函数一致连续证明的方法和技巧总结

编号 2013110254 研究类型

理论研究 分类号 O17

学士学位论文

Bachelor’s Thesis

论文题目

关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

作者姓名 学

胡 辉 2009111010254 数学与统计学院 数学与应用数学 许绍元 教授 2013年5月25日

号

所在院系 学科专业名称

导师及职称 论文答辩时间

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湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书

中文题目： 关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 外文题目： Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods 学生姓名 胡 辉 数学与统计学院 院系专业 数学与应用数学 学 生 承 诺 我承诺在学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）： 学生学号 20091111010254 0902班 学生班级 年 月 日 指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日 .

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目 录

1.前言 .................................................................... 1 2.函数一致连续 ............................................................ 2

2.1函数一致连续的定义 ................................................. 2 2.2 证明函数一致连续的相关真命题 ...................................... 2 2.3 函数一致连续相关定理 .............................................. 3 2.3.1函数f(x)在区间上一致连续的充分条件 .............................. 3 2.3.2函数f(x)在区间上一致连续的充要条件 .............................. 6 2.4 应用举例 .......................................................... 8 3.函数非一致连续 ......................................................... 12

3.1函数非一致连续的定义 .............................................. 13 3.3 应用举例 ......................................................... 14 4.参考文献 ............................................................... 16 5.致谢 ................................................................... 17

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关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

胡辉（指导老师，许绍元 教授）

（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）

摘 要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致 连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证 给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。事实表明该流程图对 函数一致连续证明是非常有效的。相信这篇文章对大家证明函数一致连续性 具很大的指导作用。

关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题 中图分类号:O17

Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods

HuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function

Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.

Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example

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关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

胡辉（指导老师，许绍元教授）

（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）

1.前言

本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论 ，并举例说明其应用。这对证明函数的一直连续性具有一定的指导作用，函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一，大多数学分析教材对这方面的讨论较少，学生对一直连续性证明的掌握往往不够，单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难，因此本文给出了几个证明函数一致连续的方法，并举例说明其应用，以供读者参考。

本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍，首先是给出了函数一致连续的定义，用,语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致连续的概念，并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理，总结了函数一致连续的充分条件和充要条件，并给出了函数非一致连续证明的充要条件，然后是给出了证明函数一致连续的程序流程图，仔细地分析了各类函数是否一致连续，并给出了相关证明的技巧。

在给出证明技巧以后，我又总结了各种证明技巧的典型例题，给出例题的同时，给出了证明的各种思路和技巧，分不同的方法和思路给出了证明，在证明过程中先给出证明思路，然后给出了证明过程，为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技巧。最后，我觉得函数一致连续的证明，一切都是源自于一致连续的定义，在理解函数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性质。

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2.函数一致连续

2.1函数一致连续的定义

设f(x)为定义在区间I上的函数，若对任给的0，存在()0，使得对任何x',x\"I，只要x'x\"，就有f(x')f(x\")，则称函数f(x)在区间I上一致连续.

2.2 证明函数一致连续的相关真命题

命题2.2.1 设f(x)在区间I上有有界导数，则f(x)在区间I上一致连续. 命题2.2.2 设f(x)为连续的周期函数，则f(x)一致连续.

命题2.2.3 设f(x)在有限开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limf(x)及limf(x)存在.对于区间[a,b)和区间(a,b]也有类似的结果.

xaxb证明：充分性：由f(x)在有限开区间(a,b)上连续，有对任给的0，存在正数

0，x',x\"(a,b),x'x\"，有f(x')f(x\").特别的，当x',x\"(a,a)时，有f(x')f(x\").根据柯西收敛准则知，limf(x)存在.同理可证limf(x)存在.

xaxb必要性：因为limf(x)与limf(x)存在，令

xaxblimf(x),xaxaF(x)f(x),x(a,b)

limf(x),xbxbF(x)在[a,b]上连续，从而F(x)在[a,b]上一致连续，因此f(x)在(a,b)上一致连续.

推论 1 函数f(x)在(a,b]内一致连续的充要条件是f(x)在(a,b]上连续且

xalimf(x)存在.

