2020届辽宁省葫芦岛市高三下学期第一次模拟考试 数学(理)

数学(供理科考生使用)

注意事项：

1.本试卷分第I卷、第II卷两部分，共6页。满分150分；考试时间：120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上。 3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第II卷的答案写在答题纸的相应位置上。 4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝ A.1－i B.1＋2i C.1＋i D.－1＋i

2.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－2x－8<0}，则A∪B＝

A.{x|－2＜x＜4} B.{x|1≤x＜2} C.{x|－4＜x≤3} D.{x|1≤x＜4} 3.已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a//b，则m＝ A.－2 B.2 C.－

99 D. 224.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试。为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析。完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法 5.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为

- 1 -

A.－3 B.

11 C. D.2 326.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有6名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收3名同学，那么不同的接收方案共有 A.150种 B.360种 C.510种 D.512种 7.“k＝0”是“直线y＝kx－2与圆x2＋y2＝2相切”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为 A.

1231 B. C. D. 43429.如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是

A.14π B.27 C.28π D.10π 10.函数f(x)＝(

21)sinx图象的大致形状是 x1e- 2 -

x2y211.已知F是双曲线C：221(a0,b0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条

ab渐近线于点M，若|FM|＝3a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝

A.

2323113113 B. C. D.

244212.关于x的方程

tx0有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则11x4txt2(x4x1)(x3x2)的取值范围

A.(26＋23，62] B.(43，62) C.(43，26＋23) D.[43，26＋23]

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。 13.502020＋2被7除后的余数为 。

xy014.设变量x，y满足约束条件xy2，则z＝2x－y的最小值为 。

3xy6015.已知数列{an}满足a2＝－3，an＋1＋9|>

14an－＝0，Sn为数列{an}的前n项和，则满足不等式|Sn－n－331的n的最大值为 。 2020116.关于x的方程(m－5)x2＋2lnx－2＋m＝0有两个不等实根，则实数m的取值范围是 。

x三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝sinx·cos(x－

1)－(x∈R)。

46 - 3 -

(1)求f(

)的值和f(x)的最小正周期； 61A)＝，a＝2，求b＋c的取值范围。

42(2)设锐角△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(18.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2。

(1)求证：BC1平面A1B1C；

(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小； (3)点M在线段BC上，且(用含λ的代数式表示)。 19.(本小题满分12分)

2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总二〇二〇年新年贺词)截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的99万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10。2%下降至2018年的1。7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康。现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图。

B1MAN＝λ(λ∈(0，1)，点N在线段A1B上，若MN//平面A1ACC1，求1的值B1CA1B

(1)将家庭人均纯年收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户家族中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；

(2)2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

- 4 -

由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线任相关关系，由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺次疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度(1，2，3月份)每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的

2，为加快脱贫进3程，加大扶贫力度，拟从2020年3月份起，以后每月的增长率为a，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则a至少应为多少?(保留小数点后两位数字)； ①可能用到的数据：

xyii16i9310,4524120462.81,1.15104.05

6$$a$②参考公式：线性回归方程$中，bybxxy6xyiii16xi26xi12$ybx$。 ,a12233(1a)n1CnaCnaCna(n10,a0.15)

20.(本小题满分12分)

2x2y2已知椭圆C：221(ab0)离心率是，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k

2ab的直线l，交椭圆C于A，B两点，且三角形△F1AB周长42。 (1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N。如果∠MF1N为锐角，求k的取值范围。 21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。 (1)若f(x)在(0，m)处的切线的方程为y＝－8x－4，求此时f(x)的最值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式g(x)>f(a)恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

xcos在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2的参数方程为

y1sinx5cos(其中α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ysin

- 5 -

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)射线l：θ＝ρ(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且点A，B均异于原点O)，当0<φ≤＋|OB|2的最小值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x|－|2x－2|。 (1)求不等式f(x)≥－3的解集； (2)若a∈R，且a≠0，证明：|4a－1|＋|

时，求|OA|221＋1|≥4f(x)。 a2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试

数学（理） 参及评分标准

第I卷（选择题)

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B

第II卷（非选择题)

二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．3 14．1 15．8 16．(3,5)

三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题，共60分。

- 6 -

17．(本小题满分12分)

