同步练习卷
一．选择题（共26小题）
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
2．平行四边形具有的特征是（ ） A．四个角都是直角 C．对角线互相平分
B．对角线相等 D．四边相等
3．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16
B．14
C．26
D．24
4．如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12、BD＝10、AB＝m，那么m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜11
B．2＜m＜22
C．10＜m＜12
D．5＜m＜6
5．如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
7．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（ ）
A．AE＝CF
B．BE＝DF
C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD
8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG＝4
，则△CEF的面积是（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中能画平行四边形的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
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B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
11．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AD＝BC
B．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD D．AB＝CD，AO＝CO
12．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 13．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
14．在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有 （ ） A．3
B．4
C．5
D．6
15．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②
B．①，④
C．③，④ D．②，③
16．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
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A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180° D．∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180° 17．下列说法不正确的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16
B．20
C．18
D．22
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（ ）
A．4次
B．3次
C．2次
D．1次
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6
B．12
C．20
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D．24
21．如图，▱ABCD的对角线AC上有一点P，过P点作HG∥AB，过P点作MN∥AD，图中面积相等的平行四边形有几对？（ ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
22．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP
BE（点P、E在直线AB的同
侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．下列说法中错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
24．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能确定
25．如图平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH与EF线交于点O，图中共有平行四边形的个数是（ ）
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A．6
B．7
C．8
D．9
26．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm，则S△DGF的值为（ ）
2
A．4cm
2
B．6cm
2
C．8cm
2
D．9cm
2
二．填空题（共13小题）
27．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm，S△BQC＝25cm，则图中阴影部分的面积为 cm．
2
2
2
28．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 个平行四边形．
29．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ ．
30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以
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P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 次．
31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
32．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
33．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝
，则AB的长是 ．
34．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ．
35．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝
，∠BAC＝105°，△ABD、△ACE、△BCF都是
等边三角形，则四边形AEFD的面积为 ．
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36．如图，在10个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是网格的一个顶点，以点P为顶点作格点平行四边形（即顶点均在格点上的四边形），请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长 ．
37．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014＝ ．
38．如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF＝ ．
39．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是 ．
三．解答题（共1小题）
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40．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ． （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
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人教新版八年级下学期《18.1 平行四边形》2019年同步
练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF＝FC，那么由△ABF的周长为6可得AB+BC＝6，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC，DC＝AB，进而可得答案． 【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F， ∴AF＝CF，
∵△ABF的周长为6，
∴AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC＝AB，
∴▱ABCD的周长为2（AB+BC）＝12． 故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等． 2．平行四边形具有的特征是（ ） A．四个角都是直角 C．对角线互相平分
【分析】根据平行四边形的性质即可判断． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分． 故选：C．
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B．对角线相等 D．四边相等
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考常考题型．
3．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16
B．14
C．26
D．24
【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝8， ∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26． 故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CED是等腰三角形是解此题的关键．
4．如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12、BD＝10、AB＝m，那么m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜11
B．2＜m＜22
C．10＜m＜12
D．5＜m＜6
【分析】在平行四边形中，对角线互相平分，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，则可得OA＝AC，OB＝BD，
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在△AOB中，由三角形三边关系可得OA﹣OB＜AB＜OA+OB， 即6﹣5＜m＜6+5，1＜m＜11． 故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，关键是根据在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】由平行四边形的性质得出DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出△CDE的周长＝AD+DC，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝6+4＝10； 故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
【分析】根据平行四边形的周长求出BC+CD＝20，再根据平行四边形的面积求出BC＝