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推论 2 函数f(x)在 [a,b)由一致连续的充要条件：f(x)在[a,b)内连续，且

xblimf(x)存在.

命题2.2.4 若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)A（有限），则在[a,)上

x一致连续.

证明 因为limf(x)A，则对任给的0，存在正数Ma，只要x',x\"M，

x就有f(x')f(x\").又因为f(x)在[a,M1]上连续，则f(x)在[a,M1]上一致连续，即对上述0，存在0，对任何x',x\"[a,M1],x'x\"，有

f(x')f(x\").于是对任何x',x\"[a,)，只要x'x\"或x',x\"M，就有f(x')f(x\")，所以f(x)在[a,)上一致连续.

对于区间(,a]和(,)也有类似的结果，对于区间(,a)和(a,)可以用命题3和命题4判别一致连续性.

命题2.2.5 设区间I1的右端点为cI1，区间I2左端点也为cI2，若f(x)分别在区间I1和I2上一致连续，则f(x)在I1I2上也一致连续.

命题2.2.6 设f(x)在[a,)上可导，且limf(x)A，则f(x)在[a,)上一

x致连续的充要条件A为有限数。对于(,a]和(,)也有类似的结果.

2.3 函数一致连续相关定理

2.3.1函数f(x)在区间上一致连续的充分条件

定理2.3.1.1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续. 定理2.3.1.2 设f(x)在[a,)上连续，g(x)在[a,)上一致连续，且

lim[g(x)f(x)]0，则f(x)在[a,)上一致连续.

x证明：因为lim[g(x)f(x)]0，则对任给的0，存在正数Ma，当xMx时，有g(x)f(x)3.又因为g(x)在[a,)上一致连续，则对上述0，存在

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10，只要x'x\"1，就有g(x')g(x\")x',x\"M，x'x\"，有:

3，因此对任何x',x\"[a,)，

f(x')f(x\")f(x')g(x')g(x')g(x\")g(x\")f(x\")，

而f(x)在闭区间[a,M1]上一致连续.即对上述20，只要x',x\"[a,M1]，

x'x\"2，就有f(x')f(x\")，取=max{1,1,2}，则当x',x\"[a,)，x'x\"时，有f(x')f(x\")，所以f(x)在[a,)上一致连续.

定理2.3.1.3 设函数f(x)在区间I上可导，其导数f'(x)在区间I上有界，则

f(x)在区间I上一致连续.

证明：因为f'(x)在区间I上有界，则存在正数M，对任意xI，有f'(x)M.对任给的0，取nM0，对任何x',x\"I.只要x'x\"，则

f(x')f(x\")f'(c)x'x\"MM，

其中c在x'与x\"之间，所以f(x)在区间I上一致连续.

定理2.3.1.4 设函数在(,)内一致连续的充分条件：f(x)在(,)内连续，且limf(x)和limf(x)存在且有限.

xx证明：（1）先证f(x)在[a,)上一致连续.

因为limf(x)A（有限），则对任给的0，存在正数Na，使得对任意的

xx',x\"N，就有f(x')f(x\").又因为f(x)在[a,N1]上连续，则f(x)在[a,N1]上一致连续，即对上述0，存在0，对任何x',x\"[a,N1],x'x\"，有

f(x')f(x\").于是对任何x',x\"[a,)，只要x'x\"或x',x\"N，就有

f(x')f(x\")，所以f(x)在[a,)上一致连续. 同理可证明f(x)在(,a]上一致连续.

推论1 f(x)在(a,)内一致连续的充分条件：f(x)在(a,)内连续，且

xalimf(x)与limf(x)存在且有限.

xb.

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推论2 f(x)在[a,)内一致连续的充分条件：f(x)在(a,)内连续，且

xlimf(x)存在且有限.

推论3 函数f(x)在(,b]上一致连续的充分条件是f(x)在(,b]上连续且

f()都存在.

推论4 函数f(x)在(,b)上一致连续的充分条件f(x)是在(,b)上连续且

f(bo)和f()都存在.