1112331fxsinxsinxcosx由题 sinxsinxcosx24222411311cos2xsin2xsin2x.--------------------------4 444426112sinT.--------------6 ,262364（1）f（2）f1A1sinAA0,A,,所以,---------------8 2223在ABC中,由余弦定理a2b2c22bccosA可得：

bc,即bc4,-------------------10 224b2c2bcbc3bcbc34又因为在ABC中,bc2,

所以,综上可得：bc的取值范围是2,4.--------------------------------------12

18．(本小题满分12分)

（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，由BB1平面ABC，所以BB1平面A1B1C1， 又因为BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1. 又因为ABBC，所以A1B1B1C1，所以A1B1平面B1BCC1. 因为BC1平面B1BCC1，所以A1B1BC1 又因为BB1BC2，所以B1CBC1，

又A1B1IB1CB1，所以BC1平面A1B1C.-----------------------------4

2

- 7 -

（2）由（1）知BB1底面ABC，ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz， 由题意得B0,0,0，C2,0,0，A10,2,2，B10,0,2.

uuuruuur所以B1C2,0,2，A1B0,2,2. uuuruuuruuuruuurA1BB1C1ruuur. 所以cosA1B,B1Cuuu|BA1||B1C|2故异面直线B1C与A1B所成角的大小为

.---------------------------8 3

rAACC（3）易知平面11的一个法向量n1,1,0，

B1M，得M(2,0,22). 由

B1CuuuurA1N设，得N(0,22,22)，则MN(2,22,22) A1BuuuurrAACC因为MN//平面11，所以MNn0，

即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1，所以

A1N1.-----------------------------12 A1B

19．(本小题满分12分)[来源 （1）解：由频率分布直方图可知，

- 8 -

家庭人均年收入在[2000,3000)元的家庭数为:0.0450=2户; 家庭人均年收入在[3000,4000)元的家庭数为:0.1050=5户; 家庭人均年收入在[4000,5000)元的家庭数为:0.3250=16户; 家庭人均年收入在[5000,6000)元的家庭数为:0.3050=15户; 家庭人均年收入在[6000,7000)元的家庭数为:0.1850=9户; 家庭人均年收入在[7000,8000)元的家庭数为:0.0650=3户;

共计50户,其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有:2+5+16=23户;----------------2 23

由题意:X满足参数为50,23,10的超几何分布,所以EX=1050=4.6户；

即这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望为4.6（户）；---------------4 1+2+3+4+5+6275+365+415+450+470+4852460-（2）解：由题意得：x==3.5,y==6=410 66

-

Σxi2=1+4+9+16+25+36=91 6x2=63.52=73.5

i=1

6

6

-

Σxiyi-6xy9310-63.109310-8610700

i=1

6^所以：b==91-73.5=17.5=40 -2 =91-73.52

Σxi-6x

i=1

--^=y^xa-b=410-403.5=270

--

所以回归直线方程为：^y=40x+270------------------------------6

令x=12,则可知2019年12月份该家庭人均月纯收入为40 x12+270=750（元）

2

由此可知2020年第一季度（1月份，2月份，3月份）该家庭人均月纯收入为750 x3=500（元）

∵从2020年3月份起，每月的增长率为a,设从开始3月份到12月份的月纯收入之和为S10,则S10=500+500 500 x[1-(1+a)10]500 x[(1+a)10-1]x(1+a)+500 x(1+a)2+…+500 x(1+a)9== 1-(1+a)a500 x[(1+a)10-1]由题意应有：∴500+500+≥8000 a(1+a)10-1即： ≥14----------------------------8 a

(1+a)10-1显然S10是以a为自变量的增函数，∴是以a为自变量的增函数 a

(1+a)10-11.1510-13.051①当a≥0.15时，≥0.15≈0.15=203>14 显然成立---------------10 a

12233②当0-45-452+4x120 x4-45+452+4x120 x4(1+a)10-1∴≥14 10+45a+120a214120a2+45a-40a（舍）或a≈a240240-45+62.8117.81

240=240≈0.074

∴为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则a至少应为0.08（8%）；---------------------12

- 9 -

（说明：①若考生未对a≥0.15与020．(本小题满分12分)

x2y22（1）由题意，椭圆C:221(ab0)的离心率是，三角形VF1AB周长42

ab2可得

c2,4a42解得a2,c1,b1，所以椭圆C的方程为a2x2y21.--------------------------------4 2（2）由已知直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为ykx1，直线l与椭圆C的交点为Ax1,y1，Bx2,y2.

