对数及对数函数

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二章 函数、导数及其应用 2.6对数函数 【高考新动向】 一、考纲点击 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y=ax与对数函数

ylogax互为反函数（a0,且a1）

二、热点提示

（1）对数的运算及对数函数的图象、性质是高考考查的重点，主要考查利用对数函数的图象与性质比较函数值大小、求定义域、值域、单调区间、最值及研究零点、奇偶性等问题，同时考查分类讨论、数形结合、转化与化归思想.

（2）常与方程、不等式等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.

（3）预测2013年高考仍将以对数函数的图象与性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力.

【考纲全景透析】 1、对数的概念 （1）对数的定义

xloga如果aN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作，其

xN中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数 表格 1 对数形式 一般对数 常用对数 特点 底数为aa0,且a1 底数为10 记法 logalgNN 自然对数 底数为e 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（a0,且a1）： ①

loga01lnN ，②

loga1a，③alogaNN，④

logaaNN。

（2）对数的重要公式： ①换底公式：

logbNlogaNbloga(a,b均为大于零且不等于1,N0)；

！

logab1logba②，推广

logablogbclogcdlogad。

（3）对数的运算法则：

如果a0,且a1，M0,N0那么 ①

loga(MN)logaMlogaNMNn；

②③

logalogaMlogaN；

logaMnlogaM(nR）；

④

logambnnmlogab。

3、对数函数的图象与性质 a1 图象 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） 性质 （4）当0x1时，y(,0)； 当x1时，y(0,) （4）当x1时，y(,0)； 当0x1时，y(0,) （5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0！

（1）定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量。而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

（2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.

（3）指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 【热点难点全析】

一、对数式的化简与求值

对数的化简与求值的基本思路

利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；

约分、合并同类项，尽量求出具体值。 对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

〖例1〗计算

(log32log92)(log43log83)（1）(lg2)lg2lg50lg25；（2）；

lg5lg8000(lg232)2（3）

lg60012lg0.03612lg0.1

2解：（1）原式

(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg52

(11)lg22lg52(lg2lg5)2；

(lg2lg3lg2lg9)(lg3lg4lg3lg8)(lg2lg3lg22lg3)(lg32lg2lg3)（2）原式

3lg2

 （3）分子=

3lg25lg352lg36lg24；

2lg5(33lg2)3(lg2)3lg53lg2(lg5lg2)3；

(lg62)lg361000110lg62lg61004分母=

3原式=4。

；

！

二、比较大小 1、相关链接

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0; ②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) 0（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1.

当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0 logbf(x).

②若1>a>b>0,如图2。

当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于0a1，给出下列四个不等式：

loga(1a)loga(a1a1);①

②③

loga(1a)loga(111a)a；

aa1aa;

;④其中成立的是（ ）

（）①与③（）①与④（）②与③（）②与④

1aa11a分析：从题设可知，该题主要考查虑函数的单调性，再比较大小。

ylogax与

yax两个函数的单调性，故可先考

！

11解答：选。∵0注：（1）画对数函数图象的几个关键点

loga(1a)loga(11a,a)1aa11a;即②④

共有三个关键点： （2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点 ①务必先研究函数的定义域； ②注意对数底数的取值范围。 （3）比较对数式的大小

①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；

②当底数不同，真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象，数形结合解决；

③当不同底，不同真数时，则可利用中间量进行比较。 三、对数函数图象与性质 1、相关链接 （1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。

（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。

（3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域；

②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)

③分别确定这两个函数的单调区间； ④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。

2、例题解析

〖例1〗已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求f(x)的定义域；

(2)讨论函数f(x)的单调性.

思路解析：(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.

解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1， 当a>1时，x>0；当01时，函数的定义域为 {x|x>0}； 当0(2)当a>1时，设0！

1ax1a2,x

0a11axxx21,

x2loga(a11)loga(a1)，

∴f(x1)∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数； 当012x1ax21，

∴

loga(a11)loga(axx21)∴f(x1)∴当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数；

综上可知：函数f(x)=loga(ax-1)在其定义域上为增函数.

方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； 当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； 分别求出两函数的单调区间；

按照“同增异减”确定函数的单调区间；

研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。 〖例2〗设函数fx1x2ln1x.