定理2.3.1.5 若对于定义在区间I上的函数f(x)和g(x),L0,x,xI, 有f(x)f(x)Lg(x)g(x)成立,而g(x)在I上一致连续,则f(x)在I上也一致连续.

证明 对于任给0，由于g(x)在I上一致连续，所以0,使得对于x,xI,只要xx,就有g(x)g(x)成立.故对于上述0，结合已知条件有 Lf(x)f(x)Lg(x)g(x)L从而可知f(x)在I上一致连续.

L=成立，

推论6 若函数f(x)在区间I上满足下述Lipschitz条件,即L0,x,xI,有f(x)f(x)Lxx成立,则f(x)在X上一致连续.

定理2.3.1.6 设f(x)在[a,)上连续，且当x时，f(x)以ycxd为渐近线，即lim[f(x)(cxd)]0(c0)，则f(x)在[a,)上一致连续.

x证明：已知lim[f(x)(cxd)]0(c0)，则由柯西收敛准则给的0，存在正

x数A0，使得对任意的x',x\"[a,A]，就有

f(x')(cx'd)f(x\")(cx\"d)2,

f(x')f(x\")cx'x\"f(x')f(x\")c(x'x\")2,

 所以f(x')f(x\")cx'x\"，

2.

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不妨设cx'x\"取12，则x'x\"2c.

2c，于是0，存在正数0，x',x\"(a,A)，当x'x\"时有

f(x')f(x\")c12，

又已知：f(x)在闭区间[a,A1]上连续，则f(x)在[a,A1]上一致连续，对上述

0，存在20，x',x\"[a,A1]，当x'x\"2时，有f(x')f(x\")，取 =max{1,1,2}，

则当x',x\"(a,)且x'x\"时，则可同属于[a,a1]或[A,)无论哪部分都有 f(x')f(x\")， 所以f(x)在[a,)上一致连续.

2.3.2函数f(x)在区间上一致连续的充要条件

定理2.3.2.1 若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是

0x',x\"Ix'x\"limsupf(x')f(x\")0.

证明 (1)必要性:因f(x)在I区间上一致连续,则对任给的0,存在00,对任何x',x\"I,只要x'x\"，就有f(x')f(x\")，从而supf(x')f(x\")，故当

22x',x\"Ix'x\"00时，supf(x')f(x\")x',x\"Ix'x\"2.所以limsupf(x')f(x\")0.

0x',x\"Ix'x\"(2）充分性：由limsupf(x')f(x\")0知，对任给的0,存在00,对任何

0x',x\"Ix'x\"x',x\"I，只要x'x\"0，就有supf(x')f(x\")，取整数0，当x',x\"I，

x',x\"Ix'x\"x'x\"时，f(x')f(x\")supf(x')f(x\")，所以函数f(x)在区间I上一致

x',x\"Ix'x\"连续.

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定理3.2.2 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件为对任给的0，对

x',x\"I存在N0，当limnf(x')f(x\")N，有f(x')f(x\").

x'x\"定理3.2.3 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是：f(x)在区间I上满足lim(xnyn)0的两个数列{xn},{yn}必有lim[f(xn)f(yn)]0

nn 是 导函数是否有界 否 用定义是否易证 否 否 是否是周期函数 是 结束 连续函数f的一致连续性判断 是 由命题2.2.1证明一致连续 是 用命题2.2.5证明一致连续 I是否能看作I1I2 否 I是否是有限区间 由命题2.2.2证明一致连续 是 由定理2.3.1.1 是 否 有限端点处极限是否存在 I是否闭区间 否 否 不一致连续 否 端点处极限是否存在 证明 否 由命题2.2.4知不一致连续 limf(x)是否存在 x是 由命题2.2.4否 由命题2.2.4证明 A是否有限 . limxf'(x)A 否 是 .