yk(x1)22222k1x4kx2k20. 由x2得2y124k22k22.① 由已知，判别式恒成立，且x1+x2=，x1x222k2+12k1直线F1A的方程为yy1yy(x1)，令x0，则M0,1同理可得N0,2. x11x11x21uuuuruuuur所以F1MF1N1k2x11x21y1y21

x11x21x11x211kxx1kxx1k22121221k2x1x2x1x21x1x2x1x21x1x2x1x21

将①代入并化简，得

uuuuruuuur7k21.---------------------------------------------------8 F1MF1N28k1uuuuruuuuruuuuruuuur7k2112,k依题意，角MF1N为锐角，所以F，即解得或F1MF1N201MF1N078k11k2.-------------10

8

- 10 -

7227综上，直线l的斜率的取值范围是,,00,,.-------------------12

744721．(本小题满分12分)

解：(1)f(x)=mex(x+2) 令x=0得： f(0)=2m 由题意：2m=-8 ∴m=-4 f(x)=-4 ex(x+2) 由f(x)>0得：x<-2, 由f(x)<0得：x>-2 ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增；在(-2,+∞)上单调递减 4

∴fmax(x)=f(-2)=e2,无最小值；

(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1)  lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1

(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1

令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上单调递增 φmin(x)=φ(1)=-a

∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0

令h(a)= mea

(a+1) +a2

+4a-1, a∈[-1,0) ha

a

a

2

(a)=me(a+2) +2a+4=(a+2)(me+2)=e(a+2)(ea+m) ∵a∈[-1,0) ∴2

ea∈(2,2e]

① 当-m2即m≥-2时，h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使h(a)<0恒成立，只需h(0)0

m1 ∴m∈[-2,0)∪(0,1]

②当-m≥2e即m-2e时,

h(a)0 ∴h(a)在[-1,0)上单调递减，若使h(a)<0恒成立，只需h(-1)0 m-2e合题意；

2

② 当2<-m<2e即-2e由h(a)<0得：ln(-m)0得：-1∴h(a)在（-1，ln(-m)）上单调递增，在（ln(-m)，0）上单调递减 22222

h(a)2

max=h(ln(-m))=ln(-m)+2ln(-m)-3=(ln(-m)+3)(ln(-m)-1) 2

由题意：h(a)即：-3min<0 又-2e综上，m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1] 法二：离参法

①若a=-1，则-4<0恒成立，m≠0合题意； -m>a2②若,则h(a)<0+4a-1

ea(a+1)

a2令t(a)= +4a-1(a+2)(a+3)(a-1)ea(a+1) 则t(a)=-ea(a+1)2

- 11 -

-4<0 即∵a∈(-1,0) ∴t(a)>0 t(a)在(-1,0)上单调递增 由题意：-mt(0)=-1 即m1 又∵m≠0 ∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]

(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

（1）曲线C1的普通方程为x2y11，令xcos，ysin，

2可得C1的极坐标方程为2sin，

x2曲线C2的普通方程为y1，令xcos，ysin，

52可得C2的极坐标方程为25.---------------------5 214sin（2）联立0与C1的极坐标方程得OA2sin， 联立0与C2的极坐标方程得OB25，

14sin2则OAOB4sin2225524sin11

14sin214sin22514sin21251（当且仅当sin214sin2251时取等号）. 2所以OAOB的最小值为251.-------------------------10 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 (1)法一：

x2,x0fxx2x23x2,0x1，

x2,x1作出fx的图象，如图所示：

- 12 -

结合图象， 函数fx,1上单调递增，

在1,上单调递减， 又f13，f53，

所以不等式fx3的解集是x|1x5.------------------------5 法二：fxx2x23，

x00x1x1等价于：或或，

x2x23x2x23x2x23解得：1x0或0x1或1≤x≤5，

所以不等式fx3的解集是x|1x5.----------------5 (2)由(1)知函数fx的最大值是f11，所以fx≤1恒成立. 因为4a1111114a114a4a4，

aaaa1时，等号成立. 2当且仅当a所以4a1114fx.--------------------------10 a - 13 -