2(1)求fx的单调区间;

1x1,e1e时,(其中e2.718)不等式fxm恒成立,求实数m的取(2)若当

值范围;

(3)试讨论关于x的方程:fxxxa在区间0,2上的根的个数.

212xx2fx2x1x1x1. 1分 解 （1）函数的定义域为1,,由fx0得x0;

2分

由fx0得1x0, 3分

则增区间为0,,减区间为1,0.

fx2xx2x1 4分

(2)令增,

11,00,上递减,在0,e1上递得x0,由(1)知fx在e 6分

1112f122,e2222fe1e2ee由e,且,

8分

！

1x1,e122e时,fx 的最大值为e2,故me2时,不等式fxm恒成

立.

2 9分

(3)方程fxxxa,即x12ln1xa.记gxx12ln1x,则

gx121xx1x1.由gx0得x1;由gx0得1x1.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解；

当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，

当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a(1,)(,22ln2)时，方程无解；

a(32ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.

14分

a(22ln2,32ln3]注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。

四、对数函数的综合应用

1x〖例1〗已知函数f(x)=-x+

11xlog12.

(1)求f(2012)+f(-2012)的值；

(2)当x∈(-a,a］，其中a∈(0,1），a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由.

思想解析:(1)本题是求函数值，而解析式中的两个变量互为相反数，所以，在解题方法上，应考虑函数的奇偶性；(2)本题探求f(x)的最值是否存在，由于已知函数的解析式，在解题方法上应考虑函数的单调性.

1x1x解答: (1)由f(x)=-x+

1xlog1x2有意义得：1x>0，

1x解得：-1log1x2xlog12！

11∴f(-2012)+f(2012)=0； (2)任取x1、x2∈(-1,1)且设x11x11x2f(x1)-f(x2)=x2-x1+log21x1-log21x2＞0， 易知f(x)在(-1,1)上是减函数， 又x∈(-a,a］，且a∈(0,1），

1a∴f(x)min=f(a)=-a+log21a.

方法提示:（1）求f(a)+f(-a)的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值.

（2）求形如f(2 012),f(2 011)的值往往与函数的周期性有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性

（3）已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性

〖例2〗（12分）已知过原点O的一条直线与函数分别过、作y，轴的平行线与函数

ylog8xylog8x的图象交于、两点，

的图象交于、两点。

证明点、和原点O在同一直线上； 当平行于x轴时，求点的坐标。 分析：（1）证明三点在同一条直线上只需证明（2）解方程组得

x1kOCkOD；

，

x2，代入解析式即可求解。

xx2解答：（1）设点，的横坐标分别为1、则点、的纵坐标分别为

log8x1，由题设知

x1>1，

x2>1

、

log8x2log8x1。

log8x2x2因为、在过点O的直线上，所以点、的坐标分别为（

log2x1log8x1log82x1， ）

x1，

log2x1）、（

x2，

log2x23log8x1,log2x23log8x2由于

3log8x1x1log2x1O的斜率为

k1=

x1，

！

k2log2x2x23log8x2x2O的斜率为由此可知

k1k2，

，即O、、在同一直线上。

xx2注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到1与关系无法进行正确地转化，

并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对1、

（2）由于

平行于x轴，知

1log2x2xx2的范围没有搞清楚。

log2x1log8x2=

，

即得代入由于考虑

log2x1=3，

x2x13

3x2log8x1x1log8x2x11x11，得故

x1log8x13x1log8x13

，知

log8x10,x13x1

，解得

x13，

log83于是点的坐标为（3，）

注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。

方法提示: 解决对数函数综合问题的方法 无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质

(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1,+∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；

(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

(4)在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响，以及真数为正的限制条件.

【高考零距离】

1-0.512a=2,b=（）,c=2log3221．（2012·天津高考文科·Ｔ4）已知，则a,b,c的大

小关系为（ ）

（ A）c．c【解题指南】先化简b,c与1比较,再分别比较大小，显然a的值最大。

！

【解析】选。因为以选。

a=2,b=122,c=log24,\\1b>c，，所

1

2．（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当02（ ） （）(0，22) （）(，1) （）(1，2) （）(2，2) 22

x1

【解题指南】考虑数形结合，先画出图形，4x一段图象在

ylogax图象的下方，找出临界情况，探索出a的取值范围。

0x12，且logax40，可得0a1，由

x1【解析】选 由

a242loga12可得

2，令fx4,gxlogax，若4logax，则说明当

xx0x12时，fx的

图象恒在

gxa22.综上可得a的取值范围是

图象的下方（如下图所示），此时需

2,12.

