第十四章 相对论

1. 选择题 题号：50313001 分值：3分 难度系数等级：

两个惯性系存在接近光速的相对运动，相对速率为u（其中u为正值），根据狭义相对论， 在相对运动方向上的坐标满足洛仑兹变换，下列不可能的是

u2u2（A）x(xut)/12 （B）x(xut)/12

ccu2（C）x(xut)/12 （D）xxut

c[ ]

答案：（D）

题号：50313002 分值：3分 难度系数等级：

存在两个相对高速运动的惯性系，任一个质点在这两个不同惯性系中的速度满足洛仑兹 变换，下列表达式正确的是

（A）vxvxu （B）vx(vxu)uv(12x)c

（C）vx(vxu)u212c （D）vxvxuvx c[ ]

答案：（B） 对沿X轴相对运动的两物体：

uxuyuyuxvuxv 或（ ux） uy或（uy）

vuxvuvuvu1212x(12x)(12x)cccc对位移和时间有：xxvt12 (xvt) => 对长度有ll012（长度收缩）

对时间有 tt

题号：50312003 分值：3分 难度系数等级：

t0xv (时间延缓) t2c21有两只对准的钟，一只留在地面上，另一只带到以速率v作匀速直线飞行的飞船上，则 下列说法正确的是

（A）飞船上人看到自己的钟比地面上的钟慢 （B）地面上人看到自己的钟比飞船上的钟慢 （C）飞船上人觉得自己的钟比原来慢了 （D）地面上人看到自己的钟比飞船上的钟快

[ ]

答案：（D）

题号：50314004 分值：3分 难度系数等级：

一刚性直尺固定在惯性系S系中，它与x轴夹角 45，另有一惯性系S系，以速 度v 相对S系沿x轴作匀速直线运动，则在S系中测得该尺与x轴夹角为

（A）45 （B）45 （C）45 （D）由相对运动速度方向确定

[ ]

答案：（C）

题号：50314005 分值：3分 难度系数等级：

任意两个存在相对运动的惯性系，时间坐标满足洛仑兹变换，下列表达式正确的是

（A）t(tux) （B）tc2(tux)2c1ux)2c1uc22

（C）tt （D）t(tuc22

[ ]

答案：（B）

题号：50314006 分值：3分 难度系数等级：

两个惯性系存在沿x轴方向的相对运动速度，在y轴方向的洛仑兹速度变换为

（A）vyvyu212cuv(12x)c （B）vyvyu212cuvy (12)c（C）vy(vyu)uv(12x)c （D）vy(vyu)uvy (12)c[ ]

答案：（A）

uyuy（这里此进V=0) vux(12)c

题号：50313007 分值：3分 难度系数等级：

两个电子沿相反方向飞离一个放射性样品，每个电子相对于样品的速度大小为0.67c，

则两个电子的相对速度大小为

（A）0.67c （B）0.47c （C）0.92c （D）c

[ ]

答案：（C ）

题号：50313008 分值：3分 难度系数等级：

远方的一颗星以0.8c的速度离开我们，地球惯性系的时钟测得它辐射出来的闪光按5昼 夜的周期变化，固定在此星上的参照系测得的闪光周期为

（A）3昼夜 （B）4昼夜 （C）6.5昼夜 （D）8.3昼夜

[ ]

答案：（ A ）

题号：50312009 分值：3分 难度系数等级：

设想从某一惯性系K' 系的坐标原点O' 沿X' 方向发射一光波，在K'系中测得光速u' x=c， 则光对另一个惯性系K系的速度ux 应为

124（A）c （B）c （C）c （D）c

353[ ]

答案：（ D ）

题号：50314010 分值：3分 难度系数等级：

如图所示，地面上的观察者认为同时发生的两个事件A和B，在火箭上的观察者看来应 （A）A早于B （B）B早于A （C）A、B同时

v A B （D）条件不够，不足以判断哪个事件发生在先

[ ]

