一．填空题（共12小题）
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝（0，+∞），则A∩B＝ ． 𝟓𝟏
2．行列式||的值等于 ．
𝟖𝟐
3．（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是 ． 4．若复数z满足z2＝﹣3，则|z|＝ ．
𝒙≥𝟎
5．若实数x、y满足{𝒚≥𝟎，则z＝x﹣y的最小值为 ．
𝒙+𝟐𝒚≤𝟐𝒙=𝟐+𝒕
6．直线l：{（t是参数）的斜率为 ．
𝒚=−𝟏+𝟐𝒕
7．如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长为√𝟐，底面边长为1，则直线D1B和底面ABCD所成的角的大小为 ．
8．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3＝1，S7＝14，则a5＝ ．
9．已知α∈{﹣2，﹣1，−，，，1，2，3}．若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减且
3
2
121
1
为偶函数，则α＝ ．
10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）．
N在以AB为直径的圆上．AM＝3，BN＝2，11．已知点M、若AB＝5，则𝑨𝑩⋅𝑴𝑵= ． 12．已知函数f（x）=|𝑥|−1．若关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是 ．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
x∈R，13．已知向量𝒂=(𝟏，𝒙，−𝟏)，则“x＝﹣1”是“𝒂∥𝒃”的（ ） 𝒃=(𝒙，𝟏，𝟏)，A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
→
→
→
→
→
→
1
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A．19
B．20
C．18
D．21
15．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O．已知角α的m）y）终边l与单位圆交于点A（0.6，，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B（x，，
2𝜋
若tanα=−，则x＝（ ） A．0.6
B．0.8
C．﹣0.6
D．﹣0.8
4
316．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y=√𝒙、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（ ）
16
A．√
3
6B．√
2
3C． 4
3
D． 3
2
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2√𝟐． （1）求该圆锥的体积；
（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．
18．已知函数f（x）＝sinx−√𝟑cosx，x∈R．
（1）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若f（A）＝0，且b＝2，c＝3，求a的值；
（2）求函数y＝f（x）cosx的最大值．
19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系𝟖−𝑥+2，𝟎≤𝒙≤𝟔
可近似地表示为y={．根据经验，当水中含有物质N的量不低于
𝟏𝟐−𝒙，𝟔＜𝒙≤𝟏𝟐4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由． 20．（16分）已知椭圆Γ：
𝑥2𝑎216
+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴
长为短轴长的√𝟐倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A、B，经过点P（0，4）的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点（不同于A、B两点）． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线BM⊥l，求点M的坐标；
（3）设直线AN、BM相交于点Q（m，n），求证：n是定值．
21．（18分）若数列{cn}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ck＝cicj”，则称数列{cn}具有“性质P”．已知数列{an}为无穷数列．
（1）若{an}为等比数列，且a1＝1，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若{an}为等差数列，且公差d＜0，求证：数列{an}不具有“性质P”； （3）若等差数列{an}具有“性质P”，且a3＝2，求数列{an}的通项公式an．
参考答案
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝（0，+∞），则A∩B＝ （0，1] ． 【分析】进行交集的运算即可． 解：∵A＝（﹣2，1]，B＝（0，+∞）， ∴A∩B＝（0，1]． 故答案为：（0，1]．
