2005年英语一考研真题

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 极限limxsin2______.

xx1{ EMBED Equation.DSMT4 \\* MERGEFORMAT |(2) 微分方程满足初始条件的特解为______.

(3) 设二元函数，则______.

(4) 设行向量组线性相关，且，则______.

(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则 ______.

(6) 设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 2x 若随机事件与相互，则______，______.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7) 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点.

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 (8) 设，其中，则

（A） （B） （C） （D）

(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是 （A）收敛，发散 （B）收敛，发散 （C）收敛 （D）收敛 (10) 设，下列命题中正确的是

（A）是极大值，是极小值 （B）是极小值，是极大值 （C）是极大值，也是极大值 （D）是极小值，也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是

（A）若在内连续，则在内有界

（B）若在内连续，则在内有界 （C）若在内有界，则在内有界 （D）若在内有界，则在内有界

(12) 设矩阵满足，其中为的伴随矩阵，为的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为

（A） （B）3 （C） （D） (13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则 线性无关的充分必要条件是

（A） （B） （C） （D） (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内） 三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分8分）求.

1

16）（本题满分8分）

设具有二阶连续导数，且，求.

17）（本题满分9分） 计算二重积分，其中.

18）（本题满分9分）

求幂级数在区间内的和函数.

2

（（（

（19）（本题满分8分）

设在上的导数连续，且.证明：对任何，有

（20）（本题满分13分）

已知齐次线性方程组（ⅰ） 和 （ⅱ） 同解，求的值.

（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中分别为m阶，n阶对称矩阵，为阶矩阵.（Ⅰ）计算，其中； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量的概率密度为

求：（Ⅰ）的边缘概率密度；（Ⅱ）的概率密度； （Ⅲ）.

3

（23）（本题满分13分）

设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记. （Ⅰ）求的方差；（Ⅱ）求与的协方差； （Ⅲ）若是的无偏估计量，求常数.

4