第２９卷第１期 青海大学学报（自然科学版） Ｖ０１．２９ Ｎｏ．１ ２０１１年２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｎｇｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｆｅｂ．２０ｌｌ 一类二次型独立的充要条件的简捷证明 刘宝慧 （青海大学财经学院，青海西宁８１００１６） 摘要：本文在概率统计学家许宝禄教授关于一类二次型独立的充要条件的证明的启示下。给出 了一个更简捷的证明。 关键词：对称阵；相互独立；正交变换 中图分类号：Ｏ２１２．４ 文献标志码：Ｂ 文章编号：１００６—８９９６（２０１１）０１—００８８—０３ Ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｅｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ＬＩＵ Ｂａｏｈｕｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｍｉｃｓ，Ｑｉｎｇｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｉｎｇ ８１００１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒｃｔ：Ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｄｉｒｅｃｔ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｅｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｏｕｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｍａｄｅ ｂｙ ｐｒｏｆ．Ｘｕ Ｂａｏｌｕ，ａ ｆａｍｏｕｓ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｉａｎ ｉｎ Ｃｈｉｎａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ；ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ０ 引言 一类二次型独立的充要条件最早由Ｃｒａｉｇ…提出来的，内容如下： 定理…：设矩阵Ｃ，一Ｃ ，ｉ＝１，……，ｋ，随机向量 ～Ⅳ （ ，， ），则二次型 Ｃｘ，ｉ＝１，……，ｋ相互独 立的充要条件为 Ｃ Ｃ ＝０，ｉ≠ （１） 在１９６２年以前，先后有五、六个证明，但往往都有错。张润楚 在Ｃ ，ｉ＝１，……，ｋ是等幂阵的时 候证明了该定理。我国著名概率统计学家许宝禄教授于１９６２年给出了该定理的正确的证明。其中关 键的一步是引理的证明。 引理… 设Ａ、Ｂ为ｎ阶对称阵它们的非零特征根为｛Ａ ，……，Ａ，｝，｛ …一， ｝。如果 ＋Ｂ特 征根正好为｛Ａ …一，Ａ ， …－－， ｝。则ＢＡ＝ＡＢ＝０ 解淑清等 在１９９０年提出了一种证法，李宏忠 在２００３年又发表了这个引理的另一种证法。 本文在许宝禄教授证明的启示下，给出了定理的一个比文献［１］简捷的证明。 １ 主要定理 定理设矩阵Ｃ Ｃ ，ｉ＝１，……，ｋ，随机变量 一Ⅳ （ ，， ），则二次型 Ｃｘ，ｉ＝１，……，ｋ相互独立 的充要条件为 Ｃ ＬＣｉ＝０，ｔ≠ｊ 充分性：Ｃ ＝Ｃ 及Ｃ Ｃ ＝０，ｉ ，ｉ， ＝１，……，ｋ 收稿日期：２０１０—１０—１２ 作者简介：刘宝慧（１９７２一），女，河北涞源人，助教。 第１期 刘宝慧：一类二次型独立的充要条件的简捷证明 ８９ ０＝（Ｃ ）＝ ｃ ＝ ｃ 从而 Ｃ ＝ＣＪｃ ，ｉ ，ｉ， ：１，……，ｋ ＡＡｉ＝ｉ＝［ｌ Ａ０“・‘． Ａ ］ｊＩ ＝ １，……‘， Ａ ＝Ｆ Ｃ ＦＦ ｒ ＝Ｆ Ｃ ｒ ∑ｆＥＧ Ａ“Ｙ ｉ＝１，…一，ｋ 令人。