答案：（ B ）

题号：50314011 分值：3分 难度系数等级：

如图所示，在火箭上的观察者认为同时发生的两个事件A和B，地面上的观察者看来应 （A）A早于B （B）B早于A （C）A、B同时

（D）条件不够，不足以判断哪个事件

[ ] 答案：（A ）

题号：50312012 分值：3分 难度系数等级： 下列几种说法：

（1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的

（2）在真空中，光在惯性系的速率与光的频率、光源的运动状态无关 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。 其中哪些说法是正确的？

（A）只有（1）、（2）是正确的 （C）只有（2）、（3）是正确的

（B）只有（1）、（3）是正确的 （D）三种说法都是正确的

[ ]

答案：（D ）

题号：50311013 分值：3分

v A B O 难度系数等级：

两个惯性系之间存在沿x轴方向的相对匀速运动，对于它们之间满足的洛伦兹变换关系，下面表述成立的是 （A） x'xvt1(v)c （B） y'y

2（C）z'z （D） t't2vx c2[ ]

答案：（B ）

题号：50314014 分值：3分 难度系数等级：

某飞船外面的标志为一圆圈和一斜线，斜线与竖直方向成45度角。当两飞船在太空相对的速率为0.95c时，第二个飞船的宇航员观察到这个标志中的斜线将与垂直线成多少角度? (A) 小于30度 (B) 34度 (C) 30度 (D) 45度

[ ]

答案：（A）

题号：50314015 分值：3分 难度系数等级：

在惯性系K中，有两件事件同时发生在X轴相距100m的两点，而在另一个惯性体系K1(沿X方向相对于K系运动)中测的这两个事件发生的地点相距2000m，求在K1系中测的这两个事件的时间间隔是

(A) 6.710s (B) 6.710s (C) 6.710s (D) 6.710s

[ ]

答案：（A）

7865

题号：50315016 分值：3分 难度系数等级：

观察者A测得与他相对静止的xoy平面上一个圆的面积为12cm2；另外观察者B相对于A以v=0.8c平行于xoy平面做匀速直线运动，B测得这个图形为椭圆，则其面积为

(A) 7.5 cm2 (B) 7.2 cm2 (C) 75 cm2 (D) 79 cm2

[ ]

答案： （B）

题号：50313017 分值：3分 难度系数等级：

一宇宙飞船相对于地面以0.8c的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为

(A) 90m (B) 54m (C) 270m (D) 150m

[ ] 答案： （C）

2. 判断题： 题号：50323001 分值：2分 难度系数等级：

根据狭义相对论，甲起床后打电话叫乙起床，不管在哪个惯性系看，依然都是甲先而乙后起床。 答案：对

题号：50322002

分值：2分 难度系数等级：

在狭义相对论中，虽然事件的同时不再具有绝对性，但是因果事件的先后时序的绝对性在任何惯性系中都保持不变。 答案：对

题号：50321003 分值：2分 难度系数等级：

伽利略坐标变换是洛仑兹坐标变换式在低速，宏观情况下的近似。 答案：对

题号：50322004 分值：2分 难度系数等级：

洛仑兹坐标变换是伽利略坐标变换式在高速情况下的近似。 答案：错（后者是前者的近似）

题号：50323005 分值：2分 难度系数等级：

同一质点在两个相对运动的惯性系中的速度满足洛仑兹速度变换，但是光速是个例外。 答案：错（同样满足）

题号：50324006 分值：2分 难度系数等级：

在介质中，光速是cn(其中n为介质折射率)，粒子在介质中运动的速率可能超过cn。 答案：对

3. 填空题 题号：50332001 分值：2分 难度系数等级：2

当答案：很小

题号：50332002 分值：2 分 难度系数等级：

狭义相对论认为，时间和空间的测量值都是_________ __，它们与观察者的运动密切相关。 答案：相对的

题号：50332003 分值：2 分 难度系数等级：

一速度为u的宇宙飞船沿x轴正方向飞行，飞船头尾各有一个脉冲光源在工作，处于船

尾的观察者测得船头光源发出的光脉冲的传播速度大小为___________。 答案：c

题号：50334004 分值：2 分 难度系数等级：

v__________时，洛伦兹变换式可以通过近似退化为伽利略变换式。 cK系与K'系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K'系相对于K系沿X轴正方向匀速运

