非线性分数阶积分微分方程解的存在唯一性

JoURNALoFuAoNlNGUNIVERsllY

自然科学版

Nalur口lSctc眦esEdition第40卷第1期2013年

V01．40

No．1

2013

非线性分数阶积分微分方程解的存在唯一性

闫德宝+

(菏泽学院数学系，山东菏泽274000)

摘要：定义了一类非线性captuo分数阶积分微分方程边值问题的弱上、下解，通过构造该边值问题单调、收敛的弱上、下解序列，证明了该问题解的存在唯一性．

关键词：非线性分数阶积分微分方程；边值问题；弱上、下解；存在唯一中图分类号：0175．2

文献标志码：A

文章编号：1000-5846(2013)0lJD026JD5

Existenceand

UIIiq眦ness

of

Solutio璐forNoIllimar

FractionalIntegro-DifferentialEquations

YANDe-bao+

(D印n砌圯小万讹砌Pm口斑口j，乒^铊P【胁fVP坶毋，王融翟274000，C『l讥订)

AbStraCt：

IIltllispaper，tlleaumordefineⅡ1eweal【upperaIldlow

ersolutionsformeboundaryValueproblemofa

classofnonlinear仃actional

integro—dif艳rentialequations．Existence

aIld

uniquenessof

solutionswereproVedwithinm)duingnonotoneaIldconVe唱esequencesofw

eakupperand10w

ersolutions．KeywOrds：nonlinear行actionalintegr0一dif诧rentialequations；boundarybalueproblem；weak

upperand10w

ersolutions；existe：nceandunjqueness1

问题介绍

分数阶微分方程是整数阶微分方程的一般化，这类微分方程在生物学、物理学和金融学等很多

领域都有广泛的应用．近年来，这类问题解的存在唯一性引起了人们的极大兴趣．文献[1～4]采用上、下解方法，文献[5～11]采用固定点理论分别讨论了这类问题解的存在唯一性．本文通过定义弱上、下解，采用上、下解方法证明了下述边值问题解的存在唯一性：

收稿日期：2012一ll一20

基金项目：国家自然科学基金项目(11001278)；山东省教育厅资助项目(20llGG049)；菏泽学院科研项目(xY佃I(J一3)+作者简介：闫德宝(1980一)，男，山东曹县人，理学硕士，讲师，从事数学教学与研究．

第1期

闫德宝：非线性分数阶积分微分方程解的存在唯一性

27

。D“x(f)+f，(5，x(s))dJ+g(f，x(f))=o，

工(O)

=口，

f

E(o，1)，1(1)

(2)

工(1)

=易

其中，八f，戈(f))，g(f，工(f))∈c[[0，1]×R，尺]，口，6∈尺，。D“是captuo意义下阶为a的分数导数．下面给出相关定义和条件．

定义1㈣

。D8工(r)=志J：(r—s)”—a～工(哪(s)dJ，

定义2‘121

对d>0，称

对函数x(f)：[o，+∞)_尺，d阶captuo导数定义如下

其中，，l一1n㈤=志J：：(f_矿～小)山

为函数工(r)的d阶Riemann一“叫ville积分．

定义3

函数J(f)∈c3([0，1]，尺)称为边值问题(1)一(2)的一个弱下解，若z(f)满足

。D“x(f)+J，(s，工(s))dJ+g(f，工(f))≥o，f∈，=(o，1)，1x(0)=口，

工(1)≤易．

类似地，可以定义边值问题(1)一(2)的一个弱上解_)，(f)．称工(f)，y(f)是边值问题(1)一(2)的有序弱上、下解，若满足Vf∈[0，1]，都有z(f)≤y(f)．

另外，对函数八f，“(f))，g(f，“(f))赋予下述条件：

(H1)Vx，(f)，工：(f)∈c1([0，1]，R)，存在实数L<0，使得下式成立

八f，工1(r))一以f，工2(f))=L(工71(f)一工’2(f))；

(H2)函数g(f，H(f))关于“单调递增，且满足娑+￡2

引理

C印tuo导数与硒emaIln—Liouville积分有下面的关系：引理1‘121

对a>o，，l一1<仅≤，l，，l∈Ⅳ，工(f)：[0，+∞)一尺，我们有

(3)(4)

尸(‘D。工(f))=工(f)一∑c。产

。D“(，工(r))=工(f)

其中，c。：生竽!，o≤七≤n_1-引理2‘11

设函数v(r)EC2(0，1)n[0，1]，若v(f)在％∈(0，1]处取得最大值，则V1≤2，有。D。v(％)≤0．

引理3

设函数v(f)∈俨(，，尺)，r(f)<0，且r(f)有界．若v(f)满足

f∈(0，1)

(5)

。D。v(f)+r(f)v(r)≥0，1，(0)≤O，

v(1)≤0．

28

辽宁大学学报

自然科学版

2013年

则v(f)≤0，Vf∈[O，1]．

证

若结论不对，则v(f)在(0，1)内至少存在一点f0，使得V(岛)>O为V(f)在(0，1)内的一

个极大值，利用引理2有。D“v(f。)≤O．从而有

。D。v(fo)+，．(f0)V(岛)这与(5)矛盾!故v(f)≤0，Vf∈[0，1]．

引理4

设函数y=)，(f)，z=z(f)分别是边值问题(1)一(2)的弱下、上解，且函数，，g满

足条件(H1)、(H2)，则)，，z是有序的，即)I≤z．

证

由已知，有

，‘D“)，+I以J，)，(5))d5+g(f，y)≥o

JO

(6)(7)(8)(9)

y(0)=日，

一

y(1)≤6

‘D“z+I“5，z(J))dJ+g(f，z)≤o

J0

z(0)=口，z(1)≥易

利用(6)、(8)两式，得

。D。()，一z)+J[，(s，)，)一，(J，z)]ds+g(f，y)一g(f，z)≥o．

由(7)、(9)两式及(H1)和中值定理，得

。D“()，一z)+L(y—z)+差(亭)()，一z)≥o，

其中，f=拶+(1一y)z，0≤y≤1．令v=y—z，贝0

fD口V+(L+羞(圳V≥o，

且满足v(0)=0，v(1)≤0．利用(H2)及引理3，得v(f)≤0，即y≤z．引理5证

若函数，，g满足条件(H1)、(H2)，则问题(1)一(2)至多有一个解．

设工，=工。(f)，屯=工：(f)是问题(1)一(2)的两个解，即工。(f)，屯(f)满足

(10)(11)(12)(13)