＝ｒ Ｃ Ｆ， ＝ｒ ｒ，由上式可得 ｘｔＣｉｘ＝ ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，……，ｋ 青海大学学报 第２９卷 ２ 证明 （１）反证法证明当 Ｃ 与 独立时，ｉ＃ｊ，ｉ， ＝１，……， ，Ａ ，Ａｊ是对角阵，若Ａ 不是对角阵， 不妨设其第ｐ行第ｑ列元素Ａ ≠０，由于Ａ ＋ 是对角阵，则当ｐ＜ｑ Ａ ｑ＋（一Ａ ｇ）＝０ 所以二次型 Ｃ ＝ｙ＇Ａ Ｙ与 ＝ｙ ｙ（ ）可表示为 Ａ ｑ Ｃ ＝ｙ Ａ Ｙ＝（Ｙ１……Ｙ ） ＡⅢ Ａ ， 入＿Ｐｑ ｌ ＝ｙ Ａ：ｙ＝（Ｙｌ……Ｙ ） ： ● 入Ⅲ ）， ／， ．．．．．．．．．．．． 入 ； 、 ●●●● ● 于是 Ｃ 含有ｈｉｐｑＹｖＹ 项，这与 Ｃ ， ，独立矛盾，故Ａ ， 均为对角阵， （２）反证法证明Ａ ， 主对角线上相同位置的元素至少有一个为０，即ＡⅢ与 ，ｌ＝１，……，ｎ至少 有一个为０，若Ａ 与Ａ 均不为零。由 Ａ ｌ１ Ｃ ＝ Ａ Ｙ＝（），１ ……Ｙ ） Ａ Ａ 则二次型 Ｃ 含有Ｉ￣ｉｌｌＹ ，二次型 含有Ａｉｔ￣Ｙ 项，这与 Ｃ ， 独立矛盾，故Ａ 与Ａｌ『ｆｌ至少 有一个为零。 所以 人 Ａ，＝Ａ，Ａ ＝０ 于是 Ｃ Ｃ，＝ＦＡ ｒ，ｒＡ Ｆ ＝ ＦＡ ＡＪｒ （下转第１０２页） １Ｏ２ 青海大学学报 第２９卷 加强对资金的投入及优化资金利用的效率。 （２）科技创新是经济发展的基础，但要最终实现对经济发展的推动作用，还有赖于将科技创新成果 有效地转化为现实的生产力。正如诺贝尔奖得主、世界银行副总经理斯潘格利茨曾建议的那样：“中国 的投资也需要再定位，包括创新的投人，要着眼于资源节约方向，而不是和西方国家一样走劳动节约方 向”。我们的创新应聚焦于创新为青海可持续发展、生态文明建设服务上来，“创新可以从市场需求引 领产业进步，改变为创新产业引领市场的新思维”＿５ｊ。因此，提高科技成果转化率，加大高新技术产业 化的力度，为发展高新技术产业和应用高新技术改造传统产业是青海省面临的迫切需要解决的问题。 （３）青海省在科技创新进步环境的打造和维护意识是先进的，工作成绩也是明显的。因此，如何保 持这种优势乃至发展新的优势，制度的持续创新则是接下来的工作重点，即一方面需要提高技术创新效 率，另一方面则确实需要提升产业发展所需资源的投入水平，当然，更为关键的还应该是如何形成良好 的技术创新及运行机制，以充分利用这些资源。 总之，青海省目前还是一个欠发达地区，财力、物力有限，同时，青海省是显著的资源依赖型经济，资 源依赖型经济容易产生一种惰性，即以依赖资源开采及加工从中获得较高的效益为满足，从而缺乏技 术、管理与制度创新的动力，缺乏在其它产品和技术领域获得成功的欲望。因而改善科技创新成果水 平，加强科技成果的转化，提高自身的科技创新能力，还需要对方方面面进行整体的改进、调整和提升， 既要提高科技资产质量，也必须不断提高人员的素质，更要使科技的发展与经济环境的改善之间达到更 好的协调，最终，使得持续创新成为青海转变经济增长方式，实现科技和经济良性互动发展的现实途径。 参考文献： ［１］徐祖广．研究型大学在建设国家创新体系中的地位和作用［Ｊ］．清华大学教育研究，１９９９（２）：２３—２５． ［２］李廉水．论完善南京科技创新体系的依据及思路［Ｊ］．科技与经济，２００２，１５（１）：９． ［３］国家科技统计信息中心．中国科技统计资料汇编［ＥＢ／ＯＬ］［２０１０—１２—２０］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｔｓ．ｏｒｇ．ｃｎ／ｚｌｈｂ／ｉｎｄｅｘ．ｈｔｍ ［４］青海省统计局．青海省统计年鉴［Ｍ］．北京：中国统计 版社，２００９：１３５～１４１． ［５ Ｊ金涌，Ｊａｋｏｂ ｄｅ Ｓｗａａｎ Ａｒｏｎｓ．资源能源环境社会——循环经济科学工程原理［Ｍ］．北京：化学 业ｆｆＪ版社，２００９：３４９． （责任编辑（上接第９０页） ＝王宝通） ｒＯｒ ＝０ 同理 ｑｃ ＝０ 于是有 Ｃ ｃ』＝ｑｃ ＝０ 证毕。 参考文献： ［１］张尧庭，方开泰．多元统计引论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３：９７—９９． ［２］张润楚．多元统计分析［Ｍ］．北京：科学出版社，２００６：３４ ［３］解淑清，李排昌．Ｃｒａｉｇ引理的另一种证法［Ｊ］．华中师范大学学报，１９９０，２４（１）：２５—２６ ［４］李宏忠．Ｃｒａｉｇ引理的一个新证［Ｊ］．上海海运学院学报，２００３，２４（３）：２５４—２５６． （责任编辑唐宏伟）