𝟓𝟏
2．行列式||的值等于 2 ．
𝟖𝟐
【分析】利用行列式的计算公式即可得出． 解：|
𝟓𝟏
|=5×2﹣8×1＝2． 𝟖𝟐
故答案为：2．
3．（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是 10 ．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数． 解：（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是𝑪𝟐𝟓=10， 故答案为：10．
4．若复数z满足z2＝﹣3，则|z|＝ √𝟑 ．
【分析】由已知求得|z2|＝|z|2＝3，开方后得答案． 解：由z2＝﹣3，得|z2|＝|z|2＝3，则|z|=√𝟑． 故答案为：√𝟑．
𝒙≥𝟎5．若实数x、y满足{𝒚≥𝟎，则z＝x﹣y的最小值为 ﹣1 ．
𝒙+𝟐𝒚≤𝟐
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 𝒙≥𝟎
解：由实数x、y满足{𝒚≥𝟎，作出可行域，
𝒙+𝟐𝒚≤𝟐化目标函数z＝x﹣y为y＝x﹣z，
由图可知，当直线y＝x﹣z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为
﹣1．
故答案为：﹣1．
𝒙=𝟐+𝒕
6．直线l：{（t是参数）的斜率为 2 ．
𝒚=−𝟏+𝟐𝒕
𝒙=𝟐+𝒕
【分析】直线l：{（t是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率．
𝒚=−𝟏+𝟐𝒕𝒙=𝟐+𝒕
解：直线l：{（t是参数），消去参数为：y＝2x﹣5，可得斜率k＝2．
𝒚=−𝟏+𝟐𝒕故答案为：2．
7．如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长为√𝟐，底面边长为1，则直线D1B和底面ABCD所成的角的大小为
𝜋4
．
DD1⊥平面ABCD，【分析】连结BD，推导出BD=√𝟐，∠D1BD是直线D1B和底面ABCD所成的角，由此能求出直线D1B和底面ABCD所成的角的大小． 解：连结BD，
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长为√𝟐，底面边长为1， ∴BD=√𝟏𝟐+𝟏𝟐=√𝟐，DD1⊥平面ABCD， ∴∠D1BD是直线D1B和底面ABCD所成的角， ∵D1D＝BD，D1D⊥BD， ∴∠𝑫𝟏𝑩𝑫=4，
𝜋
∴直线D1B和底面ABCD所成的角的大小为．
4
𝜋
故答案为：．
4
𝜋
8．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3＝1，S7＝14，则a5＝ 3 ． 【分析】由等差数列的性质可得：a3+a5＝a1+a7．再利用求和公式即可得出． 解：由等差数列的性质可得：a3+a5＝a1+a7． ∴S7＝14＝7××（a1+a7）=（1+a5）， 解得：a5＝3， 故答案为：3．
9．已知α∈{﹣2，﹣1，−，，，1，2，3}．若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减且
3
2
121
1
1272为偶函数，则α＝ ﹣2 ．
【分析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得a＝﹣2、﹣1或−，据此验证函数f（x）的奇偶性，即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝xα为幂函数，
若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减，必有a＜0，则a＝﹣2、﹣1或−， 当a＝﹣2时，f（x）＝x﹣2=
1
，为偶函数，符合题意， 𝑥21𝑥1212当a＝﹣1时，f（x）＝x﹣1=，为奇函数，不符合题意， 当a=−时，f（x）=则a＝﹣2； 故答案为：﹣2
10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为
49
121，为非奇非偶函数，不符合题意； √𝑥 （结果用数值表示）．
【分析】基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m=
𝟏𝟐𝑪𝟐𝟒𝑪𝟑⋅𝑨𝟐=36，由此能求出每个项目都有该校教师参加的概率．
解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项， 基本事件总数n＝34＝81，
𝟏𝟐每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m=𝑪𝟐𝟒𝑪𝟑⋅𝑨𝟐=36，
则每个项目都有该校教师参加的概率为p=故答案为：．
94
𝑚364
=81=9． 𝑛N在以AB为直径的圆上．AM＝3，BN＝2，11．已知点M、若AB＝5，则𝑨𝑩⋅𝑴𝑵= 12 ． 【分析】连接BM，BN，利用数量积公式表示𝑨𝑩⋅𝑴𝑵，再结合其几何意义即可求出结果．
解：连接BM，BN，因为AB为直径，所以∠AMB＝∠ANB＝90°， 又因为AB＝5，AM＝3，BN＝2， ∴BM=√𝟓𝟐−𝟑𝟐=4；
∴𝑨𝑩•𝑴𝑵=𝑨𝑩•（𝑩𝑵−𝑩𝑴） =𝑨𝑩•𝑩𝑵−𝑨𝑩•𝑩𝑴 =−𝑩𝑨•𝑩𝑵+𝑩𝑨•𝑩𝑴
＝|𝑩𝑨|•|𝑩𝑴|cos∠ABM﹣|𝑩𝑨|•|𝑩𝑵|•cos∠ABN
22
=𝑩𝑴𝟐−𝑩𝑵𝟐=4﹣2＝12．
→→
→→
→→→→→
→→→→
→→→→
→→→→
→→
故答案为：12．
