高中数学必修一必修二的知识总结

第一章 集合与函数的概念

一、集合：

1．集合的定义与表示

（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合

（2）集合的表示：常用大写拉丁字母A,B,C,表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母

a,b,c,表示

（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质） （4）元素与集合的关系：属于(aA) , 不属于(aA) （5）常用数集：N,N*,Z,Q,R （6）集合的表示：列举法，描述法

2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）子集：

一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B 的子集，记作AB（读作A含于B）或BA（读作B包含A）。韦恩表示图略 （2）集合相等：

如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），称集合A 与集合B相等。记作AB。韦恩表示图略 （3）真子集：

如果集合AB，但存在元素xB,且xA,称集合A是集合B 的真子集，记作

AB（读作

A真含于B）或BA（读作B真包含A）。韦恩表示图略

（4）空集：

不含任何元素的集合叫做空集。

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 （5）集合的子集个数：

含有n个元素的集合的子集个数为2，真子集个数为21，非空真子集个数为22 3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并

nnn集，记作AB（读作：“A并B”），即ABxxA,或xB，韦恩表示图略 （2）交集：

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作AB（读作：“A交B”），即ABxxA,且xB，韦恩表示图略，数轴表示略 （3）补集：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作ðUA=xxU,且xA，韦恩表示UA，即ð图略，数轴表示略

说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理

4．集合的主要性质和运算律

集合的主要性质和运算律 包含关系： AA,A,若AU则CUAUAB,BCAC;(AB)A,(AB)B;A(AB),B(AB).集合的运算律： 交换律：ABBA;ABBA. 结合律：(AB)CA(BC);(AB)CA(BC). 分配律：A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC). 0—1律：A,AA,UAA,UAU. 等幂律：AAA,AAA;ABABAABB. 求补律：ACUA,ACUAU,CUU,CUU,CU(CUA)A. 反演律：(CUA)(CUB)CU(AB);(CUA)(CUB)CU(AB). 二、函数及其表示

1．函数的定义：（集合对应定义法）

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA，

其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域，值域是集合B的子集. 函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）

区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）

(a,b);a,b;a,b,a,b;,a,,a;b,,b,,,

无穷大的引入：,, 2．函数的表示：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 分段函数：

映射：设A、B是非的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。 会区分函数与映射的关系

3．函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解） （1） 单调性

① 增函数，增区间，递增性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；区间D叫做函数f(x)的一个增区间；这种性质叫做函数的递增性。 ② 减函数，减区间，递减性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；区间D叫做函数f(x)的一个减区间；这种性质叫做函数的递减性。 注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面理解函数单调性

会用定义判断并证明函数单调性 （2）函数的最大值与最小值： ① 函数的最大值：

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，

都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。

② 函数的最小值：

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最小值。

注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等 （3）函数的奇偶性： ① 偶函数：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数叫做偶函数。偶函数图象关于y轴对称。 ② 奇函数：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数叫做奇函数。奇函数图象关于原点对称。

第二章 基本初等函数

一、指数与指数函数 1．指数与指数幂的运算 （1）根式：

一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根；

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是一对互为相反数，记作na(a0)。 负数没有偶次方根。

式子na叫做根式，n是根指数，a叫做被开方数；由n次方根的意义得：(na)na （2）分数指数幂：

nanam；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

（3）指数幂的运算性质：

mnarasars,(ar)sars,(ab)rarbr,其中a0,b0；r,sQ

2．指数函数及其性质： （1）指数函数：

一般地，形如ya(a0,a1)的函数，叫做指数函数；其中x是自变量，函数的定义

x域为R。

（2）指数函数的图像与性质：

指数函数yax(a0,a1)的图象与性质 图 象 定义域 值域 （1）过定点 性 质 （3）范围 （2）单调性 0a1 a1 R (0,) （0，1），即x0时y1 在R上是减函数 在R上是增函数 x0时y1； x0时0y1； x0时0y1； x0时y1；

3．对数与对数的运算：

（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）

一般地，如果aN(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN 注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围

