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高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习

来源：知库网

高中数学求函数解析式解题方法大全

及配套练习

一、定义法：

根据函数的定义求解析式用定义法。【例1】设f(x1)x3x2，求f(x).

2f(x1)x23x2[(x1)1]23[(x1)1]2

=(x1)5(x1)6

2f(x)x25x6

【例2】设f[f(x)]x1，求f(x). x2x1x1x2x111111x解：设f[f(x)]f(x)1 1x

【例3】设f(x1111)x22,g(x)x33，求f[g(x)]. xxxx111)x22(x)22xxxf(x)x22

解：f(x又g(x1111)x33(x)33(x)xxxx322g(x)x33x

故f[g(x)](x3x)2x6x9x2

【例4】设f(cosx)cos17x,求f(sinx).

解：f(sinx)f[cos(x)]cos17(22x)

cos(817x)cos(17x)sin17x. 22第 1 页共 21 页

二、待定系数法：（主要用于二次函数）

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，

从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 【解析】设f(x)axb (a0)，则

f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb

a2a24a2　或　　  b3abb3b1f(x)2x1　　或　　f(x)2x3

【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.

解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①

f（x+1）= a(x1)+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ② 由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得

22abb2 解得 ab8

2a1, 故f（x）= x2+7x. b7.【例3】已知f(x2)2x9x13，求f(x).

解：显然，f(x)是一个一元二次函数。设f(x)axbxc222(a0)

则f(x2)a(x2)b(x2)c ax(b4a)x(4a2bc) 又f(x2)2x9x13

2a2a22比较系数得：b4a9 解得：b1f(x)2xx3

c34a2bc13

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三、换元（或代换）法：

已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

【例1】已知f(x1)x2x，求f(x1) 【解析】令tx1，则t1，x(t1)2

f(x1)x2x

f(t)(t1)22(t1)t21,

f(x)x21 (x1)

f(x1)(x1)21x22x (x0)

1xx211),求f(x). 【例2】已知f(xxx21xx211111x1)1 t,则x解：设则f(t)f(22xxxxt1xx1111(t1)2(t1)t2t1f(x)x2x1 121()t1t1

【例3】设f(cosx1)cosx，求f(x).

解：令tcosx1,cosxt1又

21cosx1,2cosx10即2t0

f(t)(t1)2,(2t0)即f(x)(x1)2,x[2,0]

【例4】若f(x)f(x1)1x x第 3 页共 21 页

（1）

x11x1x1x1x)f()1在（1）式中以代替x得f(

x1xxxx即f(（2）

又以（3）

x112x1)f() xx1x11x2)f(x)代替（1）式中的x得：f(

x1x1x1x22x1x3x21(1)(3)(2)得:2f(x)1xx1xx(x1)x3x21f(x)

2x(x1)

【例5】设f(x)满足af(x)bf()cx1x(其中a,b,c均不为0，且ab)，求f(x)。

解：af(x)bf()cx

1x（1）用

111来代替x，得af()bf(x)c xxx22acx2bc（2）由a(1)b(2)得:(ab)f(x)xab

acx2bc f(x)2(ab2)x【例6】已知f(a解：设tax1)x22，求f(x).

x10，则x1logat 即xlogat1

22代入已知等式中，得：f(t)(logat1)2logat2logat3

f(x)log2ax2logax3

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四、代入法：

求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

【例1】已知：函数yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式．

解：设M(x,y)为

2yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点．

xx4y6y 则

xx22yy32，解得：

，点

M(x,y)在

yg(x)上，

yx2x．

xx42把代入得：6y(x4)(x4)． y6y整理得

yx27x6， g(x)x27x6．

(五)配凑法

已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域．

【例1】：已知f(x1)x2x,求f(x)的解析式。

分析：

x2x可配凑成

可用配凑法

2解：由f(x1)x2x(x)1

令t

x1 x0

t12 则f(t)t1 即f(x)x1(x1)

2第 5 页共 21 页

当然，上例也可直接使用换元法令t则t得

x1 x1

x(t1)2f(t)(t1)2(t1)t1222即 f(x)x1(x1)