动，一根刚性尺静止在K'系中，与O'X'轴成30角，今在K系中观测得该尺与OX轴成45

角，则K'系相对于K系的速度是___________。

2答案：()2c

3

题号：50335005 分值：2 分 难度系数等级：

相对地面以速度v沿x轴正方向运动的粒子，在相对粒子静止的惯性系看来，沿y轴

方向上发射一个光子。地面的观测者测得光子的速度方向与x轴的夹角___________。

1c2v2答案： arctan

v

题号：50332006 分值：2 分 难度系数等级：

在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对于甲作匀直线运动

的乙测得时间间隔为5s,则乙相对于甲的运动速度是___________。 答案：3c5

题号：50333007 分值：2 分 难度系数等级：

一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为0.5m，则此米尺以

v___________m/s的速度接近观察者。

答案：3c

2

题号：50332008 分值：2 分 难度系数等级：

一艘飞船和一颗彗星相对地面分别以0.60c和0.80c的速度相向而行，在飞船上测得彗

星的速率是___________。 答案：0.946c

题号：50334009 分值：2 分 难度系数等级：

有一粒子以0.05c的速率相对实验室惯性系运动。此粒子衰变时发射一个电子，电子相对衰变粒子的速度为0.80c，电子的运动方向和粒子相同,则电子相对实验室惯性系的速

率为___________________。 答案： 0.817c

题号：50332010 分值：2 分 难度系数等级：

在狭义相对论中，根据因果律保持的要求，一切相互作用传播的速度都不能大于____________________。 答案：真空中的光速

题号：50331011 分值：2 分 难度系数等级：

观察者甲以4c5的匀速相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度L，截面积为S，

质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则甲测得的此棒密度为_______________。

答案：mls

题号：50333012 分值：2 分 难度系数等级：

观察者甲以4c5的匀速相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度L，截面积为S，

质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则乙测得的此棒的密度为_______________。 答案： 2.78m

4. 计算题 题号：50343001 分值：10分 难度系数等级：

ls

4 . 3半人马星座α星是太阳系最近的恒星，它距地球为  10 m。设有一宇宙飞船，

以v=0.999c的速度飞行，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？

解答及评分标准： 以地球上的时钟计算

16s24.31016t8v0.999310 （3分） 2.87108s9ys

若以飞船上的时钟计算：（原时），因为

  t （3分） t  所以得

2v1cvtt11.28107s0.4ysc2 （4分）

题号：50343002 分值：10分 难度系数等级：

在惯性系S中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s。从另一惯性系S 观察到这两个事件发生的时间间隔为6.0s 。问从S系测量到这两个事件的空间间隔是多少？（设 S  系以恒定速率相对 S 系沿 x x 轴运动。）

解答及评分标准： 由时间膨胀

tt2v1  c  （3分）

（2分）

tv1t

2124c1621255ccc93xxvt2vt2vt  v   v  （3分）

5 8 （2分）

1c1cxvt

31.34109mc625310题号：50343003 分值：10分 难度系数等级：

甲乙两人所乘飞行器沿X轴作相对运动。甲测得两个事件的时空坐标为x1=6104m ， y1=z1=0，t1=210-4s ； x2=12104m， y2=z2=0， t2=110-4 s，若乙测得这两个事件同时发生于t时刻， 求

