２０１０ ＮＯ ３３ Ｃｈｌｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ＩｎｎｏｖａｔｉＯｎ Ｈｅｒａｌｄ 教学案例 由“基本图形’’谈相似图形的教学① 张丽萍 相似三角形的基本图形 （南京市第十三中学科利华分校 南京 ２１ ０００９） 摘要：学好几何关筐是把圉看懂，要想提高学生的识圈能力，首先要让他们肚子里面有“货”。本文中前面所提到的相似三角型的基本 图形以及后面提及的“ＡＡＡ”型就是教师传授给学生的“赏”。有了这些学生就如同有了钥匙，当他们遇到一扇扇门的时候，脑子里就会 浮现出一串串钥匙的影子。在“找钥匙”和“开门”的过程中，学生的识圈能力和解题能力都得到了提高。 关键词：基本图形 “ＡＡＡ”型 总结和归纳 钥匙 关注学生的自身发展 中图分类号：Ｇ ６ ３ ３ 文献标识码：Ａ 文章编号；１ ６７３－９７ ９５（２０１ｏ）１１（ｃ）一００９８－－０２ 相似形是初中数学中的一个难点，在 这以前，学生一直研究的是全等形，也就是 它们的形状和大小完全相同。在全等图形 的教学中，为了降低难点我们一直强调三 种全等变换，分别是平移变换，翻折变换和 旋转变换，让学生从复杂图形中发现全等 Ａ 变换的基本图形。但是因为相似图形仅仅 形状相同，大小不一定相同，比全图形难于 观察，想从复杂图形中找出相似三角形，对 于学生而言就更难一些了。在教学实践中 为了降低难点，老师们通常把相似三角形 分类，总体上分为平行线型，相交线型。具 Ｄ 体基本图形如图ｌ。 总的来说，让学生了解并熟知这些基 本图形，对于学生看到复杂图形，并从中找 出相似三角形的基本图形还是很有帮助 的。笔者在教学中发现，还有一类相似图 形，在我们的练习中也常常出现，下文中我 Ｅｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ 相 Ｃ 交 线Ｂ Ｃ 型 图１ Ａ Ｂ ｃ图３ Ａ 二 圈４ 图５ Ａ ｃ ．Ｃ Ｂ 圈２ Ｃ Ｂ Ａ ． ８ Ｐ ｃ Ｂ Ｐ ｃ Ｐ 囤６ 图７ 图８ Ｆ ①作者简介：张丽萍（１９７８，７，２７～）：女，江苏南京，南京市第十三中学科利华分校，中学一级教师，大学本科，中学数学教法与学法（研究方向）。 ９８ 中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 教学案例 ｎｎｏｖａｔｌｏｎ Ｈｅｒｅｌｄ—Ｕ ：：：：＝＝：：！矗： 会把它叫做“ＡＡＡ”型。让我们先来看看 从而进一步证明△ＡＢＰ～△ＰＣＥ。相信如 多变与不变，学生在做题时如果有了这把 “ＡＡＡ 型的基本图形吧。 果第一问学生对于图形有了充分的理解， 钥匙，我想打开第一问和第二问这两扇门 应该不是难事。很多老师都知道，在数学教 为什么把它称之为“ＡＡＡ”型呢？简单的说 第二问也将迎韧而解。 在这个基本图形中如果具备了 Ａ， ＤＣＥ， 例３：如图在等腰三角形ＡＢ ｃ中， 学过程中，注重方法的教学远比就题论题 Ｂ这三个角的度数相等，那么一定会具备 ＡＢ：ＡＣ ８， ＢＡＣ—ｌ２Ｏ。，Ｐ为边ＢＣ的中 要好的多！学生只有通过自己探索得来的 相似三角形。为什么呢？原因很简单，我们 点，小慧拿着含３Ｏ度角的透明三角板，使３Ｏ 认知，才会在自己的脑海里留下烙印。 大家不难发现，几何要想学的好关键 不难由三角形内角和定理与平角定义推 度角的顶点落在点Ｐ，三角板绕点Ｐ旋转。得 ＡＤＣ＋ ＤＣＡ： ＢＣＥ＋ ＤＣＡ，从 （１）如图２，当三角板的两边分别交ＡＢ， 是把图可以看懂。如何提高学生的识图能 而可以得出 ＡＤＣ： ＢＣＥ，于是易证得 ＡＣ干点Ｅ，Ｆ时，求证△ＢＰＥ～△ＣＦＰ。 