≤

1an11≤2n 即a1n+2≤

1an1≤2n+2

即

1≤an+1≤1,从而n≤Sn=1-an+1≤n

2(n1)2(n2)n22n221≤Sn2(n2)n1(nN*) (1112(n1)an1an1ananan1因此,≤=, (I)(II)关联在此)

法二: (用数学归纳法)

∵an2=an-an+1 ∴Sn=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1=a1-an+1=1-an+1

2要使

1≤Sn2(n2)n≤

1成立, 只须且必须12(n1)2n2≤an+1≤

1(nN*) n2当n=1时, a2=1, 可得1≤a2≤1, 结论成立

443假设当n=k时, 结论成立, 即

1≤ak+1≤1, k∈N*,

k22k2则当n=k+1时, 注意到x-x2在[0,1]上是增函数,

211k1k2(k2)2(k2)2∴ak+2=ak+1-ak21≤

≤

k11 k24k3k3且ak+2=ak+1-ak21≥

112k12k2(2k2)24(k1)2≥

1 2k4(事实上, ∵(2k+1)(2k+4)-4(k+1)2=2k≥0 ∴

2k14(k1)2≥

1) 2k4也就是说, 当n=k+1时, 结论也成立 因此, 原命题得证 再附重点题详解

6.设A, B是有限集, 定义d(A, B)=card(AB)-card(AB), 其中card(A)表示有限集A中的元素个数,

命题①：对任意有限集A, B, “A≠B”是“d(A, B)>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A, B, C, d(A, C)≤d(A, B)+ d(B, C), 则( )

A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立

解: 命题①的逆否命题：对任意有限集A, B, “A=B”是“d(A, B)=0”的充分必要条件

若A=B得d(A, B)=0; 反之, 若d(A, B)=0, 则AB=AB, ∴A=B. 故命题①成立 对于命题②, 此题似乎暗含高等数学度量空间的度量的性质的背景

作出文氏图, 易得d(A, B)+d(B,C)-d(A,C)=card(BCU(AC))+card((AC)CUB)≥0

7.存在函数f(x)满足, 对任意x∈R都有( ) A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

解: (排除法, 利用函数的单值性)在A选项中, 令x=0, 可得f(0)=0或1, 排除A

2B选项中, 令x=0, ?可得f(0)=0或?2+?, 排除B C选项中, 令x=1, -1得f(2)=0或2, 排除C

事实上, 在D选项中, 令x2+2x=t, 则(x+1)2=t+1 ∴f(t)=

t1 即存在

f(x)=

x1

8.如图, 已知△ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将△ACD折 成△ACD, 所成二面角ACDB的平面角为, 则( )

A.ADB≤ B.ADB≥ C.ACB≤ D.ACB≥

解: 过B作BH⊥CD交于H, 过A作AE//CD交BH的延长线于E, 点E折后对应点E 设AD=BD=x, BH=HE=d, AE=AE=2y=2DH, 则x≥d, 且x2-d2=y2, ∠EHB=? 易知AE⊥EB ∴AB2EB2AE2=2d22d2cos4y2

2x2AB22(x2d2)2d2cos4y2 ∴cosADB= 222x2x2d2cos2y2 2x22d2cos≤

2x2≤cos?, 故得ADB≥?

A13.如图, 三棱锥A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2,

BMD点M, N分别是AD, BC的中点, 则异面直线AN, CM所的角的余弦值是

NCE成

解: 取DN的中点E, 则ME//AN, ∴∠CME是AN, CM所成的角 易得CM=2故

2, ME=2, CE=3,

CM2ME2CE27cos∠CME=为所求

2CMME814.若实数x, y满足x2+y2≤1, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是

x2y4, 2xy2

83x4y, 2xy2解: 由x2+y2≤1, 得S=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y=x2y21 画出的可行域, 这是单位圆位于直线

2xy22x+y=2的上方部分(含边界),

目标函数S=x-2y+4在交点A(3,4)处取最小值Smin=3.

55x2y21再画出的可行域, 这是单位圆位于直线

2xy2y2x+y=234A(,)55x3x+4y=52x+y=2的 O下方部分(含边界), 注意, 过点A的圆的切线方程为3x+4y-5=0, 故知此时目标函数S=8-3x-4y仍在交点A(3,4)处取最小值Smin=3

55(此题是分段的目标函数, 再加上是非线性规划问题, 考生不易对付吧)

15.已知e1, e2是空间单位向量, e1 e2=1, 若空间向量b满足b e1=2, b e2=5, 且对于

22任意x, y∈R, |b(xe1y e2)|≥|b(x0e1y0 e2)| =1 (x0, y0∈R), 则x0= ,

y0= ,

|b|=

解: 把e1, e2平移到共起点O后所确定的平面?建立空间直角坐标系O-xyz, 可设e1=(1, 0, 0), e2=(1,

232, 0), 设b=OB=(u, v, w), 由b e1=2, b e2=5,

2得u=2, 1u+v232=5∴v=

23∴b=(2,3, w). 设B在平面?上的投影为M(2,3, 0).

由|b(xe1y e2)|≥|b(x0e1y0 e2)| =1知b=(2,

y0x202且OM=x0e1+ y0e2, ∴, 解得

3y0323,1), ∴|b|=22

x0=1, y0=2

其几何意义: 设OA=2e1,OC= 5e2, 设过点A且垂直OA的平面与过点C且垂直OC

2的平面的交线为m, 则直线m⊥平面?, 且点B在直线m上. 设直线m与平面xOy的 交点为M, 设P是平面xOy上任意点, 则|BP|≥|BM|=1 (此题不难嘛, 吓唬考生吧) 2020-2-8