由命题2.2.6知一致

由定义证明 连续

否 由命题2.2.6不一致连续 2.4 应用举例

例 2.4.1： 证明：f(x)cosx在0,上一致连续. 证明：0,=[0,1]1,，在1,上成立不等式 |cosx'－cosx\"|≤|x'－x\"|≤x'x\"|，

f(x)在1,上满足Lipthitz 条件，从而在1,上一致连续。又cosx在0,1上连续，由Cantor定理cosx在0,1上一致连续。综上所述，cosx在0,上一致连续。

应用：我们利用Cantor定理还可以得到较为实用的判定方法。

设I=a,,f(x)在I上连续，f(x)A(x)，则f(x)在I上一致连续。 证：因为f(x)A(x)，由Cauthy准则知，对

0,M0,当x1,x2M时，有

|f(x1)f(x2)| （1）

又由于f(x)在a,M1上连续，有Cantor定理知f(x)在a,M1上一致连续，故对上述的0,存在10,当x3,x4a,M1且|x3x4|1时，有

|f(x3)f(x4)| （2）

(2)两式均有取min1,1，则对x',x\"a,,且|x'x\"|时，有(1)，|f(x')f(x\")|，有一致连续性定义，f(x)在a,上一致连续，命题得证。

例2.4.2 函数

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2n1n2x(n),n2n1f(x)n22nx(nn),2n0,问：f(x)在[0,)上是否一致连续？

解: f(x)在[0,)上非一致连续.

1xnn,n,2n1 xn,nn,2nx为[0,)中的其他点.显然,f(x)在[0,)上连续，且f(x)0,x[0,).且

nnaf(x)dx1n12n1,

收敛.但limf(n)limn,故limf(n)0.从而可知f(x)在[0,)上非一致连续.

n例2.4.3 用定义证明x在0,上一致连续. 证明：令f(x)=x，先证f(x)在1,上一致连续. 设x1,x21,且x1x2,

x1x2x1x2x1x2x1x22.

0,取2，当x1,x21,且x1x2时，有

x1x2x1x22.

即证f(x)在1,上一致连续.

例2.4.4 设f(x)x21sin，证明f(x)在[1,)上一致连续. x1xx2的有界性及结合三角函数性质此题可以用定义证明，x1解题思路一：若考虑到但是证明过程比较繁琐.

证明:对任何的x',x\"[1,),x'x\",

f(x')f(x\")x'21x\"21x\"21x\"21sinsinsinsin x\"1x'x\"1x\"x\"1x'x\"1x\".

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1111x'2x\"2x\"2x'x\"x'x\" 2cossinx\"1x\"1x\"12211x\"x'1x'x\"(1)2 

(x'1)(x\"1)x\"12 7x\"x' 47.

4

limsupf(x)f(x)0. 则0'\"x,xIx'x\"'\"解题思路二：若考虑函数导函数的有界性，因为 f'(x)=

11171111111, sincoscos222222xx(x1)4(x1)xxxx1xx(x1)则由命题2.2.1方法可证.

证明：由题意，因为f(x)在[1,)上连续，所以对任意的x1,x2[1,)，有： f(x1)f(x2)f'(x)x1x2又因为

7x1x2. 4f'(x)=

 1111111 sincoscos222(x1)xxxx1xx111 (x1)2x2x2(x1)7, 44从而由函数一致连续的定义，对人给的0，存在0，使得对任何

7x1,x2[1,)，只要x1x2，就有：

f(x1)f(x2)f'(x)x1x2证毕.

747x1x2，

474.

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解题思路三：假设没有考虑到导数有界，从区间考虑，是无穷区间，且含有限端点1，考虑limx21sin0，则由命题2.2.4方法可证.

xx1xx21x21sin在[1,)上连续，且limsin0，所以

xx1x1xx证明：因为f(x)f(x)x21sin在[1,)上一致连续. x1x1x例2.4.5 设f(x)(x2)e，证明f(x)在[1,)上一致连续。

分析 解题思路一：由于e在[1,)上是有界的及x2这个函数的一致连续性，所以可以用定义证明；

解题思路二：假设没有考虑到用定义证明，由于f(x)不是周期函数，考虑导数

1xf'(x)e(11xx2)2x是否有界？由于对任意x[1,)，有

f(x)e(1'1xx2x2e1)2e，

x2x2则由命题2.2.1可证.

11x2证明:f'(x)e(12)ex(12)，在[1,)上，

xxx11111f'(x)e(12)ex(12)4e，

xxxx1x1x1即f'(x)在[1,)上有界，从而由定理2.3.1.5可证.