（1）乙对于甲的运动速度是多少？

（2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？

解答及评分标准：

设乙对甲的运动速度为 u ，由洛仑兹变换

t112ut2xc （1分）

可知, 乙所测得的这两个事件的时间间隔是：

tttt21uc2x2x12112按题意，t2t10,代入上式和已知数据，有：

(11042104)u461042(1210)0c1u2 c2

由此解得乙对甲的速度为 u   c 2

x1根据洛仑兹变换 1   2xut

可知, 乙所测得的两个事件的空间间隔是

x x2x1ut2t12  x 1  1   2  5 . 20  10 4 m

题号：50343004 分值：10分

（2分）

1分） （2分） （1分）

（3分）

（

难度系数等级：

一个质点，在惯性系K中作匀速圆周运动，轨道方程为 x2y2a2, z0

另有一个惯性系K系，其中K系相对K系以速度v沿x轴正向运动。试证：在惯性系K中的观察者测得该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度v移动。

解答及评分标准：

设K’、K系的对应坐标轴分别平行，K’系相对K系以速度v延x轴正向运动，x、x’轴重合，并且t=t’=0时坐标原点O、O’重合。对K’系圆周轨道上某点坐标（x’,y’）的点，O’x’是固有长度，在K系中测得该段长度，由“长度收缩”效应，得

vxvtx'1 （4分）

c在垂直于运动方向上的长度不变，yy',zz'，代入K’系的轨道方程得

22xvty1 （4分） 2aaavcv所以，在K系中测得的轨迹是椭圆，半长轴为a,半短轴为a1，椭圆的中心相

c对O’的移动速度即是参考系K相对K’的运动速度v。 （2分）

本题也可以用洛伦兹坐标变换证明：

22x'xvtv1c2,y'y,z'z （5分）

xvt代入K’系的轨道方程得 2v1c22ya （3分） 2y2即 21 （2分） 2va2a1c

题号：50343005 分值：10分 难度系数等级：

在惯性系K系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距离是1m，在另一惯性系K中观察这两个事件之间的空间距离是2m，求在K系中这两个事件的时间间隔。

解答及评分标准：

设K’系相对于K系以速度v沿x轴正向运动。已知在K系，t1t2,x1m，在K’系，x'2m。

由洛伦兹变换得，在K系同时发生的两事件的空间距离，在K’系对应的空间距离为

xvt2x'x12 （3分）

x得K’相对于K的运动速度： vc1 （3分）

x'由洛伦兹变换，得K’系中两事件的时间间隔：

2tt'1cvvxx22cc12125.77109s （4分）



x'2x2题号：50343006 分值：10分 难度系数等级：

一根直杆在惯性系S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为，S系相对S系沿着x轴的正方向以速度u运动，试求它在S系中的长度和它与x'轴的夹角。

解答及评分标准：

u2u2 x'x12lcos12,y'ylsin （2分）

cc在S’系中棒长为

l'x'2y'2u22l1cosc21/2 （4分）

l'与x'轴的夹角为

21/2lsinu 'arctanarctantan1c2 （4分）22lcos1u/c

题号：50342007 分值：10分 难度系数等级：

静止时边长为a的正立方体，当它以速率u沿与它的一个边平行的方向相对于惯性系

S系运动时，在S系中测得它的体积将是多大？

解答及评分标准：

在S’系中立方体平行于运动方向的边长将被测为长

a'a1u2/c2， （4分）

垂直于运动方向的其他两边的边长仍为a不变。 （3分） 于是立方体的体积被测得为

Va'a2a31u2/c2 （3分）

题号：50344008 分值：10分 难度系数等级：

设想一飞船以0.80c的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体相对飞船的速度为0.90c。问从地面上看，物体速度多大？

