数学解题中的化归思想

发表时间：2011-02-22T09:59:25.337Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2011年第3期供稿 作者： 吴世新[导读] 本文结合具体的例题对数学解题中的化归思想进行了分析和探讨。

吴世新

摘要：本文结合具体的例题对数学解题中的化归思想进行了分析和探讨。关键词：数学教学；化归思想；解题

作者简介：吴世新，任教于陕西省安康市岚皋县城关中学。

人类在劳动实践过程中积累了丰富的经验，在研究数学问题的过程中获得了大量的成果，许多问题的解决形成了固定的方法和模式，人们把这种有相对确定的解决方法和解决程序的问题，叫做数学模型；把一个未知的或复杂的问题转化为数学模型的方法，称为问题的化归。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的数学模型实现的。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。数学中解题的过程就是数学问题的化归过程，许多数学问题直接去解往往非常困难，而通过转化就大大简便了解题过程，下面谈谈化归思想在解题中的应用。

一、把抽象问题转化为具体问题

数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化，一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。 例1：若a＜b＜0，则下列结论中正确的是( )。 A. a+b＜-a+b＜a-b＜-a-b B. a+b＜a-b＜-a+b＜-a-b C. -a-b＜a-b＜-a＋b＜a＋b D. -a-b＜a+b＜-a+b＜a-b

分析：直接比较四个代数式大小，由于太抽象，所以困难较大，但由于a和b均在一定范围内取值，所以不妨赋予a和b均在一定范围内特殊值。通过对具体数值比较而确定本题答案。 解：∵a＜b＜0，不妨设a=-3，b=-2 ∴a+b=-5，-a+b=+1 a-b＝-1 -a-b=5 ∴a+b＜a-b＜-a+b＜-a-b，故选B。 二、把隐含条件转化为已知条件

解题中，不仅要善于对题目的表面形式进行观察，并发现其特点，而且要善于挖掘隐含条件，使其转化为已知条件。 例2：已知，那么复数的辐角主值是( )。 A. B. C. D.

分析：若用常规法，把复数化为三角形式，思路虽正确，但复杂且花费时间多。仔细挖掘一下隐含条件，发现四个选择支分别为四个象限内的角。考虑到，因此辐角应在第一象限，故很快判断B正确。 三、把复杂问题转化为简单问题

有的数学问题看上去比较复杂，如果我们善于对问题的形式特征进行观察、转化，用灵活的方法求解，那么往往能使复杂问题简单化。

例3：关于x的方程在［0，π］内有解，求a的取值范围。

分析：此题就直接解三角方程再确定a的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求在的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快得到了a的取值范围是。 四、把正向思维转化为逆向思维

在解决某一类问题时，思维定势造成了很强的指向性，但这种指向性有时又成为思维的障碍，这时，尝试逆向思维，往往能迅速解决问题。思维是可逆的，但逆向思维必须经过训练才能形成，这对于数学的学习特别重要。运算可以互逆，等式、定理也可以互逆。 例4：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有___ 种。 A.150 B.147 C.144 D.141

分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。

解：10个点中任取4个点取法有 种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，所以，不共面取法有 种，应选D。 五、利用等价转化的思想来实现转化

在数学中，存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。

例5：已知，设函数在上单调递减。不等式的解集为。如果和有且仅有一个正确，求的取值范围。

分析：“和有且仅有一个正确”等价于“正确且不正确”或“不正确且正确”，所以应先求出和分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。

如果正确且不正确，则，如果不正确且正确，则，所以的取值范围为。 六、用数形结合思想来实现转化

数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决。

分析：由于方程表示的曲线以为圆心，以为半径的圆(如右图所示)，满足方程的是圆上的点；而是坐标原点与圆上各点连线的斜率，所以题目可转化为求原点与圆上各点连线斜率的最大值。结合图像，易知直线与圆相切的时候，直线的斜率就是所求斜率的最大值。 七、利用函数与方程的思想来实现转化

函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法。一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式(组)[包括不等式(组)]，则一般可使问题得到解答。

当然，除了上述常用方法外，数学解题中还存在其它的转化方法，如：在求空间距离问题时，可利用等积法(点线距离常用等面积法，点面距离常用等体积法)将它转化为解三角形的问题；在求空间角(异面直线所成的角或二面角的平面角)时，可通过平移变换、作辅助线等方法转化为同一个平面或三角形中；而求函数的值域(或最值)，有时也可以根据反函数的性质，通过求该函数的反函数的定义域来得到。由于本文篇幅有限，这里就不一一举例。

总而言之，化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以，学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能。

参考文献：

[1]钱珮玲.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

作者单位：陕西省安康市岚皋县城关中学邮政编码：725400

On Reduction Thought in Mathematics Problem-solving WU Shixin

Abstract: This paper analyzes and discusses reduction thought in mathematics problem-solving based on the specific examples. Key words: mathematics teaching; reduction thought; problem-solving