12．已知函数f（x）=|𝑥|−1．若关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ．
【分析】利用函数的奇偶性画出函数f（x）的大致图象，关于x的方程f（x）﹣x＝b有
1
三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，利用导数的几何意义求出直线y＝x+b与函数f（x）相切时，b的值，根据函数图象，即可求出有三个不同的交点时b的取值范围．
解：显然函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，画出函数f（x）的图象，如图所示：
，
关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，
设当x＜0且x≠﹣1时，直线y＝x+b与f（x）=∴f'（x）=
1(𝑥+1)
2，∴1
相切时，切点坐标为（x0，y0）， −𝑥−11
(𝑥0+1)2
=𝟏，
解得：x0＝﹣2或0，
∴切点坐标为（﹣2，1）或（0，﹣1），代入直线y＝x+b得：b＝3或﹣1，
∴由函数f（x）的图象可知，当b＞3或b＜﹣1时，函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
x∈R，13．已知向量𝒂=(𝟏，𝒙，−𝟏)，则“x＝﹣1”是“𝒂∥𝒃”的（ ） 𝒃=(𝒙，𝟏，𝟏)，A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
→
→
→
→
【分析】由𝒂∥𝒃，可设𝒂=k𝒃，于是（1，x，﹣1）＝k（x，1，1），解出即可得出． 解：由𝒂∥𝒃，可设𝒂=k𝒃，于是（1，x，﹣1）＝k（x，1，1）， 𝟏=𝒌𝒙
∴{𝒙=𝒌，解得k＝﹣1＝x． −𝟏=𝒌∴“x＝﹣1”是“𝒂∥𝒃”的充要条件． 故选：C．
14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A．19
B．20
C．18
D．21
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解：设样本中还有一个职工的编号是x号，
则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45＝x+32， x＝6+45﹣32＝19
因此，另一学生编号为19． 故选：A．
15．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O．已知角α的m）y）终边l与单位圆交于点A（0.6，，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B（x，，
2𝜋
若tanα=−，则x＝（ ） A．0.6
B．0.8
C．﹣0.6
D．﹣0.8
4
3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得x的值．
解：在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A（0.6，m），
将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B（x，y），若tanα=−=，∴m＝﹣0.8，
30.62故A（0.6，﹣0.8）．
𝜋
4
𝑚
由题意，x＝cos（α+2）＝﹣sinα＝0.8， 故选：B．
16．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y=√𝒙、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（ ）
16𝜋
A．√
3
6B．√
2
3C． 4
3
D． 3
2
【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线y=√𝒙、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积，再由正方形的面积减去该面积可得曲线y=√𝒙、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积． 解：如图，
把纵轴区间[0，1]，n等分，得到n个矩形，每一个矩形的底边长都是，
𝑛1
高分别为
12
𝑛2，22𝑛2，
32𝑛2，…，112
𝑛2
𝑛2𝑛2．
22𝑛2
∴n个矩形的面积和为(
𝑛
++
32𝑛2
+⋯+
𝑛2𝑛
)=2
1𝑛3
（12+22+32+…+n2）
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
．
6𝑛3𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
𝒏→∞6𝑛3∴曲线y=√𝒙、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积为𝒍𝒊𝒎
1
2+3𝑛+𝑛22𝑛3+3𝑛2+𝑛1．
=𝒍𝒊𝒎=𝒍𝒊𝒎=63𝒏→∞𝒏→∞6𝑛3∴由曲线y=√𝒙、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为1−=．
33故选：D．
12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2√𝟐． （1）求该圆锥的体积；
（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．
