2018年高考理科数学模拟试题1

2018届高三复习卷一

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．设集合A=01，，2，3， B=xx2a1，aA，则AB=( )

A. 1，2 B. 13，，， D. 13  C. 012．已知i是虚数单位，复数z满足1iz2i，则z的虚部是（ ）

A. i B. i C. 1 D. 1 3．在等比数列an中， a1a3a521， a2a4a642， 则数列an的前9项的和S9（ ）

A. 255 B. 256 C. 511 D. 512

4．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x1以及曲线ye1围成， 现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）

x1e2 B. ee111C. D. 1e1e A. 5．在(2𝑥−

2

1√7的展开式中，含的项的系数是（ ） x)𝑥6

A. 60 B. 160

C. 180 D. 240

6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36 B. 66 C. 312 D. 12

7．已知函数𝑓(𝑥)=log2(2−𝑎𝑥)在(-∞，1] 上单调递减，则a的取值范围是( )

A. 1<𝑎<2 B. 0<𝑎<1 或 1<𝑎<2 C. 0<𝑎<1 D. 0<𝑎<1 或 𝑎>2

8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的 可能取值的集合是（ ）

A.2，，，345 B. 1，，，，，23456 C.1，，，，2345 D. 2，，，，3456

试卷第1页，总4页

9．R上的偶函数fx满足fx1fx1，当0x1时， fxx，则

2yfxlog5x的零点个数为（ ）

A. 4 B. 8 C. 5 D. 10 10．如图，已知抛物线y4x的焦点为F，直线l过F且依次交 抛物线及圆x1y2的最小值为（ ） A.

221于点A,B,C,D四点，则AB4CD 415131117 B. C. D. 2222211．已知函数fx4sinxsinx22sin2x0在区间,上是增函数， 2423且在区间0,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）

A. 0,1 B. 0, C. 1, D. ,

24412．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且AnAn1An1An2,AnAn2,nN，

*313BnBn1Bn1Bn2,BnBn2,nN*.（PQ表示点P与Q不重合）

若dnAnBn，Sn为△AnBnBn1的面积，则 ( ) A．{Sn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn}是等差数列

22第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．已知平面向量a2,1,b2,x，且a2bab，则x__________.

xy214．若变量x,y满足{2x3y6 ，且x2ya恒成立，则a的最大值为______________.

x0x2y215．若双曲线221a0,b0上存在一点P满足以OP为边长的正方形的面积等于2ab

ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．

2x16．若曲线C1:yax(a0)与曲线C2:ye存在公共切线，则a的取值范围为__________．

试卷第2页，总4页

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知向量a(sin3x, 3sinx,bsinx,cosx,fxab. 22（1）求fx的最大值及fx取最大值时x的取值集合M； （2）在△ABC中， a,b,c是角A,B,C的对边,若

18．如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形， AB//DC， DAB90， PA底面ABCD，且PAADDCCM且c1，求△ABC的周长的取值范围. 241， AB1， M是PB的中点。 2（Ⅰ）求证： 平面PAD平面PCD； （Ⅱ）求二面角ACMB的余弦值。

19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.

（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率； （Ⅱ）假设该市高一学生的体重X服从正态分布N57,a2. （ⅰ）估计该高一某个学生体重介于54～57kg 之间的概率；

（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用（ⅰ）的结论，

求Y的分布列及EY.



试卷第3页，总4页

x2y231(a3)与直线y20．已知右焦点为F的椭圆M:2相交于P、Q两点，

a37且PFQF． （1）求椭圆M的方程；

（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同的三点，并且O为△ABC的重心， 试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21. 已知函数fxx2xalnxa0.

2（1）当a2时，试求函数图像过点1,f1的切线方程；

（2）当a1时，若关于x的方程fxxb有唯一实数解，试求实数b的取值范围； （3）若函数fx有两个极值点x1、x2x1x2，且不等式fx1mx2恒成立， 试求实数m的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cos（为参数），

y2sin直线C2的方程为y3x，以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程； （2）若直线C2与曲线C1交于A,B两点，求

11. |OA||OB|23.【不等式选讲】已知fxx3x1， gxx1xaa. （1）解不等式fx6；

（2）若不等式fxgx恒成立，求实数a的取值范围.

试卷第4页，总4页

参考答案

1．B

【解析】A01，，2，3Bxx2a1，aA1,1,3,5则AB1,3 2．D【解析】1iz2i z2i1i2i1i，所以z的虚部是1，选D. 1i23．C【解析】由等比数列的通项公式可得{a1a1q2a1q421a1qa1qa1q4235 ,

1129a11求解方程组可得： { ，则数列an的前9项的和S9511.

q2124．【答案】B

【解析】解答：由题意,阴影部分的面积为

10ex1dx=exx=e−2，

01∵矩形区域OABC的面积为e−1，∴该点落在阴影部分的概率是故选B.