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：已知f(x)x1x21,求f(x). x2分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。解析：由f(x)x1x2112(x)2 2xx 令tx1x2tx10 x2 由0即t40得tR f(t)t2

即：f(x)x2(xR)

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

22(六)构造方程组法（消去法）。

若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方

程组求得函数解析式．

构造方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数f(x)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【例3】：设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)的解析式。

1x分析：要求f(x)可消去f(),为此，可根据题中的条件再找一个关于f(x)与f()的

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1x1x等式，通过解方程组达到消元的目的。

解析：

1f(x)2f()x………………………①

x1得 x 显然，x0,将x换成

f()2f(x)1x1……………………………..② x1f(x)2f()xx由

11f()2f(x)xx消去f()，得

1x12f(x)x

33x小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例4】已知f(a解：设tax1x11x)x22，求f(x).

0，则x1logat 即xlogat1

22代入已知等式中，得：f(t)(logat1)2logat2logat3

f(x)log2ax2logax3

1f()x；互为相反数，如小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、

f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例5】设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)解析式

【解析】f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

1,试求f(x)和g(x)的x1第 7 页共 21 页

f(x)f(x),g(x)g(x)

又f(x)g(x)1 ① ， x11 x1用x替换x得：f(x)g(x)即f(x)g(x)1② x1解① ②联立的方程组，得 f(x)

11g(x)，

x21x2x七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）

当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进

行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．

【例1】：设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对于任意正整数x,y，均有

f(x)f(y)f(xy)xy，求f(x).

解：由f(1)1，f(x)f(y)f(xy)xy 设y1得：f(x)1f(x1)x 即：f(x1)f(x)x1

在上式中，x分别用1,2,3,,t1代替，然后各式相加

可得：f(t)111(t2)(t1)1t2t 222f(x)121xx(xN) 22

【例2】设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y，有f（x

－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.

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分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到 f（x）函数解析式，只有令x = y.

解：令x = y ，由f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1）得

f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x2+x+1.

八．利用给定的特性求解析式.

【例1】．设f(x)是偶函数，当x＞0时， f(x)exe，求当x＜0时，f(x)的表达式.

练习．对x∈R， f(x)满足f(x)f(x1)，且当x∈[－1，0]时， f(x)x2x求当x∈[9，10]时f(x)的表达式.

22x

九、累加法：

累加法核心思想与求数列的通项公式相似。【例1】：若f(1)lg1，且当ax2时,满足f(x1)f(x)lgax1,(a0,xN)，求f(x).

解：f(x)f(x1)lgax1(a0,xN)

x2递推得：f(x1)f(x2)lga

f(x2)f(x3)lgax3

…… …… …… ……

f(3)f(2)lga2

f(2)f(1)lga

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以上(x1)个等式两边分别相加，得：

f(x)f(1)lgalga2lgax2lgax1 f(1)lga12(x2)(x1) 1lglgaax(x1)2lgax(x1)12

[

x(x1)1]lga 2十、归纳法：

【例1】：已知f(x1)21f(x),(xN)且f(1)a，求f(x). 2111f(1)2a42a 222解：f(1)a,f(2)2f(3)21111f(2)2(2a)4202a 22221111f(3)2(3a)4213a 224211111f(4)2(3a)4224a 22282f(4)2f(5)2………………………………，依此类推，得

f(x)423x12x1a

再用数学归纳法证明之。

【例2】：设f(x)

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x1，记fn(x)ff[f(x)]，求f2004(x). x1十一、递推法：

若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者

迭代等运算求得函数解析式。【例1】设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b 都有

f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)

【解析】f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN，

不妨令ax,b1，得：f(x)f(1)f(x1)x，

又f(1)1,故f(x1)f(x)x1 ① 分别令①式中的x1,2n1 得：

f(2)f(1)2,

f(3)f(2)3,f(n)f(n1)n,

将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，

f(n)123nn(n1) 2f(x)

121xx,xN 22十二、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

【例1】已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.