【分析】（1）在Rt△POB中，由已知结合勾股定理求得PO，即该圆锥的高h＝2．再由圆锥体积公式求解；
（2）连接PC，BC，由M为线段AC的中点，得OM∥BC，则异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PM所成的角．由已知结合勾股定理得到PB＝PC＝BC，得到△PBC为等边三角形，则异面直线OM与PB所成的角的大小可求． 解：（1）如图，由题意得 𝑷𝑩=𝟐√𝟐，OB＝2．
在Rt△POB中，𝑷𝑶=√𝑷𝑩𝟐−𝑶𝑩𝟐=𝟐，即该圆锥的高h＝2． 由圆锥的体积公式得 𝑽=𝝅𝒓𝟐𝒉=．即该圆锥的体积为．
333（2）连接PC，BC，
由M为线段AC的中点，得OM∥BC，
∴异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PB所成的角． ∵∠POC＝90°，∠BOC＝90°， ∴𝑷𝑪=𝟐√𝟐，𝑩𝑪=𝟐√𝟐．
在△PBC中，𝑷𝑩=𝑩𝑪=𝑷𝑪=𝟐√𝟐，
1
8𝜋
8𝜋
∴△PBC为等边三角形，即 ∠𝑷𝑩𝑪=3． 因此异面直线OM与PB所成的角的大小为．
3𝜋
𝜋
18．已知函数f（x）＝sinx−√𝟑cosx，x∈一、选择题．
（1）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若f（A）＝0，且b＝2，c＝3，求a的值；
（2）求函数y＝f（x）cosx的最大值．
【分析】（1）由𝒔𝒊𝒏𝑨−√𝟑𝒄𝒐𝒔𝑨=𝟎，得 𝒕𝒂𝒏𝑨=√𝟑，解得得出A，再利用余弦定理即可得出．
（2）由题意得 𝒚=(𝒔𝒊𝒏𝒙−√𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒄𝒐𝒔𝒙，利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出最值．
解：（1）由𝒔𝒊𝒏𝑨−√𝟑𝒄𝒐𝒔𝑨=𝟎，得 𝒕𝒂𝒏𝑨=√𝟑，
因为A为△ABC的内角，所以 𝑨=3．…………………………………………………… 由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA=𝟐𝟐+𝟑𝟐−𝟐×𝟐×𝟑×𝒄𝒐𝒔3=𝟕，
所以 𝒂=√𝟕． ……………………………………………………… （2）由题意得 𝒚=(𝒔𝒊𝒏𝒙−√𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒄𝒐𝒔𝒙=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙−√𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙=𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙−√𝟑×
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 21
2𝜋
𝜋
𝜋√3=𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙−)−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
32√
因为x∈R，所以y的最大值为𝟏−3． ………………………………………
219．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系𝟖−𝑥+2，𝟎≤𝒙≤𝟔
可近似地表示为y={．根据经验，当水中含有物质N的量不低于
𝟏𝟐−𝒙，𝟔＜𝒙≤𝟏𝟐4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．
16
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．
【分析】（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用的天数． （2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，化简函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可．
解：（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量为𝒚={解y≥4，得2≤x≤8．
所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用6天． （2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L， 则𝒚=(𝟏𝟐−𝒙)+[𝟖−(𝑥−8)+2]=𝟐𝟎−𝒙−𝑥−6， 𝒚=𝟏𝟒−[(𝒙−𝟔)+当且仅当 𝒙−𝟔=
1616]≤𝟏𝟒−𝟐√(𝒙−𝟔)×=𝟔， 𝑥−6𝑥−616
𝑥
𝟖−
𝟏𝟐−𝒙，𝟔＜𝒙≤𝟏𝟐
16
，𝟎≤𝒙≤𝟔𝑥+2．
16
，即 x＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x＝10时，ymax＝6． 𝑥−6所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L． 20．（16分）已知椭圆Γ：
𝑥2𝑎2+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴
长为短轴长的√𝟐倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A、B，经过点P（0，4）的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点（不同于A、B两点）． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线BM⊥l，求点M的坐标；
（3）设直线AN、BM相交于点Q（m，n），求证：n是定值．
【分析】（1）利用已知条件得到𝒂=√𝟐𝒃，a2﹣b2＝4，求出a，b然后求解椭圆方程． （2）由题意点B的坐标为 （0，﹣2），设点M（x，y）．求出M的轨迹方程，结合椭圆方程求出M的坐标．
（3）设 M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+4．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合直线方程求解即可． 解：（1）由题意得 𝒂=√𝟐𝒃，a2﹣b2＝4，
解得 𝒂=𝟐√𝟐，b＝2， 所以所求椭圆Γ的方程为
𝑥28
+
𝑦24
=𝟏．
（2）由题意点B的坐标为 （0，﹣2），设点M（x，y）． 因为BM⊥MP，所以x2+（y+2）•（y﹣4）＝0， 又
𝑥28
+
𝑦24
=𝟏，
𝒙=−𝟐√𝟐 {𝒙=𝟐√𝟐 {𝒙=𝟎解得 {或或（舍去）
𝒚=−𝟐𝒚=𝟎𝒚=𝟎所以所求点M的坐标为 (−𝟐√𝟐，𝟎)或(𝟐√𝟐，𝟎)．
（3）设 M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+4．
𝒚=𝒌𝒙+𝟒
由方程组 {𝑥2
，得（1+2k2）x2+16kx+24＝0． 𝑦2
+=𝟏8416𝑘1+2𝑘
2，𝒙𝟏𝒙𝟐
所以𝒙𝟏+𝒙𝟐=−
=
241+2𝑘
2，
直线AN的方程为 𝒚−𝟐=2⋅𝒙，得𝒎=(𝒏−𝟐)⋅𝑘𝑥+2， 𝑥22直线BM的方程为 𝒚+𝟐=1⋅𝒙，得𝒎=(𝒏+𝟐)⋅𝑘𝑥+6， 𝑥11所以𝒏=𝟐+
2𝑘𝑥1𝑥2+4𝑥1， 3𝑥2−𝑥1
−3(𝑥1+𝑥2)+4𝑥1=𝟐−𝟏=𝟏， 3𝑥2−𝑥1
𝑦+2
𝑥1𝑦−2
𝑥2因为2kx1x2＝﹣3（x1+x2），得𝒏=𝟐+所以n为定值1．
21．（18分）若数列{cn}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ck＝cicj”，则称数列{cn}具有“性质P”．已知数列{an}为无穷数列．
（1）若{an}为等比数列，且a1＝1，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若{an}为等差数列，且公差d＜0，求证：数列{an}不具有“性质P”； （3）若等差数列{an}具有“性质P”，且a3＝2，求数列{an}的通项公式an． 【分析】（1）由等比数列的通项公式、有理指数幂的运算性质结合新定义判定； （2）由已知an＝a1+（n﹣1）d≤a1，可得若a1≤0，不存在正整数k，使得ak＝a2a3；若a1＞0，当𝒏＞−
𝑎1+√𝑎1
+𝟏时，不存在正整数k，使得ak＝a2a3．说明当d＜0时，数列𝑑{an}不具有“性质P”；
（3）设数列{an}的公差为d，则an＝2+（n﹣3）d．由已知，对任意n∈N*，都存在正整
数k，使得ak＝a3an，整理可得d≠0，且
2𝑑
对任意an，设𝒂𝒌𝟏=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟏==𝒌−𝟐𝒏+𝟑∈𝒁，
𝒂𝒌𝟐=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟐=𝒂𝒏(𝒂𝒏+𝟐𝒅)，𝒂𝒏(𝒂𝒏+𝒅)，整理可得d＝an+1﹣an∈Z，𝒏，𝒌𝟏，𝒌𝟐∈𝑵∗，再由由（2）知d≥0，综合解得d＝1或d＝2．分析d＝2时，不满足要求．d＝1，an＝n﹣1满足要求，即可求得an＝n﹣1．
【解答】（1）解：数列{an}具有“性质P”．
事实上，设数列{an}的公比为q，则𝒂𝒏=𝒒𝒏−𝟏，n∈N*． 对任意正整数i，j，i≠j，𝒂𝒊𝒂𝒋=𝒒𝒊+𝒋−𝟐， ∵i+j﹣1≥2，∴ai+j﹣1＝aiaj． ∴数列{an}具有“性质P”；
（2）证明：由已知an＝a1+（n﹣1）d≤a1， ①若a1≤0，则a3＜a2＜0，a2a3＞0≥a1， ∴不存在正整数k，使得ak＝a2a3； ②若a1＞0，则当𝒏＞−
𝑎1+√𝑎1
+𝟏时，𝒂𝒏+𝟏＜𝒂𝒏＜−√𝒂𝟏，anan+1＞a1， 𝑑∴不存在正整数k，使得ak＝a2a3．
综上，当d＜0时，数列{an}不具有“性质P”； （3）解：设数列{an}的公差为d，则an＝2+（n﹣3）d． 由已知，对任意n∈N*，都存在正整数k，使得ak＝a3an， 即2+（k﹣3）d＝2[2+（n﹣3）d]， ∴d≠0，且
2𝑑
=𝒌−𝟐𝒏+𝟑∈𝒁，①
对任意an，设𝒂𝒌𝟏=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟏=𝒂𝒏(𝒂𝒏+𝒅)， 𝒂𝒌𝟐=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟐=𝒂𝒏(𝒂𝒏+𝟐𝒅)，𝒏，𝒌𝟏，𝒌𝟐∈𝑵∗， ∴(𝒌𝟐−𝒌𝟏)𝒅=𝒂𝒌𝟐−𝒂𝒌𝟏=𝒂𝒏𝒅，得an＝k2﹣k1∈Z， 因此d＝an+1﹣an∈Z，②
由（2）知d≥0，又由①、②可得d＝1或d＝2． 当d＝2时，a1＝﹣2，a1a3＝﹣4＜a1≤an，不满足要求． ∴d＝1，an＝n﹣1． 验证an＝n﹣1满足要求， 故an＝n﹣1．
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