常用对数：log10NlgN 自然对数：logeNlnN

（2）对数与指数的互化：axNxlogaN,(a0,a1) （3）对数的性质： loga10,logaa1

xloga(MN)logaMlogaN（4）对数的运算性质：logMlogMlogN aaaNlogaMnnlogaM(a0,a1,M0,N0)（5）对数恒等式：alogabb(a0,a1,b0)

logcb(a0,a1;c0,c1,b0) logca（6）对数换底公式：logablogab1,logablogbclogcdlogad logba4．对数函数及其性质： （1）对数函数：

一般地，形如ylogax(a0,a1)的函数，叫做对数函数；其中x是自变量，函数的定义域为0,。（2）对数函数的图象与性质：

指数函数ylogax(a0,a1)的图象与性质 图 象 定义域 值域 （1）过定点 （2）单调性 0a1 a1 0, R （1，0），即x1时y0 在0,上是减函数 在(0,)上是增函数 性 质 0x1时y0； （3）范围 0x1时y0； x1时y0； x1时y0； 5．幂函数： （1）幂函数定义：

一般地，形如yx的函数，叫做幂函数；其中x是自变量，a是常数。 （2）幂函数的图象与性质： ayx yx2 yx3 yx 12yx1 图象 定义域 值域 奇偶性 对称性 R R 奇函数 原点对称 R R R 奇函数 原点对称 0, 0, 无 xx0 0, 偶函数 yy0 奇函数 原点对称 y轴对称 ,0上递减 单调性 在R上递增 在R上递增 0,上递增 公共点 6．函数图象变换

平移变换：左右平移与上下平移

0,上递增 ,0及0,上递减 1,1 翻折变换：如何由yf(x)图象得到yf(x),yf(x)图象

对称变换：如何由yf(x)图象得到yf(x),yf(x),yf(x)图象

第三章 函数的应用

一、函数与方程

1．方程的根与函数的零点：

（1）函数的零点：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。 （2）方程的根与函数的零点的关系：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 （3）方程的根与函数的零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。 2．二分法： （1）二分法定义：

对于区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

（2）给定精度，用二分法求函数f(x)零点近似值得基本步骤： 1. 确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精度； 2. 求区间a,b)的中点c

3. 计算f(c)

（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)f(c)0，则令bc（此时零点x0(a,c)）； （3）若f(c)f(b)0，则令ac（此时零点x0(c,b)）；

4. 判断是否达到精度：即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2~4。 二、函数模型及其应用： 1．几类不同增长的函数模型： 一次函数型（直线型）：均匀上升 指数型：爆炸式上升 对数型：缓慢式上升 幂函数型：爆炸或缓慢式上升 2．函数模型的应用：

必 修 二

第一章 空间几何体

1.空间几何体的结构

（1）柱、锥、台、球的结构特征：

棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法 棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法

棱台：定义，基本元素（底面（上、下）、侧面、侧棱、顶点），表示方法 圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法 圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法 圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法 球：定义，基本元素（球心、半径（直径）），表示方法

（2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成

2.空间几何体的三视图和直观图

（1）中心投影与平行投影：投影，投影线，投影面；中心投影，平行投影 （2）空间几何体的三视图

三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下

画三视图的原则：长对正（正视、俯视有长）、高平齐（正视、侧视有高）、宽相等（侧视、俯视有宽）

（3）直观图：斜二测画法

平面图形斜二测画法

① 确定坐标系：xoy（xoy450） ② 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

③ 平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； 几何体斜二测画法：

一画轴 二画底面 三画侧棱 四成图 3. 空间几何体的表面积与体积 （1）空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 圆柱的表面积S2rl2r

2圆锥的表面积Srlr

2圆台的表面积S(R2r2Rlrl) 球的表面积S4R （2）空间几何体的体积

柱体的体积 VS底h

21S底h 31台体的体积 V（S上S上S下S下)h

343球体的体积 VR

3锥体的体积 V

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

1.空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面含义：平面是无限延展的 （2）平面的画法及表示

① 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45， 且横边画成邻边的2倍长（如图）

② 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 （3） 三个公理：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为：A∈L，B∈L， 且A∈α，B∈αl

0

D α

C

A B

A α ·

L 公理1作用：判断直线是否在平面内

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.空间中直线与直线之间的位置关系 （1）空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）

平行直线（同一平面内，没有公共点）

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 （2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b， c∥b a∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 （4）异面直线所成的角：已知异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，则a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

