一、选择题
1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范畴是（ ） A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
2．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情形是（ ）
A．无实根 B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法判定 3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（ ） A．﹣3 B．﹣ C．3
D．
5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75°
6．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．25° D．30°
7．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是（ ）
A．42 B．48 C．54 D．56
8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57
9．将抛物线y=2x2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（ ） A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1）
10．如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（ ）
A．3
B．3 C．2 D．2
二、填空题
11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 ．
13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．
14．如图，⊙O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长是 cm．
15．抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范畴是 ．
16．如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=2，AD=2，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE= ．
三、解答题
17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）
18．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）． （1）求抛物线解析式；
（2）求函数值y＞0时，自变量x的取值范畴．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°． （1）画出旋转后的△AB′C′；
（2）以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，请直截了当写出点B′的坐标 ；
（3）写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积 ．
21．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，假如要使彩条所占面积是图案面积的
，应如何设计彩条的宽度？
22． 2020年十一黄金周商场大促销，某店主打算从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y1（元/件）与采购数量x1（件）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；时尚皮衣的采购单价y2（元/件）与采购数量x2（件）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量许多于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？
（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润． 23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM
（1）如图1，过点A作AF⊥CM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是
（2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰Rt△ADE，再过点E作EN⊥BM于N，求证：CM+EN=MN；
（3）将（2）中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角α后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判定CP、EP的数量和位置关系并证明．
24．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE （1）当a=1时，求点D的坐标；
（2）证明：不管a、m取何值，点E在同一直线上运动；
（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？假如存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；假如不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范畴是（ ） A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0 【考点】一元二次方程的定义．
【分析】依照一元二次方程的定义：只含有一个未知数，同时未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1． 故选：A．
【点评】此题要紧考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一样形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．专门要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情形是（ ）
A．无实根 B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法判定 【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判定出其符号即可． 【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情形与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】依照轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是查找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（ ） A．﹣3 B．﹣ C．3
D．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系，直截了当得出两根的积． 【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2， ∴x1x2=﹣． 故选：B．
【点评】此题考查根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．
5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75° 【考点】全等三角形的性质．
【分析】依照全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD， ∴∠ADB=∠B=60°，
∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=60°． 故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，邻补角的定义的应用，熟练把握全等三角形的性质是解题的关键．
6．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．25° D．30°
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形．
【分析】连接OB，依照OC⊥AB，P为OC的中点可得出OP=OB，故∠OBP=30°，由直角三角形的性质得出∠BOP的度数，依照圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：连接OB， ∵OC⊥AB，P为OC的中点， ∴OP=OB， ∴∠OBP=30°，
∴∠BOP=90°﹣30°=60°， ∴∠BAC=∠BOP=30°． 故选D．
【点评】本题考查的是垂径定理，依照题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
7．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是（ ）
A．42 B．48 C．54 D．56 【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由题意可知：第1个图案需要小木棒1×（1+3）=4根，第二个图案需要2×（2+3）=10根，第三个图案需要3×（3+3）=18根，第四个图案需要4×（4+3）=28根，…，继而即可找出规律，进一步求出第6个图案需要小木棒的根数．
【解答】解：拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒， 拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒， 拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒， 拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒， …
拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根． 当n=6时，n2+3n=62+3×6=54． 故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支， ∴小分支的个数为x×x=x2， ∴可列方程为1+x+x2=57． 故选B．
【点评】考查列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的总数的等量关系是解决本题的关键．