5．D【解析】二项式的通项公式为𝑇𝑘+1=

5

1𝑘

𝐶6(2𝑥2)6−𝑘(−𝑥)𝑘

√e2. e1𝑘6−𝑘𝐶62(−1)𝑘𝑥12−2𝑘

5

=

24

，令12−2𝑘=7⇒𝑘=2，所以含𝑥7的项的系数是𝐶62=240 ，故选D

6．A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为

1111V32433436,，故选A.

43327．A【解析】令t=2﹣ax，则原函数化为g（t）=log2t，外层函数g（t）=log2t为增函数， 要使复合函数f（x）=log2（2﹣ax）（﹣∞，1]上单调递减，则内层函数t=2﹣ax在（﹣∞，1）上单调递减，且t=2 𝑎>1 ﹣ax在（﹣∞，1）上大于0恒成立．∴{，解得：1＜a＜2．

2−𝑎>0

8．A【解析】循环依次为2a313a5,22a3313a1 ，所以可能取值的集合是2，，，345， 9．C【解析】∵fx1fx1，∴fxfx2，故函数的周期T=2。 ∵0≤x≤1时fxx，且fx是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时， fxx，

22令g(x)log5x，画出函数fx,gx的图象， 如下图所示：由图象得函数fx和gx的交点有5个， 10．【答案】C

【解析】由题意得F1,0，即为圆的圆心，准线方程 为x1。

答案第1页，总7页

111，所以ABxA。同理CDxD。 2223315①当直线l与x轴垂直时，则有xAxD1，∴AB4CD4。 222由抛物线的定义得AFxA1，又AFAB ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为ykx1， 由{ykx12k24， 消去y整理得kx2k4xk0，∴xAxD1,xAxD22ky4x2222∴AB4CDxA4xD综上可得AB4CD551324xAxD，当且仅当xA4xD时等号成立。 22213。选C。 2， 是函数含原点的递增区间． 22x1sinx）cos2x12sinx，11、f(x)2sin（ 又∵函数在22,，,，上递增， 2322231322， ∴得不等式组{? 又∵ 又函数在区间0,上恰好取得一次最 ，得{＞0，0＜，324432大值，根据正弦函数的性质可知x2k可得02，kZ ，即函数在x2k，kZ 处取得最大值， 2113, 综上，可得, 故选D 22241hnBnBn1，2Sn表示点An到对面直线的距离12．【答案】A试题分析：（设为hn）乘以BnBn1长度的一半，即Sn由题目中条件可知BnBn1的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，由于A1,An和两个垂足构成了直角梯形，那么hnh1A1Ansin，其中为两条线的夹角，即为定值，那么Sn1(h1A1Ansin)BnBn1，21Sn1(h1A1An1sin)BnBn1， 21作差后：Sn1Sn(AnAn1sin)BnBn1，都为定值，所以Sn1Sn为定值．故选A．

2113．或1

2【解析】∵a2,1,b2,x，∴a2b6,12x， ab0,1x，又∵a2bab，∴

11a2bab12x1x0，解得x或x1，故答案为或1.

22答案第2页，总7页

14．4【解析】

所以过0,2时， x2y的最小值为-4，所以a的最大值为-4. 15．5【解析】由题意， OP2ab，又OPa， ,22则2aba，即2aba，得2ba， 4b4ca222c25a，所以2，

a42所以e55，即e的取值范围是。 ,22e216．,【解析】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，

4

由y=ex,得y′=ex， 曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点x2,ex2，

则2ax1ex2eeax， 可得2x2=x1+2，∴a ，

2x1x2x1x12x221x112ee记fx，则f'x2xx12x24x2 ，

当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增。 ∴当x=2时, fxmine2e2. ∴a的范围是, . 4417．（1）135,kz ；,x|xk（2）2,3.试题解析：（1）acosx3cosx，

212 fxabsinxcosx3cos2x1333， sin2xcos2xsin2x－22232答案第3页，总7页

fx的最大值为13，此时2x2k, 232即xk55 kzMx|xk,kz 

1212（2）

CC5， C2k, M k2424123C0, C3

c1由c2b2a22abcosc得c2a2b2ab ab3abab又

223ab42ab42 ab2

ab1, 故2abc3，即周长的范围为2,3.

