中考专题复习·四边形综合专题

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印

兴教育者，恒德也

谢湘君中考专题复习·四边形综合专题

1、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针

旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F． （1）求证：△AOE≌△COF；

（2）当α=30°时，求线段EF的长度．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AO=OC，

∴AECF＝OEOF＝AOOC＝1， ∴AE=CF，OE=OF， 在△BCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠OAD=60°， ∴∠AEO=90°， 在Rt△AOB中，

sin∠ABO=AOAB=A△AOE和△COF中， AO＝COOE＝OFAE＝CF ∴△AOE≌△COF． （2）当α=30°时，即∠AOE=30°， ∵四边形A12， ∴AO=1， 在Rt△AEO中，

cos∠AOE=cos30°=OEAO=32， ∴OE=32， ∴EF=2OE=3．

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，BD是Rt△ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长 A

M

D

FO

B CE第22题图

【试题分析】

（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”

（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长

解：（1）过点O作ON⊥AB于点M ∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F ∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

1 同心同德 持之以恒

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兴教育者，恒德也

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E ∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90° ∵OMOF∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MA0＝∠FAO ∴点O在∠BAC的平分线上

AOAO（2）方法一：

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13 易证：BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE 故：BE＝12－OE，AF＝5－OE 显然：BM＋AM＝AB 即：BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13解得OE＝2 方法二

利用面积法：

1ACBC 2111S△ABC＝BCOEACOEBAOE

222S△ABC＝

从而解得。

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10． 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°． ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， 222DE+BE=BD， 222即CD+4=（8﹣CD）， 解得：CD=3， 222在Rt△ACD中，由勾股定理得AC+CD=AD， 222即3+6=AD， 解得：AD=．

2 同心同德 持之以恒

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兴教育者，恒德也

4、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

（1）求证：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形． 分析：（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线

互相垂直即可证得结论；

（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可． 解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∴▱ABCD是菱形． ∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB=∴AO=14×=

，

=，AB=14，

=，AB=14，

在Rt△ABE中，cos∠EAB=∴AE=AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣

=

．

点评：本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、 平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，

选择合适的边角关系，难度不大．

5、如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF. （1）求证：△ABC≌△ABF

（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.

【解答过程】 （1）证明：∵EF∥AB ∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E ∵AE=AF ∴∠EFA =∠E ∴∠FAB=∠CAB ∵AC=AF，AB=AB ∴△ABC≌△ABF （2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形. 理由：∵EF∥AB ∴∠E=∠CAB=60° ∵AE=AF ∴△AEF是等边三角形 ∴AE=EF， ∵AE=AD ∴EF=AD ∴四边形ADFE是平行四边形 ∵AE=EF ∴平行四边形ADFE为菱形.

3 同心同德 持之以恒

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兴教育者，恒德也

6、已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD．

解答： 证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE和△DBF中

，

∴△CDE≌△DBF （SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形， ∵EF与AD交于O点， ∴AO=OD

7、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12，

∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴即， ， ∴AE=16.9， ∴DE=AE﹣AD=4.9． 4 同心同德 持之以恒

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兴教育者，恒德也

8、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF；

（2）求EF的长．

解答： （1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DEBC， ∵延长BC至点F，使CF=BC， ∴DE FC， （2）解：∵DEFC，

∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC=EF，

∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，

∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，

∴DC=EF=．

9、如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：△AOE≌△COF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．

即DE=CF；

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO， ∵O是OA的中点， ∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下： ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

5 同心同德 持之以恒

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兴教育者，恒德也

10、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AECG，AHCF，

且EG平分HEF.

求证：(1)AEH≌CGF； (2)四边形EFGH是菱形.

证明：（1） ABCD中 AC „„„„„„„„„„„„„„1分 AE=CG „„„„„„„„„„„„„„„2分 AH=CF „„„„„„„„„„„„„„„3分 AEHCGF „„„„„„„„„„„„5分 （2）在ABCD中

BD,且AB=CD AD=BC 又AE=CG AH=CF BE=DG DH=BF

DHGBFE„„„„„„„„„„„„„7分 HG=EF 又HE=GF

四边形EFGH是平行四边形„„„„„„„„„8分 又EG平分HEF 12

又HG∥EF 23 13

HE=HG „„„„„„„„„„„„„„„„„9分 EFGH是菱形„„„„„„„„„„10分

11、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB． （1）求证：∠ABC=∠EDC； （2）求证：△ABC≌△EDC．

解答： （1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°， ∴∠B+∠ADC=180°， 又∵∠CDE+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠CDE，

（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，

在△ABC和△EDC中，

，

∴△ABC≌△EDC（SAS）．

6 同心同德 持之以恒