解题思路三：若考虑导数有界有一定的困难，可按照流程图往下考虑，又因为

limf'(x),而limf'(x)1比较容易考虑，所以可以由命题2.2.6证明.

xx解题思路四：利用定理2.3.1.3,

设g(x)x3，因为，g'(x)在[1,)上有界，所以在g'(x)上一致连续. 函数f(x)(x2)e在[1,)上连续，且有

lim[g(x)f(x)]lim[(x3)(x2)e]

nn1x1x lim[x(1e)(32e)]

n1x1x.

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0. 则f(x)(x2)e在[1,)上一致连续.

1x1例2.4.6 设f(x)xarctan[x(1)2]，证明f(x)在(0,)上一致连续.

x12h(x)arctan[x(1)]解题思路：由于g(x)x在(0,)上是一致连续的，故考虑x在(0,)上一致连续，显然h(x)不是周期函数，但h'(x)也不容易求出，不妨考虑h(x)在x0和x时的极限，由于limh(x)x2,

]limarctan00

x0limh(x)limarctan[xex0x01xln(1)x则由命题2.2.3和命题2.2.4可证.

例2.4.7 证明f(x)sinx在x[0,)上一致连续. 分析 解题思路一：由于

sinx'sinx\"2sinx'x\"x'x\"cos22x'x\"x'x\"

x'x\"可以考虑把区间分为[0,1][1,)，在[0,1]上f'(x)12xcosx无界，但f(x)连

续，由定理2.3.1.1可知f(x)在[0,1]上一致连续，在[1,)上，

sinx'sinx\"1x'x\"， 2可由定义证明f(x)在[1,)上一致连续，由命题2.2.5可知f(x)在[0,)上一致连续。

解题思路二：若考虑函数导数f'(x)12xcosx，因为f'(x)在(0,)上无界，

可以考虑把区间分成[0,1][1,)，f(x)在[0,1]上一致连续，f'(x)在[1,)上有界，由命题2.2.1可知，f(x)在[1,)上一致连续，由命题2.2.5可知f(x)在[0,)上一致连续。

3.函数非一致连续

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3.1函数非一致连续的定义

设f(x)为定义在区间I上的函数，若对任给的0，存在()0，当

x',x\"I，x'x\"时，有f(x')f(x\")，则称函数f(x)在I上非一致连续.

3.2 函数在区间上非一致连续的判定方法

关于f(x)在区间I上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下三种方法来判定非一致连续：

（1）非一致连续的定义.

（2）f(x)在区间(a,b)上非一致续的充要条件是limf(x)与limf(x)至少有一个

xaxb不存在.

（3）f(x)在区间上非一致连续的充要条件:在区间I上的两数列{xn},{yn}，满足

limxnyn0，必有lim[f(xn)f(yn)]0.

nn假设函数f(x)在区间[a,)上一致连续,则对于任意0,存在0,（不妨设

）, 对于任意x,x[a,), 且当xx时,f(x)f(x)2成立.又因为

f(x)dx收敛,故对上述的,必存在M0，当x,xM时,有|axx2, f(t)dt|2xM，总存在x,x使xxxM且xx,于是有:

f(x)x\"x'f(x)dtf(t)dtf(t)dt

x'x'x\"x\"xxf(x)f(t)dtxxf(t)dt

即

222,

f(x), 2222xx于是, 0,M0,当xM时,有f(x),即limf(x)0与limf(x)0矛盾,所以假设不成立, 从而f(x)在区间[a,)上非一致连续.

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定理3.2.1 函数f(x)在区间I上非一致连续的充要条件是在I上存在两个数列

'\"'\"'\"xn)0，但当n使，[f(xn，使lim(xnxn,xn)f(xn)]不趋于0.

n证明 （1）必要性，因为f(x)在区间I上非一致连续，则存在00，取

nn11'\"'\"'\")f(xn)0，即当,xnI.当xn0，存在数列xnxn时，有f(xnnn'\"'\"lim(xnxn)0时，[f(xn)f(xn)]不趋于0(n).