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CD，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 【解答】解：∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40， ∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6， ∴S▱ABCD＝4BC＝6CD， 整理得，BC＝CD②， 联立①②解得，CD＝8，
∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48． 故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键．
7．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（ ）
A．AE＝CF
B．BE＝DF
C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，然后由AE＝CF，∠EBF＝∠FDE，∠BED＝∠BFD均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE∥DF，利用排除法即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， A、∵AE＝CF， ∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF； B、∵BE＝DF，
∴四边形BFDE是等腰梯形， ∴本选项不一定能判定BE∥DF；
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C、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF＝180°，∠EDF+∠BFD＝180°， ∵∠EBF＝∠FDE， ∴∠BED＝∠BFD，
∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF； D、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF＝180°，∠EDF+∠BFD＝180°， ∵∠BED＝∠BFD， ∴∠EBF＝∠FDE，
∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF． 故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键．
8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG＝4
，则△CEF的面积是（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE＝∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE＝∠BEA，等量代换后可证得AB＝BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE＝2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE， ∴AB＝BE＝6， ∵BG⊥AE，垂足为G， ∴AE＝2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6，BG＝4∴AG═2， ∴AE＝2AG＝4；
∴S△ABE＝AE•BG＝×4×4∵BE＝6，BC＝AD＝9， ∴CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3， ∴BE：CE＝6：3＝2：1． ∵AB∥FC， ∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE：S△CEF＝（BE：CE）＝4：1， 则S△CEF＝S△ABE＝2故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中． 9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中能画平行四边形的个数是（ ）
．
2
，
＝8．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
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【解答】解：∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点， ∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形． 故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
10．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形． 故选：C．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
11．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AD＝BC
B．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD D．AB＝CD，AO＝CO
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【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案． 【解答】解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；
B、根据AB∥CD可得：∠ABC+∠BCD＝180°，∠BAD+∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠BCD可得：∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；
D、AB＝CD，AO＝CO不能证明四边形ABCD是平行四边形． 故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
12．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解答】解：根据平行四边形的判定，B、D、C均符合是平行四边形的条件，A则不能判定是平行四边形． 故选：A．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边
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平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 13．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误； 故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有 （ ） A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定进行逐一验证即可．
【解答】解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．故选B．
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【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②
B．①，④
C．③，④ D．②，③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 16．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180° D．∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°
【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．
【解答】解：（A）∠A＝∠C，∠B＝∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B＝180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；
（B）∠A＝∠B＝∠C＝90°，则∠D＝90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故B选项正确；
（C）∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；
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（D）∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项错误． 故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的多种判定方法，考查了矩形的判定，本题中根据不同方法判定平行四边形是解题的关键． 17．下列说法不正确的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等
【分析】根据平行四边形的判定定理与性质进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；
B、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确； C、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；
D、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确； 故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质． 平行四边形的五种判定方法分别是：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（ ）
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A．16
B．20
C．18
D．22
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中， ∵AC＝6，AB＝8， ∴BC＝10， ∵E是BC的中点， ∴AE＝BE＝5， ∴∠BAE＝∠B， ∵∠FDA＝∠B， ∴∠FDA＝∠BAE， ∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC＝3 ∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长＝2×（3+5）＝16． 故选：A．
【点评】熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（ ）
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A．4次
B．3次
C．2次
D．1次
【分析】易得两点运动的时间为12s，PD＝BQ，那么以P、D、Q、B四点组成平行四边形，列式可求得一次组成平行四边形，算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝12，AD∥BC， ∵四边形PDQB是平行四边形， ∴PD＝BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1＝12s， ∴Q运动的路程为12×4＝48cm， ∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次．