2 318．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 证明：（Ⅰ）以A为坐标原点AD长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为A0,0,0， B0,2,0，

1C0,1,0， D1,0,0， P0,0,1， M0,1,，则AP0,0,1， DC0,1,0，故APDC0，

2所以APDC，由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC平面PAD,又DC在平面PCD内,故平面PAD平面PCD。

（Ⅱ）在MC上取一点Nx,y,z，则存在R，使NCMC，连接AN,BN， NC1x,1y,z，

111MC1,0,，所以x1， y1， z。要使ANMC，只要ANMC0，即xz0，

222解得

441212。可知当时， N点坐标为,1,，能使ANMC0，此时， AN,1,， 555555303021BN,1,，所以BNMC0。由ANMC0， AN， BN，所以

5555cosAN,BN 19．（1）

22，故所求二面角的余弦值为。

33ANBNANBN11（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析 441， 4（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg的频率为0.040.015答案第4页，总7页

1. 411（Ⅱ）（ⅰ）∵X～N57,2， P(X60)，∴P(X54)，

4411111∴P(54X60)12，∴P(54X57).

42224由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为

（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，

1i13其中体重介于54～57kg之间的人数Y～B3,， PYiC3444所以Y的分布列为

i3i， i0,1,2,3.

Y P

0 27 6413. 441 27 642 9 643 1 64EY3

9x2y21；20．【答案】（1）（2）．

43233【解析】（1）设Fc，0，Pt，，则Qt，，

77334t2371，即c2t29②， ∴21，即t2a2①，∵PFQF，∴7a7tctc77429x2y22221． ∴由①②得ca，又ac3，a4， ∴椭圆M的方程为43772（2）设直线AB方程为：ykxm，

8kmx2y2xx11234k2222由4得34kx8kmx4m120，∴， 36myyykxm1234k26m8km，∵O为重心，∴OCOAOB， 2234k34k答案第5页，总7页

8km34k2∵C点在椭圆E上，故有

4226m234k1，可得4m24k23，

322而AB1k24m21241k28km22， 412k93m22234k34k34k3m1k2点C到直线AB的距离d（d是原点到AB距离的3倍得到），

∴S△ABC6m6m192222ABd12k93m12m3m， 22234k4m2当直线AB斜率不存在时，AB3，d3，S△ABC21.【解析】（1）当a2时，有fxx2x2lnx.

2222xx1∵fx2x2，∴f12， xx99，∴△ABC的面积为定值． 22∴过点1,f1的切线方程为：y12x1，即2xy30. （2）当a1时，有fxx2xlnx，其定义域为：x|x0，

2从而方程fxxb可化为：bx23xlnx，

12x23x1令gxx3xlnx，则gx2x3，

xx2由gx0x1或0x11；gx0x1. 221,1上单调递减， 2∴gx在0,和1,上单调递增，在12且g51ln2,g12，又当x0时，gx；当x时，gx. 24∵关于x的方程bx23xlnx有唯一实数解，∴实数b的取值范围是：b2或b5ln2. 4a2x22xa（3）∵fx的定义域为：x|x0,fx2x2.

xx令fx02x2xa0. 又∵函数fx有两个极值点x1、x2x1x2，

2答案第6页，总7页

∴2x22xa0有两个不等实数根x1、x2x1x2， ∴00a112，且x1x21,a2x12x1，从而0x1x21. 22fx1x122x1alnx1由不等式fx1mx2恒成立m恒成立， x2x222fx1x12x12x12x1lnx11∵1x12x1lnx1，

x2x21x1令ht1t1111，当时恒成立， 2tlnt0t，∴ht10t2lnt021t221t∴函数ht在0,上单调递减，∴hth故实数m的取值范围是：m1231ln2， 223ln2. 22222.（1）曲线C1的普通方程为(x2)(y2)1， 则C1的极坐标方程为4cos4sin70， 由于直线C2过原点，且倾斜角为

2，故其极坐标为(R)（或tan3）

3324cos4sin702(232)70，故12232，127， （2）由得：3∴

11|OA||OB|12232. |OA||OB||OA||OB|1273. 223(1) 解集为{xx2 或x4；(2) a（1）当x3时， 2x26解得x4.

当1x3时， 46无解， 当x1时， 2x26解得x2. ∴fx6的解集为{xx2 或x4.

（2）由已知x3x1x1xaa恒成立. ∴x3xaa恒成立. 又x3xax3xa 3aa3. ∴a3a，解得a∴a

3. 23时，不等式fxgx恒成立 2答案第7页，总7页