广义相对论的困难

广义相对论，尽管美奂绝伦，但存在多处内在的不协调的问题，这暗示着广义相对论只是一个低能有效理论。譬如：(1)爱因斯坦引力场方程与Yang-Mills方程形式太不相同。Yang-Mills方程支配了四种基本力的三种（强、弱、电），但引力却例外；(2)在Yang-Mills理论中，仿射联络与动力学变量是同一个量，都是四维电磁势，但在爱因斯坦引力理论中，仿射联络是Christoffel符号，而动力学变量却是度规，两者不是同一个量；(3)在爱因斯坦引力场方程中，描述引力的物理量是曲率，可是这个曲率（局域Lorentz群规范场张量）的源却是能量-动量张量（局域时空平移对称性的奈特流），搭配不当。局域时空平移对称性的变量出现了，就是度规，可是其规范场张量（挠率）却不出现。局域Lorentz群规范场张量出现了，但其仿射联络（自旋联络）和奈特流（自旋密度张量）却不出现。总之，对称性与守恒流不是一道出现；(4)爱因斯坦引力场方程还有一颗赘瘤，即具有质量量纲为-2的引力常数，而Yang-Mills方程无有量纲的耦合系数出现，后者才令人满意；(5)依据理论，将有巨大的量子真空零点涨落能量密度所导致的引力效应，但实际上测量到的引力效应却比理论预言小120个数量级。这些都说明爱因斯坦引力背后还隐藏着一个更基本的理论。

广义相对论有三点困难：1、引力场的量子化至今尚未解决，如使引力场与描述其它相互作用的规范场的统一尚未做到。2、彭罗斯和霍金提出的奇性定理，产生有奇性困难，如时间有开始与终结。3、相对论与热力学的不协调。如整个物理学、天文学中只有广义相对论中的时空是弯曲的，但它没有考虑时间方向性。量子理论同样也没有考虑时间方向性问题。热力学是物理学中唯一考虑时间方向性的一个分支，认为真实的物理过程不应该处在绝对零度，但它没有考虑时空弯曲的特性。

Einstein和 D.希耳伯特几乎同时在1915年得到了完整的引力场方程。方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然，这个方程反映了Einstein的马赫原理的思想。 谈到广义相对论时，Einstein说：“这理论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。” 广义相对论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论基本特点的更普遍的理论，是一种合乎逻辑和经验的努力。为了描述时空中某点的弯曲， Einstein的广义相对论需要有20个坐标的函数来描写。“在解 Einstein引力场方程中，存在

着数学上的困难。 Einstein的引力度规张量gμν所满足的场方程是一组10个二阶非线性偏微分方程。除个别例子外，这种非线性偏微分方程的解在满足初始或边界条件之后的唯一性，在数学上还没有得到证明……因此,在物理学中遇到一些非线性偏微分方程只能用实验来检验接的正确性。”另外,“在 Einstein场方程解中存在着解的不确定性。 Einstein的度规张量gμν共有10个分量，满足上面提到的10个分量场方程。但在这10个偏微分方程中存在着Bianchi恒等式的4个偏微分关系。也就是说，gμν的10个分量只满足6个独立的方程，因此它们的解是不确定的。” Schwarzschild时空和Robertson-Walker时空的度规分别为（设光速c＝1）

－1

－dτ2＝－（1+2φ）dt2+（1+2φ）dr2+r2dθ2+r2sinθ2dφ2 、

（1）

—dτ2＝－dt2+R2(t)[dr2/(1－kr2)+r2dθ2+r2sinθ2dφ2] ，

（2）

在Schwarzschild时空中只有球心这一个点是球对称的，而Robertson-Walker时空的每一个点都是球对称的．那么，诞生于Schwarzschild时空的Einstein场方程适用于Robertson-Walker宇宙吗？先回顾Einstein场方程的“推导”过程[11]．

非相对论物质ρ所产生的“弱的定态场”的度规的时时分量近似为

g00＝－(1+2φ) ， (3)

其中牛顿势φ决定于Poisson方程▽2φ＝4πGρ，而非相对论性物质的能量密度ρ～T00，于是得到

▽2 g00＝－8πGρ ＝－8πG T00 ， (4) 这启发人们猜测对于一般的能动张量Tαβ ，弱场方程取如下形式

Gαβ＝－8πGTαβ ， (5)

Gαβ是度规和它的一阶及二阶导数的线性组合，于是由等效原理推得，支配任意强度的引力场的方程即Einstein场方程为

Gμν＝－8πGTμν ， (6)

其中： Gμν＝Rμν－ gμνR/2 ， R＝gλνgμκRλμνκ ．

Gμν有五个性质：1、Gμν是一个张量；2、Gμν由总阶数为2的度规的导数组成，这样引力场方程才是均匀的；3、Tμν是对称的Gμ

ν

也是对称的；4、Tμν是守恒的Gμν也是守恒的；5、对非相对论物

质产生的弱的定态场，G00≈▽2g00.——引进λ后条件2和5就难以严格满足了，λ破坏了场方程的简谐．

在Robertson-Walker度规中g00＝1、φ＝０，所以有

▽2 g00≡－2▽2φ≡0 ． (7)

这就是“宇宙（在理论上）是动态的”的根源．在Robertson-Walker宇宙近似有

G00＝（∂2gii/∂t2+▽2g00）＝－8πGρ ， (8)

若不考虑式（7）所表述的Robertson-Walker度规的特征，而是在形式上认为根据式（4）可将式(8)的中式的▽2g00与右式的－8πGρ相抵消，则自然得到

∂2gii/∂t2＝0 ， (9)

即宇宙是静态的．▽2g00＝－8πGρ是在“推导”Einstein场方程时不分时空强行要求的，从这一点来看，并不是由Einstein场方程推导出Robertson-Walker宇宙是动态的，而是在导出Einstein场方程之前就已先验“假设”的．

Schwarzschild时空是二维最大对称的，Robertson-Walker时空是三维最大对称的，Einstein宇宙是四维最大对称的．根据定理456

[12]

，四维最大对称宇宙的能动张量必取四维最大对称形式——常数•g ．Einstein引入宇宙常数λ之后人们才提出Schwarzschild、

μν

Robertson-Walker度规形式，所以不能不顾历史条件苛求Einstein考虑 Einstein场方程的Schwarzschild局限问题。