数列中分奇偶项求和问题

数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：

一、相邻两项符号相异； 例1：求和：

n1Sn…（-1）（4n-3） nN

解：当n为偶数时：Sn15913nn 当n为奇数时：Sn15913nn（4n-3）

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn 解：①当n为偶数时：

n-14（4n-3）n2

n4n2

Sna1a2a3a4…an1an

Sa(a2a3)(a4a5)…(an1an) ②当n为奇数时：n1 2(a1a2)(a3a4)…(an1an)nn122

n1n3 22

三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn 解：∵an-an-2=2 （n≥3）

∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列

n1 当n为奇数时：an1(1)•2n

2n 当n为偶数时：an4(1)•2n2

2n 即n∈N+时， ann1(1)

∴①n为奇数时：

Sn(123…n)n1n(n1)2n122

nn(n1)Sn(123…n)2n22 ②n为偶数时：

四、相间两项之比为常数；

1例4：已知an，an+1为方程x2Cnx()n0的两根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，

3求an及S2n。

a111解：依题意：an•an1()n ∴n2 其中a12,a2。

an336 ∴a1,a3,a5,...,a2n1为等比数列；a2,a4,a6,...,a2n为等比数列

nn111n1111ana2()2()2()236323 ∴①n为偶数时：

1111n21n22() ②n为奇数时：an2()3311n22() n2k1(kN)3 则有：an{ n112() n2k(kN)23 而Cn=an+an+1

1111n211n2131n2Cnanan12()()()32363 ∴①n为奇数时，n+1为偶数：

则：

131（1-n）3C1C3C5…C2n16113

Cnanan1 ②n为偶数时，n+1为奇数：

nn11n151()22()2()223323 则：

51（1-n）3C2C4C6…C2n6113 于是：

S2nc1c2c3c4...c2n1c2n11)(1)nn 13591 33..(1n)6116112333(1