3．（2011·安徽高考文科·Ｔ5）若点在此图象上的是（ ）

110,b,b1210a,1b(a,2b)aa（） （） （） （）

！

a,b在ylgx图象上，a1，则下列点也

【思路点拨】利用对数的运算性质，代入验证.

【精讲精析】选.由题意blga,2b2lgalga ，即(a,2b)也在函数ylgx图象上.

21-x，x 1，1-log2x，x＞1，4． （2011·辽宁高考理科·Ｔ9）设函数f（x）=则满足f（x）≤2

22的x的取值范围是

（）[-1，2] （）[0，2] （）[1，+） （）[0，+）

【思路点拨】可分x1和x1两种情况分别求解，再把结果并起来． 【精讲精析】选.若x1，则2得x1，综上， x0.故选.

a=5log23.41-x2，解得0x1;若x1，则1-log2x2，解

,b=5log43.65. （2011.天津高考理科.T7）已知 ．a>b>c

．b>a>c

骣1,c=琪琪5桫log30.3,则 （ ） ．c>a>b

．a>c>b

【思路点拨】化简选项为同底，画图观察比较大小。 【精讲精析】选项可化为C=5确。

log3103，如图所示，结合指数函数的单调性可知选项正

6. （2011·江苏高考·Ｔ2）函数

f(x)log5(2x1)的单调增区间是__________

【思路点拨】本题考查的是对数函数的单调性问题，解题的关键找出定义域和增区间

的交集。

(1212，所以函数的单调增区间为,)【精讲精析】答案：

x.根据对数函数的底数大于1函数是在定义域内是增函

(12,)数，2x10，解得

！

。

【考点提升训练】

一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·珠海模拟)函数y=

x2x3+log2(x+2)的定义域为( )

2()(-∞,-1)∪(3,+∞) ()(-∞,-1)∪［3,+∞) ()(-2,-1) ()(-2,-1］∪［3,+∞)

x12e x22log3x1 x22.（2012·莆田模拟）设f(x)=,则不等式f(x)>2的解集为（ ）

()（1，2）∪（3，+∞） ()（1，2）∪（10，+∞） ()（10，+∞） ()（1，2）

log123.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知当x∈(0,1)时，f(x)= 数f(x)在(1，2)上( )

()是增函数，且f(x)<0 ()是增函数，且f(x)>0 ()是减函数，且f(x)<0 ()是减函数，且f(x)>0

4.已知函数f(x)=|log2x|，正实数m、n满足m＜n，且f(m)=f(n)，若f(x) 在区间[m2,n]上的最大值为2，则m、n的值分别为( )

11(1-x)，则函

()2、2 ()2、4

21()2、2 ()4、4

5. （2012·福州模拟）函数f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）

11()［2，1） 2］

()（1，2）

()（2，1）

()（1，

3lgx,x2，3lg3x,x＜2若方程f(x)=k无实数根，则实数k的取6.（预测题）已知函数f(x)= 值范围是( )

()(-∞,0) ()(-∞,1)

33()(-∞,lg 2) ()(lg 2,+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)

！

7.

lg4272lg83lg75=________.

8.(2012·青岛模拟)函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(4x-x2)的递增区间是_________.

9.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(1,+∞)上是增函数，设

1a=f(0),b=f(log24),c=f(lg3),则a,b,c从小到大的顺序是______.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.

x111.(2012·厦门模拟)已知函数f(x)=lnx1. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性;

x1mx17x恒成立，求实数m的取值范围.

(2)对于x∈［2,6］,f(x)= ln x1＞ln

【探究创新】

(16分)已知函数f(x)=loga(3-ax).

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

答案解析

x22x30，x2＞01.【解析】选.要使函数有意义，需得-2＜x≤-1或x≥3,

即x∈(-2,-1］∪［3,+∞),故选.