力是老师们在教学中不断探索和研究的。 △ＡＣＤ～△ＢＥｃ。当然也可以由外角性质 （２）操作：将三角板绕点Ｐ旋转到图３的 笔者认为，要想提高学生的识图能力，首先 证出 ＡＤＣ一－ ＢＣＥ，继而证得△ＡＣＤ～ 情形时，三角板的两边分别交ＢＡ的延长 要让他们肚子里面有“货”，本文中前面所 △ＢＥＣ。因为这个图形不同于前面所提到 线、边ＡＣ于点Ｅ，Ｆ。 提到的相似三角型的基本图形以及后面提 探究ｌ：△ＢＰＥ与△ＣＦＰ还相似吗？（只需 及的“ＡＡＡ”型就是教师传授给学生的 的平行线型和相交线型，不是那么容易观 察出来。但是这一类型的题目还是经常出 写出结论）；探究２：连接ＥＦ，△ＢＰＥ与△ＰＥＦ “货”，有了这些学生就如同有了钥匙，当他 现，学生常常对于找出相等的角并发现相 是否相似？请说明理由。 们遇到一扇扇门的时候，脑子里就会浮现 似三角形比较困难，为了降低学习中的难 分析：由图６我们可以很快观察出具备 出一串串钥匙的影子。在“找钥匙”和“开 度，我们可以将“ＡＡＡ”作为一种基本图形 了我们上面提到的“ＡＡＡ”型的基本特质， 门”的过程中，学生的识图能力和解题能力 介绍给学生，相当于又给了学生一把钥匙， 这里具备了 Ｂ， ＥＰＦ， Ｃ相等，并且都 都得到了提高 当然此文中提及的“ＡＡＡ” 当他们看到与之相匹配的锁时，可以比较 等于３０。，进而可以证明ＡＥＢＰ～ＡＰＣＦ．这 型只是一个名称，教师在教学中不断的总 容易的打开这扇“门”。（如图２） 里值得一提的是图７，在此图中虽然点Ｅ移 结和归纳其实对学生也会有着潜移默化的 让我们来看看“ＡＡＡ”型在题目中的具 至了ＢＡ的延长线上，但是依然具备了 Ｂ， 影响，善于思考的学生在今后很长一段时 体应用吧！ ＥＰＦ， Ｃ这三个角相等，所以我们不难证 间的学习中也会自觉不自觉的自我总结和 例ｌ：如图３、４，在四边形ＡＢＣＤ中， 明原来的相似的ＡＥＢＰ和△ＰＣＦ依旧相似。继 归纳，我想这又是学习能力的提升。 Ｒ ｐ Ｂ上曰Ｃ，ＤＣ上 Ｃ，垂足分另Ｕ温Ｂ、Ｃ，当ＡＢ 值得一提的是作为教师，不要全盘授 而可以得到％～－Ｆ＝ ，又因为ＢＰ＝ＰＣ，所以 ：４，ＤＣ＝ｌ，ＢＣ：４时，在线段ＢＣ上是否存 予，要在学生百思不得其解时授之以渔，而 Ｒ ｐ 不是授之以鱼。具体的假设我们第一次碰 在点Ｐ，使得 Ｐ上肋？若存在，求线段ＢＰ 可以得嚣： ，最终不难证明ＡＢＰＥ与△ 到例一时，学生如果通过努力仍然想不到，的长；若不存在，请说明理由。 ＰＥＦ相似 分析：探究是否存在的题目首先假设 此时教师讲解时不要用例一的图，而是可 例４：把两块全等的等腰直角三角形 以给出我们的基本图形，通过进一步分析 存在这样的Ｐ，当我们画出这样的Ｐ，并连接 ＡＢＣ和ＤＥＦ叠放在一起，使三角板ＤＥＦ的锐 我们的基本图形，让学生加深对图形的理 了ＡＰ和ＤＰ之后，我们不难观察出具备了上 解，继而再让学生自己独立解题，因为只有 面提到的“ＡＡＡ 型的基本特质，图中 Ｂ， 角顶点Ｄ与三角板ＡＢＣ的斜边中点Ｏ重合，ＡＰＤ， Ｃ这三个角度数相等，并且都等 ＡＢ＝ＤＥ＝４，把三角板ＡＢＣ固定不动，让三 学生通过自己独立思考出来的结果才是他 于９Ｏ。，进而可以证明△ＡＢＰ～△ＰＣＤ。再由 角板ＤＥＦ绕点０旋转，设射线ＤＥ与射线ＡＢ 们自己的认知。我想如果通过教师的点拨， 相交于点Ｐ，射线ＤＦ与线段ＢＣ相交于点Ｑ。 相似三角形的对应边成比例的性质计算出 学生自己完成了例ｌ，那么今后面对例２、例 （１）如图６，当射线ＤＦ经过点Ｂ，即点Ｑ与 ＢＰ的长度。 ３、例４也就水到渠成了。 点Ｂ重合时，易证ＡＡＰＤ一△ＣＤｑ．