勾股定理五种证明方法

a

bbaaacacb ac ab bccbb bca

aabb

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2b24abc24ab22， 整理得 a2b2c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

CGDab∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, abc∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. cH∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

F∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

c正方形. 它的面积等于c2. cab∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. aBbAE∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

ab241abc22222. ∴ abc.

【证法3】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为

c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

F∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. ba又∵ AB = BE = EG = GA = c，

Ec∴ ABEG是一个边长为c的正方形. GP∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, bb∴ ∠ABC = ∠EBD. Ccc∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. DHaab即 ∠CBD= 90º.

a又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

cBABC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

11a2b2S2ab,c2S2ab22,

222 ∴ abc.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

C在一条直线上.

D∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

cbc∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, a∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. abABE∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

1ab2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

1ab221ab1c222. ∴ 2222∴ abc.

【证法5】（辛卜松证明）

b A a

aa2DaAbcc2ab1aba2caD1ab2b

cabbb2 bcb11a abab22

aCabBCb B

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

222abab2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为 222∴ ab2ab2abc,

222∴ abc.

ab241abc22 =2abc.

2 初二（1）