ds3

隐函数的特点是变量y与x的函数关系是隐藏在方程中的，当一个隐函数显化比较困难或不能显化时，可用隐函数的求导法则来求导.

设函数yf(x)是由方程Fx,y0确定的可导函数，则其导数

ddxFx,y0求得，具体求法可分两步：

dydx可以由方程

第一步：将方程Fx,y0两边对自变量x求导，视y为中间变量，得到一个关于y的一次方程；

第二步：解方程，求出y.

例如：求由方程cosxyex所确定的隐函数y的导数.

y解：方程两边同时对x求导，得

sinxy1yey1,

yy即 , esinxyy1sinxy故 y1sinxyesinxyy.

② 对数求导法

设yf(x)，等式两边取自然对数有lnylnf(x)，然后两边再同时对x求导得1yylnfx，等式两边同乘以y即得yylnfx.

例如：求函数yxcosxx0的导数.

解：等式两边取对数得： lnycosx ， ln1ycoxsx上式两边对x求导有： ysinxlnx ，

两边同乘以y得： yysinxlnxcosxcosxxxcosxsinxlnx.

xvxlnux一般地，若yuxyevxlnuxvxux0,ux1ye，

uxvxlnuxvx

uxuxvxuxvxlnuxvx .

ux[注意]

· 隐函数求导法与对数求导法是两种特殊的求导方法.隐函数求导法适用于

由方程所确定的函数不能显化或显化较困难时的一种特殊求导方法.对数求导法适用于对幂指函数xx或形如ynx或ygxffxgxhx等含乘、除、乘

方、开方较多的函数的求导，利用对数求导的方法，可把对幂指函数的求导化为对隐函数的求导，把对乘积的求导化为和的求导，把对商的求导化为差的求导.在用隐函数求导法和对数求导法时，一定要注意此时y是x的函数，要运用复合函数求导法则，不要遗漏.

· 在学完了偏导数之后，在求Fx,y0确定的隐函数yy(x)的导数时，

Fxx,yFyx,y也可以按公式y解之.

· 利用一阶微分形式的不变性，对等式 Fx,y0两边求微分，然后解出

dydx，也可求出由Fx,y0确定的隐函数的导数

dydx.