重庆市万州高级中学 2019-2020 学年度高二（上）期末模拟测试
数学（理工农医类）试题卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 只有一项为哪一项切合题目要求的。
5 分，共 60 分。在每题给出的四个备选项中，
1. 设会合 M={x|x>2} ，P={x|x< 3}, 那么“ x∈M 或 x∈P”是“ x∈M∩P”的（
▲ ）
A. 充足不用要条件 B. 必需不充足条件
π
C. 充要条件 D. 既不充足也不用要条件
2. 已知命题 p ：
x∈(0 ，
) ，使得 cos x≥ x，则该命题的否认 是（▲）
．． 2
π
π
A． C．
x∈(0 ， 2 ) ，使得 cos x>x x∈(0 ，
B． D．
x∈(0 ， 2 ) ，使得 cos x≥ x x∈(0 ，
π 2
) ，使得 cos x ) ，使得 cos x （ ▲ ） A． 90 cm2 B ． 129 cm 2 C． 132 cm 2 D ． 138 cm 2 4. 假如椭圆 x2 81 y 2 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 25 F1 的距离为 2， N 是 MF 1 的中点， O 是坐标原点 , 则线段 ON 的长为（ ▲ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 3 2 5. 曲线 y＝ 1＋ 4－ x2与直线 y＝ k( x－ 2) ＋ 4 有两个交点， 则实数 k 的取值范围是 ( ▲ ) 5 5 1 3 5 3 A． (0 ， 12) B ． ( 12，＋∞ ) C ． (3，4] D ． ( 12，4] 6. 已知两定点 F1 ( 1,0) 、 F2 (1,0) , 差中项，则动点 P 是平面内一动点，且知足 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等 P 的轨迹方程是（ ▲ ） 1 B. 2 xA. 16 y2 9 x2 16 y2 1 12 C. x2 4 y 2 1 D. 3 x2 y2 3 4 1 7. 如下图， 在平行六面体 → → ＋xAB＋ yAD，则 ( ▲ ) 1 1 ABCD－ A1B1C1D1 中，点 E 为上底面对角线 → → A1C1 的中点， 若 BE＝ AA1 1 1 A． x＝－ 2， y＝ 2 B ． x＝ 2， y＝－ 2 C． x＝－ ， y＝－ 1 D ． x＝ ， y＝ 1 2 2 2 2 11 8. 已知 P 是椭圆 x2 25 y2 1上的点， F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点， 若 9 PF1? PF2 1 ， PF1 PF2 2 则 PF1F2 的面积为（ ▲ ） A．3 3 B． 3 C．2 3 D． 3 3 0)的曲线在同一坐标系中的表示图应（ 9. 方程 mx ny 2 0 与 mx2 ny2 1 (m n ▲ ） A B 2 C D 10. 已知抛物线 y 2px ( p 0) 的焦点 F 为双曲线 x2 a 2 y2 1(a b2 ▲ ） 0, b 0) 的一个焦点， 经过两曲线交点的直线恰过点 A. 1 F ，则该双曲线的离心率为（ 1 2 C. 2 B. 3 D. 1 3 11. 四周体 ABCD 中， CBD 900 , AB 面BCD ，点 E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中点， O 的平面将四周体 ▲ ） ． 过点 E 、 F 和四周体 ABCD 的外接球球心 部分的体积与四周体 A ． ABCD 分红两部分，则较小 1 ABCD 的体积之比为（ B ． 3 C 1 D ． 27 8 16 4 64 12. 已知点 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2 y2 3 1的左焦点，点 P 、Q在椭圆上，点 P 、 uuur uuur Q、R知足 OF PQ A ． 6 B uuur r 0, QR 2PQ 0，则 3 PF uuur OR 的最大值为（ ▲ ） 3 2 D ．333 ． 3(1+ 2+ 3) C ． 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡相应地点上。 13．一块石材表示的几何体的三视图如下图，将该石材切削、 打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于 14. 正四棱柱 ABCD ▲ . A1B1C1 D1 中， AB 2 ， AA1 1，点 E 是 B1C1 的中点 , 则异面直线 AC1 与 BE 所成角的大小为 ▲ . 15. 点 F 为双曲线 C : x2y2 1( a 0,b 0) 的右焦点，以 a2 b2 的两渐近线分别交 O ，且与双曲线 C 于 A 、 B 两点，若四边形 OAFB 是菱形，则双曲线 C 的离心率为 F 为圆心的圆过坐标原点 ▲ . 16.设F 为抛物线 C : y2 12 x 的焦点，过抛物线 ▲ . C 外一点 A 作抛物线 C 的切线，切点为 B .