三重积分的计算方法

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积

z2分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分

z1，也即“先一后二\".步骤为：找及在xoy面投影F(x,y)d，就是“投影法”

D域D。多D上一点（x，y）“穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分,完成“后二”这

z2一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz1c2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面法”,也

c1Dz即“先二后一”.步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2],过z作平行于xoy面的平面截,截面Dz.区域Dz的边界曲面都是z的函数.计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d,完成了“先二”这一步（二重积分）；进而

Dzc2c2计算定积分F(z)dz，完成“后一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz。

c1c1Dz当被积函数f（z）仅为z的函数（与x，y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便.

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题.可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xoy面,得投影区域D(平面)

D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2),f()时，可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐

yx标系计算。

1.对三重积分,采用“投影法\"还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取.

一般地，投影法（先一后二）:较直观易掌握；截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。 特殊地，对Dz积分时，f（x,y,z）与x，y无关，可直接计算

SDz。因而中只要

z[a,b]， 且f(x，y，z）仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

历年真题

1、计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面

x0,y0,z0围成的闭区域.

【解析】 “投影法”

（1)画出及在xoy面投影域D。 （2）“穿线”0z1xy

0x1X型 D：

0y1x0x1∴：0y1x

0z1xy

（3）

11x1xy11x11112Izdxdydzdxdyzdzdx(1xy)dy[(1x)2y(1x)y2y3]10223000000111311 (1x)3dx[xx2x3x4]1 06062424 “截面法” （1)画出。

（2）z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形,x1z,y1z

（3）计算

111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz0Dz0Dz0

1111111z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz

202402022、计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。 【解析】 “投影法”

zx22y2（1）画出及在xoy面投影域D. 由消去z， z1得x2y21即D：x2y21 （2）“穿线”x2y2z1，

1x1 X型 D：

221xy1x1x1∴ :1x2y1x2

22xyz1（3）计算

11x122dyxydvdx11x2x2y211x2x2y2dzdx11x2x2y2(1x2y2)dy“截面法”

（1)画出. (2）z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02Dz: 

0rz02用柱坐标计算 :0rz

0z1 （3)计算

1xydv[0Dz2212z113z2132xydxdy]dz[drdr]dz2[r]0dzzdz33060000223、化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：

zx22y2及z2x2所围成的闭区域.

【解析】

（1）画出及在xoy面上的投影域D.

22zx2y由 z2x2消去z，得x2y21

即D: x2y21

222x2yz2x（2）“穿线”

1x1 X型 D：

221xy1x1x122：1xy1x

222x2yz2x11x22x2(3）计算 If(x,y,z)dxdydzdxdyf(x,y,z)dz 11x2x22y24、计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

【解析】 “投影法”

（1）画出及在xoy面投影域D, 用柱坐标计算

xrcos 由yrsin 化的边界曲面方程为:z=6-r2，z=r

zz02z6r2r2(2)解 即 得r2 ∴D：

0r2zr022 rz6r ∴:0r22rz6r“穿线”

（3）计算

6r2226r22126r2dr zdv[zdz]rdrddrdrzdz2r[z]rDr00r02229222225。 r[(6r)r]dr(36r13rr)dr300“截面法”

（1)画出。如图：由z6r2及zr围成。 (2) z[0,6][0,2][2,6] 12

1由z=r与z=2围成; z[0,2]，Dz:rz

02 1：0rz

0z22由z=2与z=6r2围成; z[2,6]，Dz:r6z

022：0r6z

2z626（3）计算 zdv=zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz

120Dz12Dz2

26262692223zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz3020202225、计算(xy)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所

确定。 【解析】

xcossin用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的

zcos球坐标方程：aA

P，连结OP=，其与z轴正向的夹角为,OP=.P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的

夹角为。∴：aA,0，02 222A2315A22222(xy)dvdd(sin)sind=2sin[]ad

500a02525245523(Aa)sind(Aa5)1(Aa5) =553150