解答及评分标准：

地面参考系为 S 系，选飞船参考系为 S 系， v   0 .90 c u  0 .80 c , （3分） xvxuu 1  2 v  （5分） xc从地面上看，物体速度 v

x0.99c洛仑兹速度逆变换

vx（2分）

题号：50344009 分值：10分 难度系数等级：

在地面上测到有两个飞船a、b分别以 +0.9c和-0.9c的速度沿相反的方向飞行， 求飞船a 相对于飞船b 的速度有多大？

解答及评分标准：

取其中一个飞船,譬如b为参考系K，另以地面为参考系K’ （2分） 洛伦兹速度逆变换

uxv （4分） v u x12c

ux飞船a对K系的速度，亦即相对于船b的速度

c c （4分） 0 .9 0 .9 u 0.994cx

题号：50343010 分值：10分 难度系数等级：

10.90.9在惯性系S系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事件发生在第一事件之后2s。在另一惯性系S'系中观察到第二事件在第一事件后3s发生。求在S'系中这两个事件的空间距离。

解答及评分标准：

已知在S系中，x1x2 ，所以

tt1u2/c2 （3分）

由此得

uc1t/t' （2分）

2再由洛伦兹变换可得在S'系中两事件的空间距离为

x'

xut1u2/c2ut'c1t/t't'2 （5分）

2310812/336.71108m

题号：50345011 分值：10分 难度系数等级：

地面上有一直线跑道长100m，运动员跑完所用时间为10s。现在以0.8c 的速度沿跑道飞行的飞船中观测，试问：

(1) 跑道多长？

(2) 运动员跑完该跑道所用的时间； (3) 运动员的速度。

解答及评分标准：

l0  100m跑道固定于S系

在飞船中观测跑道长： l   l0 1  ( v c ) 2  60 m （3分）

运动员起跑和冲线是两个不同时不同地事件

vΔx2ΔxvΔt809cΔx- c-410m ； Δt 16.6s （5分）

2261vc1vcΔt运动员对S 系的平均速度为

Δx4109u2.4108 ms1  0.8 c xΔt16.6

题号：50343012 分值：10分 难度系数等级：

（2分）

天津和北京相距120km。在北京于某日上午9时正有一工厂因过载而断电。同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。试求在以u0.8c的速度沿北京到天津方向飞行的飞船中，观察到的这两个事件之间的时间间隔。哪一事件发生在前？

解答及评分标准：

以北京事件为1，天津事件为事件2，则两事件时间间隔在飞船上观测可得

ux2x12ct'2t'11u2/c2 （4分）

0.850.00031.21031083.33105s10.82t2t1 （4分） 由于t'2t'1所以天津事件先发生。 （2分）

题号：50344013 分值：10分 难度系数等级：

地球上的观察者发现一只以速率v10.60c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以

v20.80c速率向西飞行的彗星相撞。

（1） 飞船中的人们看到彗星 以多大的速率向他们接近。

（2） 按照他们的钟，还有多少 时间允许他们离开原来的航线避免碰撞。

解答及评分标准：

（1）由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星速度为

v'2v2v10.95c （5分）

(v2)v11c2即彗星以0.95c的速率向飞船接近。

（2）以地球上发现飞船经过某地时飞船和彗星最初隔一段距离（并于5s后就要碰撞）为事件1，以地球上发现飞船和彗星就要相撞为事件2。这两件事对飞船来说发生在同一地

点，飞船上测得的时间间隔应为固有时，此时间间隔为

222 t't1v1/c510.604s （5分）

题号：50345014 分值：10分 难度系数等级：

一光源在某一惯性系S'系的原点O'发出一光线，其传播方向在x'y'平面内并与x'轴夹角为'，试求在另一惯性系S系中测得的此光线的传播方向，其中S'系相对S系以速度u沿x轴正方向运动，并证明在S系中此光线的速率仍是c。

解答及评分标准：

在S'系中光的传播速度v'c。由洛伦兹速度变换可得在S系中光的两个分速度分别是

vx

v'xuv'cos'uccos'uv'uv'cos'uucos'111x2cc2c222222v'y1ucv'sin'1uccsin'1ucvyv'xuv'cosuucos'1112cc2c （4分）