第一次PD＝QB时，12﹣t＝12﹣4t，解得t＝0，不合题意，舍去； 第二次PD＝QB时，Q从B到C的过程中，12﹣t＝4t﹣12，解得t＝4.8； 第三次PD＝QB时，Q运动一个来回后从C到B，12﹣t＝36﹣4t，解得t＝8； 第四次PD＝QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12﹣t＝4t﹣36，解得t＝9.6． ∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次， 故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和平行线的性质．解决本题的关键是理解以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数就是Q在BC上往返运动的次数．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6
B．12
C．20
D．24
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
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【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得 CE＝
＝
＝5．
∵BE＝DE＝3，AE＝CE＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24， 故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式． 21．如图，▱ABCD的对角线AC上有一点P，过P点作HG∥AB，过P点作MN∥AD，图中面积相等的平行四边形有几对？（ ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【分析】由▱ABCD的对角线AC上有一点P，过P点作HG∥AB，过P点作MN∥AD，易得四边形AMPG，四边形CNPH，四边形BHPM，四边形PNDG，四边形AMND，四边形BCNM，四边形ABHG，四边形CDGH是平行四边形，即可得S△ABC＝S△ADC，S△APM＝S△APG，S△CPH＝S△CPN，继而可证得S▱BHPM＝S▱PNDG，S▱ABGH＝S▱ADNM，S▱BCNM＝S▱CDGH．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵HG∥AB，MN∥AD，
∴AB∥HG∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AMPG，四边形CNPH，四边形BHPM，四边形PNDG，四边形AMND，四边形BCNM，四边形ABHG，四边形CDGH是平行四边形， ∴S△ABC＝S△ADC，S△APM＝S△APG，S△CPH＝S△CPN， ∴S▱BHPM＝S▱PNDG，
∴S▱ABGH＝S▱ADNM，S▱BCNM＝S▱CDGH， 即图中面积相等的平行四边形有3对．
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故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP
BE（点P、E在直线AB的同
侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD＝a，则AB＝4a，可求得BH＝PF＝3a，又由S△HBC＝S△PBC，S△HBC：S△ABC＝BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．
【解答】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF， ∵AP
BE，
∴四边形APEB是平行四边形， ∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形， ∴EF∥BD，EF＝BD， 即EF∥AB， ∴P，E，F共线， 设BD＝a， ∵BD＝AB， ∴PE＝AB＝4a， 则PF＝PE﹣EF＝3a， ∵PH∥BC，
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∴S△HBC＝S△PBC， ∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形， ∴BH＝PF＝3a，
∵S△HBC：S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4， ∴S△PBC：S△ABC＝3：4． 故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比． 23．下列说法中错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的性质即可判断A；根据图形和已知不能推出另一组对边也平行，即可判断B；根据平行四边形的判定判断即可；根据平行线性质和已知推出AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．
【解答】解：A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；
B、
∠A+∠D＝180°，同时∠B+∠C＝180°，只能推出AB∥CD，不一定是平行四边形，故本选项正确；
C、AC于BD交于O，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
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D、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； 故选：B．
【点评】本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目． 24．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能确定
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、HPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，相减即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB， ∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等， ∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等， 即S1＝S2．
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故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 25．如图平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH与EF线交于点O，图中共有平行四边形的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，掌握一定的方法，逐一记数．
【解答】解：根据平行四边形的定义，图中的四边形AEOG，AEFD，AGHB，CHOF，CHGD，CBEF，BHOE，DGOF和ABCD都是平行四边形，共9个．故选D． 【点评】本题可根据平行四变形的定义，直接从图中输出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
26．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm，则S△DGF的值为（ ）
2
A．4cm
2
B．6cm
2
C．8cm
2
D．9cm
2
【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF＝∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG＝FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH＝S
△DGF
，再求出FC＝3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面
第27页（共41页）
积的比，从而得解．
【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH， ∵E是AC的中点， ∴EH是△ACG的中位线， ∴EH∥AD， ∴∠GDF＝∠HEF， ∵F是DE的中点， ∴DF＝EF，
在△DFG和△EFH中，∴△DFG≌△EFH（ASA）， ∴FG＝FH，S△EFH＝S△DGF，
又∵FC＝FH+HC＝FH+GH＝FH+FG+FH＝3FH， ∴S△CEF＝3S△EFH， ∴S△CEF＝3S△DGF，
∴S△DGF＝×12＝4（cm）． 故选：A．
2
，
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键． 二．填空题（共13小题）
27．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm，S△BQC＝25cm，则图中阴影部分的面积为 41 cm．
2
2
2
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【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCQ，S△EFD＝S
△ADF
，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S．
△BQC
【解答】解：连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝16cm，S△BQC＝25cm， ∴S四边形EPFQ＝41cm， 故答案为：41．
22
2
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
28．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 15 个平行四边形．
【分析】根据全等三角形的性质及平行四边形的判定，可找出现15个平行四边形． 【解答】解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这
第29页（共41页）
样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形． 故答案为：15．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况和读图能力，注意找图过程中，要做到不重不漏．
29．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ 4或﹣2 ．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值． 【解答】解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1）， 则x＝4或﹣2； 故答案为：4或﹣2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 3 次．
【分析】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
第30页（共41页）
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t， 此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t， 解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t， 解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意． ∴共3次． 故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 12 ．
