2014年高三数学一轮复习十一 正弦定理和余弦定理

【考试要求】

1．考查正、余弦定理的推导过程．

2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【基础梳理】 1．正弦定理： 2．余弦定理： 111abc1

3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三

2224R2角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 【双基自测】

1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )． 106

A．52 B．102 C. D．56

3

sin Acos B

2．在△ABC中，若＝，则B的值为( )．

abA．30° B．45° C．60° D．90°

3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°

1

4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为( )．

3

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A．33 B．23 C．43 D.3

5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________． 考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.

π

【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a

4＝________.

考向二 利用余弦定理解三角形

cos Bb

【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

cos C2a＋c(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，A

c，且2cos2 ＋cos A＝0.

2(1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积． 考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状． abc

【训练3】 在△ABC中，若＝＝；则△ABC是( )．

cos Acos Bcos CA．直角三角形 C．钝角三角形

考向四 正、余弦定理的综合应用

π

【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且4

cos B＝，b＝2.

5

(1)当A＝30°时，求a的值；

(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

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