（2）充分性：若f(x)在区间I上一致连续，则对任给的0，存在0,对任

'\"xn)0，则对上述意x',x\"I.只要x'x\"，就有f(x')f(x\").又因为lim(xnn'\"'\"0，存在N，对任何的nN，有xnxn，所以f(xn)f(xn)，即'\"lim[f(xn)f(xn)]0，这与已知矛盾.所以f(x)在区间I上非一致连续. n3.3 应用举例

例3.3.1 证明fxx2在区间0,M上一致连续（M为任意整数），在0,上非一致连续.

分析 利用定义. 证明 0，2M，使得x,x0,M，xx，有

fxfxx2x2xxxxxxxx2M.

fxx2在区间0,M上一致连续（M为任意整数）.

xn0但是 n1,xnn,limxn在0,上取两个数列xnnfxn10. limfxnn所以fxx2在0,上非一致连续.

例3.3.2 证明函数①f(x)x2；②f(x)ex在R上非一致连续.

'\"n1,xnn. 证明 （1）在R上取两个数列xn'\"lim[xnxn]lim(n1n)limnnn10,

n1n但

.

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'\"lim[f(xn)f(xn)]lim[(n1)n]10 . nn由定理2.3.1.4知函数f(x)x2在R上非一致连续.

'\"(2)在R上取两个数列xnln(n1),xnlnn.

'\" lim(xnxn)lim[ln(n1)lnn]limlnnnnn10. n但

'\"lim[f(xn)f(xn)]lim[leln(n1)elnn]lim[(n1)n]10. nnn由定理3.3.4知，f(x)ex在R上非一致连续.

例3.3.3 设fx在a,b上连续，且处处不为0，证明

1f

2

x在a,b上一致连续.

分析 利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理2.3.1.5和一致连续定义的灵活应用.

证明 fx在a,b上连续，则fx在a,b上一致连续.

故0,00，对任意的x'，x\"I只要x'x\"0，就有

fx'fx\"2.

fx在a,b上连续，所以M,m使mfxM

1f2x'1

f2x\" f2x\"f2x'f2x\"f2x'

 因此，

1f2fx'fx\"fx'fx\"m2M, m44

x在a,b上一致连续.

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【参考文献】

[1]欧阳光中,数学分析[M]．上海：复旦大学出版社 1992:153~167.

[2]王向东．数学分析的概念与方法[M]．上海：上海科技出版社 1994:84~86. [3]华东师范大学数学系．数学分析( 上册第三版) 〔M〕． 北京: 高等教育出版社，2006:82~84.

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[7]钱吉林． 数学分析题解精粹〔M〕． 武汉: 崇文书局，2003:84~88. [8]刘玉链 ,傅沛仁.数学分析(第 3 版) [M] . 北京:高等教育出版社 ,1991: 54~56.

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致谢

历时将近两个月的时间，我终于将这篇《函数一致连续的证明》论文写完了，在论文的写作过程中虽然遇到了无数的困难和障碍，但是还是在同学和老师的帮助下完成了这篇论文。

通过写这篇论文，让我深深地体会到了学术研究的严密性，应该说数学的研究更是这样，我所写的论文题目是函数一致连续的证明技巧，本来是没有什么新颖的东西可以写，但是我依然决定从实际出发，不断的翻阅资料，总结了许多函数一致连续的证明方法，而且还给出了函数一致连续的证明流程图。在写的过程中，我还总结了很多证明函数一致连续的命题、定理，给读者可以提供更方便快捷的证明思路。这也是我感觉到无比有成就感的地方。

最后，尤其要强烈感谢我的论文指导老师—许老师，感谢他的无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多理论素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正。

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学士学位论文评审表

所在院系 所学专业 论文题目 数学与统计学院 学生姓名 胡辉 导师姓名 许绍元 教授 数学与应用数学 学生学号 2009111010254 导师职称 关于函数一致连续性证明的若干技巧与方法 论文 本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一 主要致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证 内容给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。事实表明该流程图对数 简介 一致连续证明是非常有效的。相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大 的指导作用。 论文 评语 论文总评成绩 院系学术委员会主席(签名或盖章)：_____________ 院系盖章： .