若 AFB 900, 则点 A的轨迹方程为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 已知 p : 方程 x2 mx 1 0 有两个不相等的负实根； q :方程 4x2 4( m 2) x 1 0 无实 根，若 \" p q \" 为真， \" p q \" 为假，求 m 的取值范围 . 18．（本小题满分 12 分） 已知圆 C：x2＋ y2－ 4x－ 14y＋ 45＝0 及点 Q( － 2， 3) ， ( Ⅰ)若点 P ( m， m ＋ 1) 在圆 C上，求 PQ的斜率； ( Ⅱ)若点 M是C上随意一点， 圆 求 2 2 | MQ|的最大值、最小值； b － 3 (III) 若 N( a，b) 知足关系： a ＋ b － 4a－ 14b＋ 45＝ 0， 求出 t ＝ a＋ 2的最大值． 19．（本小题满分 12 分） 如下图，在四周体 且 BC＝ CD＝ 1. ABCD中， AB、 BC、 CD两两相互垂直， ( Ⅰ)求证：平面 ACD⊥平面 ABC； ( Ⅱ)求二面角 C－ AB－D的大小； (III) 若直线 BD与平面 ACD所成的角为 30°，求线段 AB的长度． 20．（本小题满分 12 分） 已知点 A 4,8 对于直线 l1 : x y 4 的对称点 B 在抛物线 C : y2 ( Ⅰ)求抛物线 C 的方程； ( Ⅱ)直线 l 2 与 x 轴交于点 2 px p 0 的准线上 . D ，与抛物线 C 交于 E、F 两点． 能否存在定点 D ，使得 1 1 DE 2 由． DF 2 为定值？若存在，请指出点 D 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理 21．（本小题满分 12 分） 如图，在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中， A1 D D1 C1 B1 G C B A AB 4 ， AD 3， AA1 5 ， BAD 90 ， ( Ⅰ)求 AC1 的长； ( Ⅱ)设直线 AC1与平面 A1DB 交于点 G ， 求证： AG BAA1 DAA1 60 . 1 AC1. 2 3 22．（本小题满分 10 分） 已知椭圆 C1 : x2 2 y2 2 1(a b 0) 和 椭圆 C2 : x2 2 y 1的离心率同样，且点（ 2 ，1） 在椭圆 C 上． 1 a b ( Ⅰ)求椭圆 C1 的方程； ( Ⅱ)设 P 为椭圆 C2 上一点， 过点 P作直线交椭圆 C1 于 A、C两点， 且 P 恰为弦 AC的中点． 求 证：不论点 P 如何变化，△ AOC 的面积为常数，并求出此常数。 重庆市万州高级中学 2019-2020 学年度高二（上）期末模拟测试 数学（ 理工农医类 ）参照答案 一、选择题 : 题号 答案 1 B 2 D 3 4 C 5 D 6 C 7 A 8 A 9 10 AB 11 A 12 D C 二、填空题 : 13．2 14 ． 4 15． 2 16． x 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 m2 m 0 2 4 0 17．解 : 若 p 真，则 解得： m 2 若 q 真，则 由于 \" p 16( m2 4m 4) 16 0 解得： 1 m 3 q\" 为真， \" p q\" 为假，则 p 与 q 一真一假 若 p 真， q 假：则 m 2 故 m 3 m 1或 m 3 若 p 假 ， q 真 ， 则 m 2 1 m 3 故 1 m 2 所 以 m 的 取 值 范 围 是 { m |1 m 2或 m 3} 18. 解： 圆 C：x2＋ y2－ 4x－ 14y＋ 45＝ 0 可化为 ( x－ 2) 2＋( y－ 7) 2＝ 8. 2 2 (1) 点 P( m， m＋1) 在圆 C上，因此 m＋ ( m＋ 1) －4m－ 14( m＋ 1) ＋ 45＝ 0，解得 m＝ 4， 5－ 3 1 PQ的斜率是 k； 故点 P(4,5) ．因此PQ＝4＋ 2＝ 3 (2) 如图，点 M是圆 C上随意一点， Q( － 2,3) 在圆外，因此 | MQ|的最大值、最小值分别是 | QC| ＋r ， | QC|－ r . 易求 | QC| ＝ 4 2， r ＝ 2 2， 因此 | MQ|max＝ 6 2，| MQ|min＝ 2 2. (3) 点 N在圆 C： x2＋ y2－ 4x－14y＋ 45＝0 上， b－3 t ＝ a＋2表示的是定点 Q( － 2,3) 与圆上的动点 N连线 l 的斜率． 设 l 的方程为 y－ 3＝ k( x＋ 2) ，即 kx－ y＋ 2k＋ 3＝ 0. |2 k－ 7＋ 2k＋ 3| 当直线和圆相切时， d＝ r ，即 k2＋ 1 ＝ 2 2，解得 k＝2± 3. b－ 3 因此 t ＝ a＋ 2的最大值为 2＋ 3. 19．解： 解法一： (1) ∵ ⊥ ， ⊥ ， CD AB CD BC ∴ CD⊥平面 ABC. 又∵ CD? 