9．将抛物线y=2x2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（ ） A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1） 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】直截了当依照平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线y=2x2﹣1向上平移2个单位再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1，
因此平移后的抛物线的顶点为（1，1）． 故选D．
【点评】要紧考查了函数图象的平移，要求熟练把握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（ ）
A．3 B．3 C．2 D．2
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】第一作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，可求得AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，然后由专门角的三角函数值，判定∠OA′B′=90°，再利用勾股定理求得答案．
【解答】解：作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，
则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°， ∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°， ∵cos60°=，∴∠OA′B′=90°， ∴A′B′=
=2
， ．
=，
∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：2故选D．
【点评】此题考查了最短路径问题以及勾股定理．注意准确找到P，Q的位置是解此题的关键． 二、填空题
11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是 3 ，一次项系数是 ﹣2 ，常数项是 ﹣1 ． 【考点】一元二次方程的一样形式．
【分析】依照一元二次方程的一样形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）专门要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一样形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行分析即可．
【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1， 故答案为：3；﹣2；﹣1．
【点评】此题要紧考查了一元二次方程的一样形式，关键是把握要确定一次项系数和常数项，第一要把方程化成一样形式．
12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 （1，﹣2） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】依照关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直截了当得到答案． 【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）．
【点评】此题要紧考查了关于原点对称的点的坐标，关键是把握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ﹣2 ． 【考点】解一元二次方程-配方法． 【专题】新定义．
【分析】依照新定义得到x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一样式，然后利用配方法解方程即可．
【解答】解：依照题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1， 整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 因此x1=x2=﹣2． 故答案为﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直截了当开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14．如图，⊙O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长是
cm．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【分析】第一作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，依照角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，得出CF的长，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD的长．
【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°， 在Rt△ADF和Rt△BDG，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL）， ∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL）， ∴CF=CG． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=5cm，AB=13cm， ∴BC=
∴5+AF=12﹣AF， ∴AF=， ∴CF=
，
=12（cm）， ，
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CD=故答案为：
（cm）．
．
【点评】本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
15．抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范畴是 x＜﹣1或x＞3 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x=1， ∴抛物线与x轴另一交点的坐标是（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能依照题意利用数形结合求出x的取值范畴是解答此题的关键．
16．如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=24 ．
，AD=2
，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE=
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【分析】如作CM⊥AE于M，设CM=a，在RT△ACM利用勾股定理求出a，再求出CE，由△CAE≌△BAD，得到EC=BD，在RT△EBD中利用勾股定理即可求出BE． 【解答】解：如作CM⊥AE于M，设CM=a， ∵△ABC、△ADE差不多上等边三角形， ∴AC=AB=2
，AE=AD=DE=2
，∠CAB=∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠CAE=∠BAD， 在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD，
∴EC=BD，∴∠AEC=∠ADB=150°， ∴∠EDB=90°， ∵∠AEC=150°，
∴∠CEM=180°﹣∠AEC=30°， ∴EM=
a，
在RT△ACM中，∵AC2=CM2+AM2， ∴28=a2+（2
+
a）2
a=1（或﹣4舍弃）， ∴EC=BD=2CM=2， 在RT△EBD中，∵DE=2∴EB=故答案为4．
=
，BD=2，
=4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度角的性质，解题的关键是利用150°构造30°的直角三角形，求出相应的线段，属于中考常考题型． 三、解答题
17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法） 【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3， ∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣3）=13＞0， x=
=
，
运算即可．
∴x1=，x2=
．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，把握求根公式x=
18．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）． （1）求抛物线解析式；
（2）求函数值y＞0时，自变量x的取值范畴． 【考点】待定系数法求二次函数解析式． 【专题】运算题．
是本题的关键．
【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣2，5）代入求出a的值即可；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范畴即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， 把（﹣2，5）代入得a•（﹣2﹣1）2﹣4=5，解得a=1， 因此抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
而抛物线的开口向上，
因此当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一样地，当已知抛物线上三点时，常选择一样式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，依照垂径定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90°，然后由AAS判定△COE≌△AOF，继而证得CE=AF，则可证得结论． 【解答】证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB， ∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE， 在△OCE和△OAF中，
，
∴△OCE≌△OAF（AAS）， ∴CE=AF，
∴AD=CD．