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF＝CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD＝2S△ABD，又因为BD＝DC，所以S△ABC＝2S△
ABD，所以
S四边形AFBD＝S△ABC，从而求出答案．
第31页（共41页）
【解答】解：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD， 在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）． ∴AF＝DC， ∵BD＝DC， ∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形， ∴S四边形AFBD＝2S△ABD， 又∵BD＝DC， ∴S△ABC＝2S△ABD， ∴S四边形AFBD＝S△ABC，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6， ∴S△ABC＝AB•AC＝×4×6＝12， ∴S四边形AFBD＝12． 故答案为：12
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
32．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∵AE∥BD，
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∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE＝CD， 即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°， ∴∠CEF＝30°， ∵EF＝3， ∴CE＝∴AB＝
，
． ＝2
，
故答案为：
【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．
33．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝
，则AB的长是 1 ．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE＝DC＝AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE＝CD， 即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°，
第33页（共41页）
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°， ∴∠CEF＝30°， ∵EF＝∴CE＝∴AB＝1， 故答案为：1．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
34．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
，
＝2，
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案． 【解答】解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°，AE＝AC， ∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC， ∵F为AB的中点， ∴AB＝2AF， ∴BC＝AF， ∴△ABC≌△EFA， ∴FE＝AB，
第34页（共41页）
∴∠AEF＝∠BAC＝30°， ∴EF⊥AC，故①正确，
（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）， ∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°， ∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°， ∴∠DFB＝∠EAF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝30°， ∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确． ∴AE＝DF， ∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确； ∴AG＝AF， ∴AG＝AB， ∵AD＝AB， 则AD＝AG，故③， 故答案为①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 35．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝
，∠BAC＝105°，△ABD、△ACE、△BCF都是
等边三角形，则四边形AEFD的面积为 2 ．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平
第35页（共41页）
行四边形，求出∠DAE＝135°，故易求∠FDA＝45°，所以由平行四边形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∵∠BAC＝105°， ∴∠DAE＝135°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC． 在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝
，
同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB＝EF＝AD＝2，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝45°， ∴S▱AEFD＝AD•（DF•sin45°）＝2×（即四边形AEFD的面积是2， 故答案为：2．
【点评】本题综合考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．综合性比较强，难度较大，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力．
36．如图，在10个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是网格的一个顶点，以点P为顶点作格点平行四边形（即顶点均在格点上的四边形），请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长 1或或或2或3 ．
×
）＝2．
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【分析】首先确定以P为顶点的平行四边形有哪几个，然后根据勾股定理即可求得对角线的长．
【解答】解：平行四边形有：PABD，PACE，PMND，PMQE，APMD，APNE，PQGA，PMEB和PCGM．
平行四四边形PABD，平行四边形PMND对角线长是1和平行四边形PACE和PMQE的对角线长是：
和
；
；
平行四边形APNE和PMEB的对角线长是2和2； 平行四边形PQGA和PCGM的对角线长是3和故答案为：1或
或
或2或3．
．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，正确找出以P为顶点的平行四边形有哪几个是解题关键．
37．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014＝
×
．
【分析】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2014的值． 【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴△ABC的高＝
，
∵DE、EF是△ABC的中位线， ∴AF＝， ∴S1＝
＝；
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同理可得，S2＝… ∴Sn＝∴S2014＝故答案是：
×××
×；
；
． ．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
38．如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF＝ 8 ．
【分析】作辅助线，根据平行四边形的判定和性质及等边三角形的性质，可证PD+PE+PF＝AB＝8．
【解答】解：过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF， ∵PD∥AC，PE∥AD， ∴PD∥GE，PE∥DG， ∴四边形DGEP为平行四边形， ∴EG＝DP，PE＝GD，
又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC， △BEG为等边三角形， ∴EG＝PD＝GB， 同理可证：DH＝PF＝AD，
∴PD+PE+PF＝BG+GD+AD＝AB＝8．
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【点评】此题主要考查平行四边形的判定和性质及等边三角形的性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
39．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是 4+4 ．
【分析】连接EF，点E、F分别是边BC、AD边的中点，可知BE＝AF＝AB＝4，可证四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可知AE⊥BF，且AE与BF互相平分，∠ABC＝60°，△ABE为等边三角形，ME＝AE＝AB＝2，EF＝4，由勾股定理求MF，根据菱形的性质可证四边形MENF为矩形，再求四边形ENFM的周长． 【解答】解：连接EF，
∵点E、F分别是边BC、AD边的中点， ∴BE＝AF＝AB＝4， 又AF∥BE，
∴四边形ABEF为菱形，由菱形的性质，得AE⊥BF，且AE与BF互相平分， ∵∠ABC＝60°，∴△ABE为等边三角形，ME＝AE＝AB＝2，EF＝4， 在Rt△MEF中，由勾股定理，得MF＝由菱形的性质，可知四边形MENF为矩形， ∴四边形ENFM的周长＝2（ME+MF）＝4+4故答案为：4+4
．
． ＝
＝2
，
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【点评】本题考查了平行四边形的判断与性质，菱形的判断与性质，特殊三角形的判定．关键是把问题转化到直角三角形中求解． 三．解答题（共1小题）
40．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ． （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可． 【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t． ∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形； （3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∵AD＝12cm，BC＝15cm， ∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
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如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即：12﹣t＝2t， 解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
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