由此得在S'系中光线与x'轴夹角为

arctan而光的速率为

vyvxarctansin'1u2c2cos'uc （2分）

vvxvy221/2u2c22212 uccos'csin'cucos'c

题号：50343015 分值：10分 难度系数等级：

 （4分）

cu2cos22uccosc2cucos'1/2c介子是一不稳定粒子，平均寿命是2.6108s（在它自己的参考系中测量）。

（1）如果此粒子相对于实验室以0.8c的速度运动，那么实验室坐标系中测量的介子寿命是多长？

（2）介子在衰变前运动了多长距离？

解答及评分标准：

固有时为02.6108s （2分） （1）实验室中观测到介子的寿命为 t0v212c 4.33108s （4分）

（2）在实验室参考系 测量到介子的飞行距离是

xvt10.4m （4分）

题号：50343016 分值：10分 难度系数等级：

地球上一观察者，看见一飞船A以速度2.510m/s从他身边飞过，另一飞船B以速度

82.0108m/s跟随A飞行。求：

（1） A上的乘客看到B的相对速度； （2） B上的乘客看到A的相对速度。

解答及评分标准：

（1）设地球为K系，飞船为K’系，飞船B为研究对象。 已知K’系相对K系的速度为

v2.510ms (1分) 飞船B在K系的速度为

ux2.010ms （1分）

88飞船B在K’系的速度为 ux'uxv1.125108ms （3分） uxv12c（2）设地球为K系，飞船B为K’系，以飞船A为研究对象。 已知K’系相对K系的速度为

v2.0108ms （1分） 飞船 A在K系的速度为

ux2.5108ms （1分） 飞船B在K’系的速度为 ux'uxv1.125108ms （3分） uxv12c

题号：50343017 分值：10分 难度系数等级：

两只宇宙飞船相对某遥远的恒星以0.8c的速度向相反方向移开，试用变换法则证明，两飞船的相对速度是

解答及评分标准：

设恒星为K系，飞船A为K’系，并沿x轴正方向运动，取飞船B为研究对象，沿x轴负方向运动。 （2分）

飞船B在K’系中的速度为 ux'1.6c，并与伽利略变换所得的结果进行比较。 1.64uxv0.8c0.8c1.6c （4分） 22uxv1.640.8c121cc2问题得证。

根据伽利略速度变换，飞船B在K’系中的速度为 （4分）

ux'uxv0.8c0.8c1.6c

题号：50344018 分值：10分 难度系数等级：

一原子核以0.5c的速度离开一观察者。原子核在它运动方向上向前发射一电子，该电子相对于核有0.8c的速度；此原子核又向后发射了一光子指向观察者。对静止观察者来讲， （1）电子具有多大的速度； （2）光子具有多大的速度。

解答及评分标准：

以实验室为K系，以原子核为K系，则K系相对K的速度为u=0.5c， （1）电子相对K系的速度为x=0.8c，电子相对K系的速度大小为vx

vx

v'xu0.8c0.5c0.93cu0.5c12v'x120.8ccc y  (5分)

u0.5cyx0.8coxox （2）光子相对K系的速度为x=-c，光子相对K系的速度大小为vx

vx

v'xuc0.5ccu0.5c12v'x12(c)cc (5分) yu0.5cyv'xcoxox题号：50343019

分值：10分 难度系数等级：

观察者甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4s，观察者乙测得其时间间隔为5s。试问观察者乙测得这两事件发生的地点相距多少？相对于甲的运动速度是多少？设另有观察者丙声称他测得的时间间隔为3s，你认为可能吗？

解答及评分标准:

根据洛伦兹坐标变换，有

ttvxc21vc22ttvxc21v2c2， (2分)

依题意，x0；有

tt1v2c2vc1(t2)t (3分)

xvtct1(

t24)310851()29108(m)t5。 (3分)

由时间膨胀公式得vc1(tt)，比值tt必须小于1，所以不可能存在声称测得上述两事件发生的时间间隔为3s的观测者。