解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.

当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

22xx因此当x<0时，y=(x1)－1= x2 +2x.故（fx）=2

x2x2 x≥0， x＜0.

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评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

十三、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。【例1】. 已知函数解析：因为所以当

，

是R上的奇函数，当

的解析式。

是R上的奇函数，

，

所以

十四、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。【例1】. 已知函数解：因为

，

，求它的反函数。

反函数为

十五、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。【例1】. 对定义域分别是

的函数

，规定：函数

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若，写出函数的解析式。

十六、微积分法：

当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。【例1】：设f(sinx)cosx,22f(1)2，求f(x).

222解：f(sinx)cosx1sinxf(x)1x(|x|1)

因此f(x)f(x)d(1x)dxx11c2212xc2c3 2f(1)2f(x)x123x(|x|1) A、f(xT)f(x) B、2211 f(xT)或f(xT)f(x)f(x)

十七：坐标转换法

（x1）例7已知f(x)=log，当且仅当点 (x。，y。)在y= f(x)图像上时，

点(2x。，2y。)在y =g(x) 图像上，求函数g(x)的解析式. 解：设p(x, y)是函数y =g(x)图像上的任一点，由已知得点(

xy，) 22（x1）在函数y=loga的图像上.

即

xxy=loga,所以 y= 2loga ））（1（1222x. 1）2故所求函数g(x)的解析式是，g(x) = 2loga（点评：抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系，再利用已知点满足已知

函数，从而转换坐标，代入即可求得.

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其它相关题型

1、定义法

例 1．若 f ( x  1  x  2 x ) ,求 f(x)。

解： x  2 x  ( x  1)2  1

∴ f ( x  1)  ( x  1)2  1

x  1 ≥1

∴f(x)=x1 (x≥1)

2、配凑法

例 2、已知 f (x 1)  x2  2x ，求 f (x) ．解： f (x 1)  (x 1)2  2x 1 2x

 (x 1)2  4x 1

 (x 1)2  4(x 1)  3

∴

f (x)  x2  4x  3 ．

3、换元法

例 3、已知 f（

x  1

解：设 x t  1 t1 2

， ( )1

1 2= 1+ (t  1) +（t－1）= t2－t+1 ∴f（t）= t  1 1 1 ( )2 t  1 t  1

= t ，则 x=

x 2  1 1 ，求 f（x）的解析式.

）= 

2 x x x 1

（故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域

4、待定系数法

例 4、已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.

解：设二次函数 f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 f（x+1）= a (x  1)+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b 由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得

① ②

2a  b  b  2 



a  b 

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解得

a  1, b  7.

故 f（x）= x2+7x.

评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

5、直接图像法

例 5．函数在闭区间[1, 2] 上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。 y x 1(1  x  0) ．解： f (x)  1

 x(0  x  2)  2

1 1 0 2 x 1

6、方程组法

例 6、设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（）x =1 1 分，若用去代替已知中 x，便可得到另一 x析x x ：

个方程，联立方程组求解即可欲.

求1 （解：∵ f（x）+2 f（）= x （x≠0） ①fxx ，必须消去已知中的 f（1 1 1 ，求 f（x）函数解析式. 由代入得 2f（x）+f（）= （x≠0） ②

x x x

解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=

－ x

（x≠0）.

7、特殊值法

例 7、设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有 f（x－y）= f（x）－ y（分析：要 f（0）=1，x，y 是第 15 页共 21 页

f（x）函数解析式，只有令 x = y.

解：令 x = y ，由 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1）得 f（08、对称性图像法）即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式. =例8、已知是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=2x－x2，求 f（x）函数解析式. f（解：∵y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当x ）x因此当－ x<0 时，y= (x  1)2 －1= x2 +2x.故 f（x）= 2 x  x 2 ≥ 2

0x x  2 x

（时2，xf－（x，整理得 f（x）= x2x+x+1.

）=2x－x2

的顶点（1，它关于原点对称点（－1，，

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x≥0， x＜0 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化. 9、利用奇偶性法