此时， 例２：如图５，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ 笔者认为数学课堂教学要想真正行之 ＡＰ Ｘ ＣＱ＝一（２）将三角板由图６所示的位 ⅣＢＣ， Ｂ＝６０。，点Ｐ在下底ＢＣ上（不与点Ｂ， 有效，就要关注学生的自身发展，而教师 置绕点Ｏ沿逆时针方向旋转，设旋转角为 Ｃ重合）， ＡＰＥ＝ Ｂ，ＰＥ，ＣＤ相交与点Ｅ。 的教学方式显得尤为重要。学生在进行数 Ｃ，其中ＯＯ＜ＯＣ＜９００。问ＡＰ×ＣＱ的值是否 学思维时常常打结，或偏离正常轨道，面 （１）△ＡＢＰ和△Ｐ ｃＥ相似吗？（２）若 Ｏ改变？说明你的理由。（３）在（２）的条件下，设 对此种情况，教师要善于提醒，及时“点 ＡＢ＝４ＣＭ，ＢＣ＝ＴＣＭ，ＢＰ＝５ＣＭ，求ＣＥ的长。 分析：在这个图中，学生比较容易观察 ＣＱ＝Ｘ，两块三角板重叠面积为Ｙ，求Ｙ与Ｘ 拨”。教师的重要作用，在于交给学生“点 出相似，但是对于相似三角形的对应顶点 的函数关系式。金术”——掌握学习方法，在于教会学生自 分析：显然这三个图（如图８）型都属于我 己学习。总之教师要充分发挥自己的指导 很多学生会弄错，归根结底还是对我们说 作用，激励学生主动学习、主动探索、主动 的基本图形认识不清。首先要引导学生弄清 们上面提到的 ＡＡＡ 型，这里具备了 Ａ，ＥＤＦ， Ｃ相等，并且都等于４５。，进而可 实践，达到事半公倍的效果，让学生真正 这个图型属于我们的“ＡＡＡ”型， Ｂ， ＡＰＥ， 继而可以得到ＡＰ× 成为学习的主人。ｃ这三个角相等，并且都等于６０。，其次根 以证明△ＡＰＤ～△ＣＤＱ， 据对对应角的分析和证明，要能够理解出 ＣＱ＝ＡＤ×ＣＤ：８。这是一道有一定难度的 点Ａ的对应点是点Ｐ，点Ｂ的对应点是点ｃ， 综合题，随着三角板的不断运动，这里有很 ０ 』』 （上接９７页） 让学生积极参与学习。苏霍姆林斯基说： “让学生体验到一种自己在亲身参与掌握 知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识 的兴趣的重要条件。”因而，要突出学生的 主体地位，多引导，多鼓励引导学生自我学 习，自我发现，特别是在讨论过程中或回答 问题时，学生思维出现障碍而中断或错误 时，教师要多方引导启发，尽量让他独立完 成，使学生享受到获得知识的喜悦和成功 的快感，增强学习的自信心，也更加佩服教 师，表现出更大的学习和参与热情。 不仅只是在教学上充满感情，更要在 生活上对学生倾注全部爱心，关心爱护学 生，尊重信任学生，满腔热情地对待每一个 学生，尤其对差生要倾注更多的爱。时时给 学生以微笑，期待和赞许，与学生进行直接 的感情交流，做学生的知心朋友，让学生感 封教师可信，可亲，可爱，产生一种满意，喜 爱的情感。古人说：感人心者，莫先乎情。优 秀的教师都应学会以真挚、强烈的情感走 进学生的心灵深处。只有寓情感干教育教 学之中，才会收到良好的效果。 总之，在语文教学过程中，情感因素是 不容忽视的，加强情感教育，既达到了教育 的目的，又还原了语文教学的本性，同时也 满足了现代教育的发展要求，它的出现，将 给教育带来新的曙光。语文教师必须充分开 发和利用这一非智力因素。在实施素质教育 的今天，让语文课堂成为抒唱学生情感的海 洋吧。语文教育，呼唤学生情感回归！ 参考文献 ［１１语文教学之友，２０００（１）． 【２】语文教学之友，ｌ９９７（３）． ［３】刘永康，翟启明．中学语文教学论［Ｍ】 天地出版社． 【４１刘勰．文心雕龙【Ｚ１． 中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ９９