。D8工1(f)+J以s，工l(J))d5+g(f，工l(f))=o

工I(0)=口，

xl(1)=易

。D“z2(f)+J八J，工2(s))dJ+g(f，吃(f))=o

工2(0)=口，

工2(1)=易

令w=工。一z：，利用(10)、(12)和(H1)，得

渺

w+(L+蓑(f))w=o

(14)

其中，f=y1工1+(1—71)工2，0≤y1≤l，且w满足w(0)=0，w(1)=0．由引理3知，w(f)≤0．另一方面，(14)式对一w(f)也成立，故也有一w(f)≤O，即w(f)≥0．故w(f)=0，即工。=屯．

3

主要结果

定理l

设yo=)，。(f)，z0=z0(r)是边值问题(1)一(2)的有序弱下、上解，儿=儿(f)，z。

第1期

闫德宝：非线性分数阶积分微分方程解的存在唯一性29

=zt(f)，七≥1分别是下述问题(15)一(16)和(17)一(18)的解

^，

。D。yt(f)+JoU

以J，yt(s))dJ+g(f，yt(f))=o

(15))，t(0)=y¨(0)=口，)'¨(1)≤)，。(1)≤6

(16)

一

‘D。zt(f)+JoU

以J，zt(s))dJ+g(f，zt(f))=o

(17)

z七(O)=奴一。(0)=口，z¨(1)≥磊(1)≥易

(18)

则有

(i)序列{y。}，七≥1是问题(1)一(2)的单调递增弱下解；

(ii)序列{乙}，足≥l是问题(1)一(2)的单调递减弱上解；

(iii)yt≤yt，V足≥1．证

首先证明{y。}，足≥1是递增序列，用归纳法．

对克=1，由(15)式得

。D。y1(f)+J八5，yl(5))dJ+g(f，yo(f))=o

(19)

又y。是问题(1)一(2)的弱下解，即

。矿)，o(f)+J以5，yo(J))ds+g(r，yo(f))≥o

(20)

令V。=)，。一y。，利用(H1)并注意到(16)式第一个条件，由(19)，(20)两式得：‘D“v。+￡v，≥0，且’，I(0)=0，Vl(1)≤0．由引理3知vI≤0，即yo≤y1．

假设当七≤n时，坛一。≤％下证足=刀+1时，)，。≤％¨令1，州=咒一只小利用(H1)并注意到16)式第一个条件，由(15)式得

钞V川+饥+，一誊(跏。，

其中，f=y2y。+(1一y2)y州，o≤y2≤1．而v。=y川一)，。≤o，由(H2)知竺a“

(f)≥o，故

。D8V川+L1，川≥O，再次由引理3知，v州≤O，即y。≤y川．综上，{y。}，露≥I是递增序列．

下证{)，。}，七≥1是问题(1)一(2)的弱下解．在(15)式两端同时加上g(f，)，。)，并由(H2)得

。D。魄(f)+j灭J，弧(占))出+占(f，歹I(f))=g(}，妖(f))一g(f，虮一i(f))≥o，

故)，。，七≥1是问题(1)一(2)的弱下解．从而，(i)得证．而(ii)可仿(i)而得到证明．

利用(i)，(ii)的结论和引理4，(iii)的结论直接得证．定理2

设{)，。}，{z。}，七≥o是定理l中给出的序列．那么

(i){yI}，{zt}，惫≥0一致收敛，且若yI一+y+，z女_z‘，足-+∞，则y’≤z’；(ii)若边界条件(16)、(18)换为下述条件：

yt(0)=z。(0)=n，yt(1)=)，t一1(1)=易，七≥0

(21)

则)，’=z’=工+，其中工’为问题(1)一(2)的真解．

证

(i)由定理1知，{yt}单调上升有上界yo，故)'t—y‘，七一∞．同理zt—z+，

(30

辽宁大学学报

自然科学版

2013年

七-+∞．又{y。}，{缸}是定义在紧集[0，1]上的连续函数序列，利用Dini’s定理’‘121知，这种收敛还是一致的．利用定理1中(iii)的结论，有

y’=jimyt≤jimzt=z’．

(ii)在(15)式两端同时取Riemann—LiouVille积分，，1，f

yt一口一工’(o)f+rl爪j，yt)ds十尸g(f，yt一1)=o，

oU

令七_∞，由{y。}收敛的一致性，有

，f

)'+一n一工’(o)f+，i八s，y‘)dJ+，g(f，y‘)=o．

JU

在上式两端同时取导数。D。，1。D。)，’+f八s，y+)d5+g(f，y+)=o

J0

(22)

又由(21)式，有

gy+(O)=口，y+(1)=易

(23)

由(22)，(23)两式知，)，‘是问题(1)一(2)的解．同理，z+也是问题(1)一(2)的解．由引理5即

得结论．参考文献：

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(责任编辑郑绥乾)

Elsevier，Amsterd蛐．2006．