【点评】此题考查了圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意证得△OCE≌△OAF是解此题的关键．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°． （1）画出旋转后的△AB′C′；
（2）以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，请直截了当写出点B′的坐标 （1，1） ；
（3）写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积
π+1 ．
【考点】作图-旋转变换． 【专题】作图题．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B和C的对应点B′、C′，即可得到△AB′C′； （2）建立直角坐标系，然后写出点B′的坐标；
（3）依照扇形面积公式，运算S扇形BAB′+S△B′AC′，即可得到△ABC在旋转过程中覆盖的面积． 【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）如图，点B′的坐标为（1，1）；
（3）△ABC在旋转过程中覆盖的面积=S扇形BAB′+S△B′AC′=
+×1×2=π+1．
故答案为（1，1），π+1．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：依照旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此能够通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，假如要使彩条所占面积是图案面积的
，应如何设计彩条的宽度？
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】设横彩条的宽度是2xcm，竖彩条的宽度是3xcm，依照设计的图案宽20cm、长30cm，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，彩条所占面积是图案面积的即可．
【解答】解：设横彩条的宽度是2xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则 （30﹣6x）（20﹣4x）=（1﹣解得x1=1或x2=9． ∵4×9=36＞20， ∴x=9 舍去，
∴横彩条的宽度是2cm，竖彩条的宽度是3cm．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，明白得题意，依照题、图，正确的列出方程，现在注意，把不合题意的解舍去．
22．2020年十一黄金周商场大促销，某店主打算从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y1（元/件）与采购数量x1（件）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；时尚皮衣的采购单价y2（元/件）与采购数量x2（件）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
）×20×30，
，列出方程求解
（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量许多于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？
（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润． 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）第一依照题意求出x的取值范畴，结合x为整数，即可判定出商家的几种进货方案； （2）令总利润为W，依照利润=售价﹣成本列出W与x的函数关系式W=30（x﹣9）2+9570，求出二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）设购买羽绒服x件，则购买皮衣（20﹣x）件，则：
，
∴10≤x≤13且为整数， ∴该店主有4种进货方案： 羽绒服10件，皮衣10件； 羽绒服11件，皮衣9件； 羽绒服12件，皮衣8件； 羽绒服13件，皮衣7件；
（2）设购买羽绒服x件，利润为W元，则
W=（1760+20x﹣1500）x+（1700+10（20﹣x）﹣1300）（20﹣x） =30（x﹣9）2+9570（10≤x≤13且为整数） ∵a=30＞0，
∴当10≤x≤13且为整数是，W随x的增大而增大， ∴当x=13时，最大利润为10050元．
答：当采购羽绒服13件时，有最大利润为10050元．
【点评】本题要紧考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润，此题难度一样．
23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM
（1）如图1，过点A作AF⊥CM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是 AF=BM+MF
（2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰Rt△ADE，再过点E作EN⊥BM于N，求证：CM+EN=MN；
（3）将（2）中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角α后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判定CP、EP的数量和位置关系并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
【分析】（1）依照全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换，即可解答；
（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，由四边形GMNH为矩形，得到AH⊥EN，依照三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段，即可解答．
（3）取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，则可构造△PNE≌CMP，结论不言而喻． 【解答】解：（1）AF=BM+MF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF+∠BCM=90°． 又∵AF⊥CM， ∴∠ACF+∠CAF=90°， ∴∠CAF=∠BCM． 在△ACF和△CBM中，
，
∴△ACF≌△CBM， ∴BM=CF，AF=CM，
∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF． 故答案为：AF=BM+MF．
（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，
∴四边形GMNH为矩形 ∴AH⊥EN
依照三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN， ∴CM=AG，EN=AH， ∴MN=GH=GA+AH=CM+EN． （3）如图3，
取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN， ∵△BCA与△AED均为等腰直角三角形， ∴CM=BM=AM，CM⊥BA， EN=AN=DN，NE⊥AD， ∵P为BD中点，
∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA， PM=AN=DN=NE，PM∥AD， ∴AMPN是平行四边形， ∴∠BMP=∠PND， ∴∠PMC=∠ENP， ∴△PNE≌CMP（SAS），
∴CP=PE，
∵CM⊥AB，PN∥AB， ∴CM⊥PN， ∴CP⊥PE，
综上所述，CP=PE且CP⊥PE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，线段和差关系的证明方法、中点的用法、中位线性质等知识点，难度中等．关于证明线段和差关系的结论，截长或补短构造全等三角形是关键．第（3）问是中点的经典用法，取中点，借助中位线转移线段长度和角度，从而构造全等三角形，这一类题要引起重视．
24．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE （1）当a=1时，求点D的坐标；
（2）证明：不管a、m取何值，点E在同一直线上运动；
（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？假如存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；假如不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）依照题意将a=1，C（0，﹣3）代入y=a（x2﹣2mx﹣3m2），进而求出m的值，即可得出答案；
（2）第一依照题意表示出A，B，C，D，进而联立，求出E点坐标即可得
出答案；
（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的关系得出答案．
【解答】解：（1）当a=1时，y=a（x2﹣2mx﹣3m2）=x2﹣2mx﹣3m2， ∵与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴﹣3m2=﹣3， 解得：m=±1， ∵m＞0， ∴m=1，
∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4， 故抛物线顶点坐标为：D（2，﹣3）；
（2）作D关于AB对称的点D′必在AE上， 当y=0，则0=a（x2﹣2mx﹣3m2）， 解得：x1=﹣m，x2=3m， 当x=0，y=﹣3am2，
可得：A（﹣m，0）、B（3m，0），C（0，﹣3am2），D（2m，﹣3am2） ∴D′（2m，3am2）， ∵抛物线过点C， ∴﹣3am2=﹣3， 则am2=1，
∴直线AD′的解析式为：y=x+1，
联立
，整理得x2﹣3mx﹣4m2=0
解得x1=4m，x2=﹣m（舍去） ∴E（4m，5）
∴E在y=5上运动；
（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3） 设P（b，0）
∴PF2=（m﹣b）2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25 ∴（m﹣b）2+16+9m2+9=25m2+25， 解得：b1=﹣3m，b2=5m ∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．
【点评】本题考查了二次函数性质、勾股定理及函数图象上点的坐标性质等知识，正确解方程得出解集进而得出E点坐标是解题关键．
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