平面 ACD，∴平面 ACD⊥平面 ABC. (2) ∵ AB⊥ BC， AB⊥ CD，∴ AB⊥平面 BCD，∴ AB⊥ BD. ∴∠ CBD是二面角 C－ AB－ D的平面角． ∵在 Rt△ BCD中， BC＝ CD，∴∠ CBD＝45°. ∴二面角 C－ AB－ D的大小为 45°. (3) 过点 B 作 BH⊥ AC，垂足为 H，连结 DH. ∵平面 ACD⊥平面 ABC ，∴ BH⊥平面 ACD ， ∴∠ BDHBD与平 ACD所成的角．∴∠ BDH＝30°. 为 面 在 Rt△ BHD中， BD2，∴ BH＝ 2 ＝ 2. 又∵在 Rt△ BHC中， BC＝1， ∴∠ BCH ＝45 °，∴在 Rt△ ABC中， AB＝ 1. 解法二： (1) 同解法一． (2) 设 AB＝a，成立如下图的空间直角坐标系 B－xyz ，则 B(0,0,0) 、A(0,0 ，a) 、C(0,1,0) 、 → → D(1,1,0) ，BD＝ (1,1,0) 、BA＝ (0,0 ，a) ．平面→ ABC的法向 量CD＝ (1,0,0) ，设平面 ABD的一 个法向量为 n＝ ( x， y， z) ， →→ ＝ ＋ ＝0，· ＝ ＝0， 则有 · BD n x y BA n az ∴ z＝ 0，取 y＝1，则 x＝－ 1，∴ n＝( － 1,1,0) ． → → CD· n 2 ∴cos〈 CD， n〉＝ | → || | ＝－ 2 ，由图可知二面角 C－ AB－D 为锐角，∴二面角 C－ － 的大小为 45°.CD n AB →D → → (3) AC＝ (0,1 ，－ a) 、CD＝ (1,0,0) 、 BD＝(1,1,0) ． → → 设平面 ACD的一个法向量是 m＝( x′， y′， z′) ，则 AC· m＝ y′－ az′＝ 0，CD· m＝ x′＝0， 令 z′＝ 1，∴ y′＝ a，则 m＝ (0 ，a, 1) ． ∵直线 BD与平面 ACD所成角为 →→ 30°，∴cos〈 BD，m〉＝ BD· m a ＝cos60°， → ＝ 2 | BD|| m| a ＋ 1· 2 解得 a＝ 1，∴ AB＝ 1. n 8 1 20．解： ⑴设 B m,n , 则 m 4 m 4 n 8 2 4 2 m 4, n 0, p 4, p 8 , 因此抛物线 C 的方程为 y2 16 x . 2 ⑵设 E x , y , F x , y , l : x sy t 1 1 2 2 2 由x sy t 2 得y2 16sy 16t 0. 16s 64t 0 , y2 16x 1 1 1 2 1 1 1 2 DE 2 DF 2 x1 t y12 x2 t y22 s2 1 y12 s2 1 y22 2 y1 y2 2 y1 y2 8s2 t 1 t 8 s2 1 y12 y22 8t2 s2 1 t 2 8t 2 s2 1 因此 t 8 时 , 存在定点 D 8,0 , 使得 1 2 2 uuur DE1= 1 . DF 64 uuuur uuur uuur 21．解 : （1）Q AC1 AB AD AA1 uuuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC1 AB AD AA1 2AB AD 2 AB AA1 2AD AA185 ， uuuur AC1 85 （ 2）第一，由 A,G ,C1 三点共线知，存在 R ， uuur 使得 uuur AG uuuur AC1 uuur uuur uuur ( AB AD AA1) AB uuur AD uuur AA1 其次，由 B, D , A1 ,G 四点共面知，存在 x, y, z R ， 使得 uuur AG uuur uuur uuur xAB yAD zAA1 ，且 x y z 1 由空间向量基本定理可得 x 1 b y z ， 1 3 ， uuur AG 1 uuuur AC1 3 2 ， 22. 解：（Ⅰ）由题知， 2 2 2 1 且 c a 2 2 即 a 2 4, b 2 椭圆 C1 的方程为 x2 4 y 2 2 1 ； a （Ⅱ）当直线 1 AC 的斜率不存在时，必有 P( 2,0) ，此时 | AC | 2，S AOC ) ，则 AC：y y 0 2 0 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 与椭圆 C 联立，得 (1 k 、点 P(x , y 0 0 0 0 k( x x ) 0 2k 2 ) x2 4k ( y kx ) x 2( y 2kx ) 4 0 ， 0 设 A( x1 , y1), C( x2, y2 ) ， 则 x0 x1 x2 2k( y0 kx0 ) 又 x0 2 2 y02 2 1 2k y0 2 即 x0 2ky0 2 1 2 1 2k2 2 1 S AOC | y0 kx0 | 1 k 2 16k 2 ( y0 kx0 ) 2 4(1 2k2 )[ 2( y0 kx0 )2 4] 2 1 k 1 2k 2 | y0 kx0 | 2 2(1 2k 2 ) ( y0 kx0 )2 1 2k 2 (1 2k 2 ) | y0 | 2(1 2k 2 ) (1 2k2 )2 y0 2 2 1 2k 2 2 | y0 | 1 2k 2 综上，不论 P 如何变化， 2 AOC 的面积为常数 2 ． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容