第二十六章 反比例函数
一、反比例函数的概念
1. 尸；（蛀0）可以写成 尸M （£赳）的形式，注意自变量x 的指数为
〔，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 Ld这一 限制条件；
k ¥ — -------
2. —（丄）也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出 反比例函数解析
式中的k,从而得到反比例函数的解析式；
_ k
3. 反比例函数‘一 x的自变量\"0 ,故函数图像与x轴、y轴无交 点
八、、・
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于 第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数 中自变量函数中自变量X=O,函数值y=O所以它的图像与x轴、y轴 都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标 轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ① 列表时选取的数值宜对称选取;
② 列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
1 / 9
③ 连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑 的曲线连接，切忌画成折线；
④ 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相
三、反比例函数及其图像的性质
_ k
1. 函数解析式：八；（力0） 2. 自变量的取值范围：「丨 3. 图像：
（1） 图像的形状：双曲线，田越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。 耳越小周像的
弯曲度越大。
（2） 图像的位置和性质：
当八• |时,图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内 y随x的 增大而减小；
当八|时,图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y随x的 增大而增大。
（3） 对称性：图像关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上， 则（-』，门在双曲线的另一支。图像关于直线「二对称，即若（a,b） 在双曲线的一支上 则（B上）和（-0厂Q ）在双曲线的另一支上。.
4. k的几何意义
k
y~ —
如图1,设点P （a,b）是双曲线.-上任意一点，作PA丄x轴于A
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点,PB丄y轴于B点,则矩形PBOA的面积是|k| （三角形PAO和三角 形PBO的面积都是1/2|k| ）。
如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲
5. 说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要 将两个分支分别讨论，不能一概而论。
（2）直线尸灯与双曲线\"工的关系:
当打池 时，两图像没有交点；当 知磁＞0时，两图像必有两个交 点，3 / 9
且
这两个交点关于原点成中心对称. 四、实际问题与反比例函数
1. 求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2 ）根据实际意义列函数解析式。
2. 注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.
五、充分利用数形结合的思想解决问题
第二十七章相似三角形
一、 图形的相似
1. 图形的相似：如果两个图形形状相同 ，但大小不一定相等，那么 这两个图
形相似。（相似的符号：S）
性质：相似多边形的对应角相等 ，对应边的比相等。
2 .判定：如果两个多边形满足对应角相等 ，对应边的比相等，那么 这两个多
边形相似。
3.
似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 相似的两个图形全等。 二、 相似三角形
相似比：相
1时,
1 .性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交 所构成的三角
形与原三角形相似。
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2 .判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等 ，那么这两个三 角形相似。
②如果两个三角形的两组对应边的比相等 ，并且相应的 夹角相等 , 那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等 , 那么这两个三角形相似。
（①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例
，且夹角相
等；④相似三角形的一切对应线段 （对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、 内切圆半径等）的比等于相似比。 ）
3．相似三角形应用 视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看
不到 的区域。
4．相似三角形的周长与面积： ①相似三角形周长的比等于相似比。
②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于 相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。 三、位似 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形
， 而且每组对应点的
连线 交于一点 ， 对应边互相平行 ， 那么这两个图形叫做位似图形 ， 这个点叫做 位似中心 ， 这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中 ， 如果位似变换是以原点为位似中心
相似比为k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于
k或-k。
1、 位似是一种具有位置关系的相似
， 所以两个图形是位似图形
必定是相似图形 , 而相似图形不一定是位似图形；
2、 两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧
, 也可能位于位似中心 的一
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侧；
4、位似比就是相似比． 利用位似图形的定义可判断两个图形是否 位似； 5．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上
, 它们到位似中心
的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似 可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点 , 不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
6．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似 图形 , 这两个
图形分布在位似中心的两侧 , 并且关于位似中心对 称。
第二十八章 锐角三角函数 一、锐角三角函数
1正弦：在RtAAB（中,锐角/A的对边a与斜边的比叫做/ A的正弦，
记作si nA,即si nA二/ A的对边/斜边=a/c ;
2. 余弦：在Rt△ ABC中,锐角/ A的邻边b与斜边的比叫做/ A的余弦，
记作cosA,即cosA二/ A的邻边/斜边=b/c ;
3. 正切：在Rt△ AB（中,锐角/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记
作tanA,即tanA二/ A的对边/ / A的邻边=a/b。
①tanA是一个完整的符号，它表示/ A的正切，记号里习惯省去角的符
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号“/” ；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/ A的对 边与邻边的比；③tanA不表示“ tan ”乘以“ A”；④tanA的值越大， 梯子越陡，/ A越大；/ A越大，梯子越陡,tanA的值越大。
4、 余切：定义：在Rt△ ABC中,锐角/A的邻边与对边的比叫做/ A的
余切，记作cotA,即cotA= / A的邻边/ / A的对边二b/a ；
正弦、余切、正切。（通常我们称正 弦、
0° 余弦互为余函数。同样，也称正 切、余
50° 60° sinar 0 1 返 1 ~r 切互为余函数T， 可以概括为： 一个锐角
1 2 2 迺 1 2 0 在 0 tiLTiaf 0 弟 T 不存的三角函数等于它的余角 的余函数）用1 cotir 不存在 等式表达： ] 3 / A）等等。 若/ A为锐角，则①sinA = cos（90 °
6、记住特殊角的三角函数值表0° ,30
5、 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、
7、当角度在0°〜90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或 减小）
而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而 减小（或增大）。0W sin a < 1,0 < cos a < 1。
同角的三角函数间的关系：tan a • cot a =1,tan a =sin a /cos a ,
cot a =cos a /sin a ,Sin a +COS a =1
,45 ° ,60 ° ,90
O
2 2
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、解直角三角形
1. 解直角三角形 : 在直角三角形中 ,由已知元素求未知元素的过程。 2. 在解直角三角形的过程中用到的关系:（在厶ABC中，/ C为直角，/ A、/ B、/ C所对的边分别为a、b、c,）
（1） 三边之间的关系： a2+b2=c2； （勾股定理 ） （2） 两锐角的关系：/ A＋/ B=90°； （3） 边与角之间的关系：
sinA =a/c ； （a= c sinA） cosA =b/c ； （b= c cosA） tanA=a/b 。
sin a +COS a =1
sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90
2
°-A)
第二十九章 投影与视图
一、投影
1．投影：一般地 , 用光线照射物体 , 在某个平面（地面、墙壁等）上 得到的影
子叫做物体的投影 , 照射光线叫做 投影线 , 投影所在的平面 叫做投影面。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。 （光源特别远 ） 3．中心
投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心 投影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投 影的形状、
大小与它相对于投影面的位置有关。
5． 当物体的某个面平行于投影面时 , 这个面的正投影与这个面的形 状、大小
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完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时 , 这个面的正投 影变小。当物体的某个面垂直于投影面时 , 这个面的正投影成为一条 直线。 二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置 （ 正面、水平面、侧面 ） 观察同 一个
空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图 的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助 , 基本能完整的表 达物体的结构。
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。 3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。 4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5. 三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；
②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表 示物体的宽。③主视、俯视 长对正，主视、左视 高平齐,左视、俯 视 宽相等 。
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线 , 因被其它部分遮档而看不 见的部分
的轮廓线画成虚线。
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