① a与b所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上或空间图形的特殊位置上；

α β · L P α · C ·

·

A B

② 两条异面直线所成的角(0,； 2③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 平行问题：

（1）直线与平面有三种位置关系：

直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示

aaAa//

（2）直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内

的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：a,b,且a//ba// （3）平面与平面平行的判定

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行

符号表示：a,b,abP,a//,b//// 判断两平面平行的方法有三种： ①用定义； ②判定定理；

③垂直于同一条直线的两个平面平行。 （4）直线与平面、平面与平面平行的性质

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行

符号表示：a//,a,ba//b 作用：利用该定理可判断直线的平行问题。 结论：a,b,a//b//

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简记为：面面平行，则线线平行。

符号表示：//,aa,ba//b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。

垂直问题：

α

a

b （5）直线与平面垂直

①定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：la,lb,a,b,abPl a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 重要结论：a//b,aba ③直线与平面所成的角：

如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，PO是平面的一条垂线，

l



P

P 

A O

O为垂足；则直线AO为斜线PA在平面内上的射影.

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 (6)平面与平面垂直 ①二面角（图形）

概念：从一直线出发的两个半平面所组成的图形(如图)，这条直线叫做二面角的棱（AB），两个半平面（,）叫做二面角的面 记法：二面角PABQ或PlQ或-l等

二面角的平面角：如图：在平面和内分别作垂直于棱l的射线



M O A P

l N B

Q

OM,ON,则射线OM和ON构成的MON叫做二面角的平面角

二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法

当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。 ②两个平面垂直：



定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 记作： 画法（略）

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图形（略） 符号：a,a 性质：

定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号：a,ba//b

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号：,l,a,ala

第三章 直线与方程

1.直线的倾斜角和斜率 ①直线的倾斜角的概念：

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. ②直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ③直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1x2；则直线PP12的斜率为k2.两条直线的平行与垂直

①两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意前提条件，若情况特殊则特殊判断

②两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21

注意前提条件，若情况特殊则特殊判断 3. 直线的方程

直线的点斜式方程：直线

y2y1

x2x1l经过点

P0(x0,y0)，且斜率为k的直线方程：

yy0k(xx0)

直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) （b为直线l在y轴上的截距），ykxb

直线的两点式方程：已知两点P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)线方程为：

x2,y1y2) ，则直

yy1xx1 y2y1x2x1直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，则直线方程为

xy1 ab直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程Ax注意：理解各种直线方程得推导过程 会对特殊情况进行分类讨论

各种直线方程之间的互化

4.直线的交点坐标与距离公式

两直线的交点坐标：联立方程组求解即可

ByC0（A，B不同时为0）

两点间的距离公式：若P，则PP121(x1,x2),P2(x2,y2)(x2x1)2(y2y1)2

点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：

dAx0By0CAB22

两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：

AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22

第四章 圆与方程

1. 圆的标准方程

（1）圆的标准方程：(xa)(yb)r圆心为A(a,b),半径为r；特别：xy1（单位圆）

（2）点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：

22222222(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外 (x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

(x0a)2(y0b)22.圆的一般方程

（1）圆的一般方程：x2y2DxEyF0

（2）圆的一般方程的特点：x和y2的系数相同，且不等于0，没有xy这样的二次项，D2E24F0

(3) 圆的一般方程与标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 3.直线与圆的位置关系 （1）d,r法：

当dr时，直线l与圆C相离；当dr时，直线l与圆C相切；当dr时，直线l与圆C相交。 （2）法：

当0时，直线l与圆C相交；当0时，直线l与圆C相切；当0时，直线l与圆C相离。

4. 圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离； （2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交； （4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切； （5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含。

5.直线与圆的方程的应用

（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（2）过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

2第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 6.空间直角坐标系

（1）空间直角坐标系：坐标原点，坐标轴，坐标平面；右手直角坐标系 （2）在空间直角坐标系中，任一点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，

xPORMQM'yx、

y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标；反之有序实数组(x,y,z)，对应着

空间直角坐标系中的一点。

（3）空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组

叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。 会建空间直角坐标系，会确定点的坐标 7.空间两点间的距离公式

空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

xN1OM1MM2HN2yNP1zP2P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2