2.【解析】选.当x<2时，f(x)>2，即2ex-1>2, 解得1当x≥2时，f(x)>2，即log3(x2-1)>2,解得x>10, 综上所述，不等式的解集为（1，2）∪（10，+∞）.

log12(1-x)3.【解析】选.f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，由x∈(0,1)时，f(x)=

是增函数且f(x)>0，得函数f(x)在(2，3)上也为增函数且f(x)>0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1，2)上是减函数，且f(x)>0，故选.

log2x,x1,logx,0＜x＜124.【解析】选.f(x)=|log2x|= 

！

根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性，知0＜m＜1,n＞1，又f(x)在[m2,n]上的最大值为2，故

1f(m2)=2,易得n=2,m=2.

5.【解析】选.由已知可知a>0,u(x)=2-ax2在（0，1）上是减函数，

a1a1u10∴f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上是减函数.等价于,即2a0,

∴16.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解. 【解析】选.在同一坐标系内作出函数y=f(x)

3与y=k的图象，如图所示，若两函数图象无交点，则k＜lg2.

1217.【解析】原式=lg4+2lg2-lg7-3lg8+lg7+2lg5

11=2lg2+2(lg2+lg5)-2lg2=2.

1答案：2

8.【解题指南】关键是求出f(4x-x2)的解析式，再求递增区间. 【解析】∵y=2x的反函数为y=log2x， ∴f(x)=log2x,f(4x-x2)=log2(4x-x2).

令t=4x-x2,则t＞0,即4x-x2＞0,∴x∈(0,4),

又∵t=-x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底数大于1， ∴y=f(4x-x2)的递增区间为(0，2). 答案：(0，2)

9.【解析】由f(2-x)=f(x)，可知对称轴

2xx2x0==1,图象大致如图，

！

1∵log24=log22-2=-2,

-2＜0＜lg3＜1,

1∴结合图象知f(lg3)＜f(0)＜f(log24)，即c＜a＜b. 答案：c＜a＜b

10.【解析】∵y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2＞0, 解得x＜1或x＞3, ∴M={x|x＜1或x＞3},

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2. 令2x=t,∵x＜1或x＞3,

∴t＞8或0＜t＜2.设g(t)=4t-3t2 ∴g(t)=4t-3t2

24=-3(t-3)2+3(t＞8或0＜t＜2). 由二次函数性质可知：

4当0＜t＜2时，g(t)∈(-4,3], 当t＞8时，g(t)∈(-∞,-160),

224∴当2x=t=3,即x=log23时，f(x)max=3.

24综上可知：当x=log23时，f(x)取到最大值为3,无最小值. 【变式备选】设a＞0,a≠1，函数y=algx2x32有最大值，求函数f(x)=loga(3-2x-x2)的单

调区间.

【解析】设t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当x=1时，t有最小值lg2,

又因为函数y=algx2x32有最大值，所以0＜a＜1.

又因为f(x)=loga(3-2x-x2)的定义域为{x|-3＜x＜1}, 令u=3-2x-x2,x∈(-3,1),则y=logau. 因为y=logau在定义域内是减函数， 当x∈(-3,-1]时，u=-(x+1)2+4是增函数， 所以f(x)在(-3,-1]上是减函数.

同理，f(x)在[-1,1)上是增函数.故f(x)的单

！

调减区间为(-3，-1]，单调增区间为[-1，1).

x111.【解析】(1)由x1＞0,解得x＜-1或x＞1，∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),当x∈(-∞,-1)

x1∪(1,+∞)时，f(-x)=lnx1=

x1x1x1ln x1=ln(x1)-1=-ln x1=-f(x),

x1∴f(x)=lnx1是奇函数. (2)由x∈［2,6］时，

x1mf(x)=lnx1＞ln

x1x17x恒成立，

m∴x1＞

x17x＞0,∵x∈［2,6］，∴0＜m＜(x+1)(7-x)在x∈［2,6］上成立.

令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈［2,6］,由二次函数的性质可知x∈［2,3］时函数单调递增，x∈［3,6］时函数单调递减，

x∈［2,6］时，g(x)min=g(6)=7,∴0＜m＜7. 【探究创新】

【解析】(1)由题设，3-ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，设g(x)=3-ax,∵a＞0,且a≠1,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数.

3从而g(2)=3-2a＞0,∴a＜2.

3∴a的取值范围为(0，1)∪(1，2). (2)假设存在这样的实数a, 由题设知f(1)=1,

3即loga(3-a)=1,∴a=2.

log33此时f(x)=

2(3-2x),

当x=2时，f(x)没有意义，故这样的实数a不存在. ！