2．设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ） A． 1 46组 B． 29组 C． 28组 D． 16组
3．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（ ） A． { 1，2} B． {2，4} C． {2} D． {4}
4．集合时M={x|x=
，k∈Z}与N={ x|x=
，k∈Z}之间的关系是（ ）
A． M ⊊N B． N⊊M C． M=N D．M ∩N=φ
5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（ A． P =F B． Q=E C． E=F D． Q=G
6．设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（ ）
A． A =B B． A⊊B C． B⊊A D．A ∩B=∅
7．设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A． a ＜2 B．a ≤2 C． 2＜a＜4 D． a＞4
8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }． （1）若A是空集，求m的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．
9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R} （1）若A=B=∅，求a的取值范围；
（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围； （3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．
10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1} （I）求集合A；
（II）若A⊆B，求实数a的值．
11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}， （1）若P⊆Q，求实数m的取值范围； （2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．
12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}． （1）若
，试判定集合A与B的关系；
（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．
）
13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}． （Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．
14．已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|（1）求A、B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}． （1）若A⊊B，求a的取值范围； （2）若A⊆B，求a的取值范围； （3）若A=B，求a的取值范围．
＜1，x∈R }．
2014年07月23日郭杜军1的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题） 1．（2014•市中区二模）定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 子集与真子集． 专题： 计算题．
分析： 由定义A*B即A中的元素除去B中元素构成的集合．写出A*B，再判断子集个数即可． 解答： 解：由题意：A*B={1，7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}，个数为4
故选D
点评： 本题考查集合的运算、集合子集个数问题，属基础知识、基本运算的考查． 2．（2012•泸州二模）设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ） A． 1 46组 B． 29组 C． 28组 D． 16组
考点： 子集与真子集． 专题： 分类讨论．
分析： 根据集合A中只含有3个元素，则可对集合A进行分类讨论，逐一求出集合B的所以情况即可． 解答： 解：当集合A={1，2，3}时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有4种，若4个元素有1种，
当集合A={1，2，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={1，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={2，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={1，2，5}时，集合B若两个元素有1种， 当集合A={1，3，5}时，集合B若两个元素有1种， 当集合A={1，4，5}时，集合B若两个元素有1种， 当集合A={2，3，5}时，集合B若两个元素有1种， 当集合A={2，4，5}时，集合B若两个元素有1种，
当集合A={3，4，5}时，集合B若两个元素有1种，合计29组， 故选B
点评： 本题主要考查了集合子集的运算，分类讨论的数学思想，属于基础题． 3．（2013•浙江模拟）已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（ ） A． { 1，2} B． {2，4} C． {2} D． {4}
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题．
分析： 先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论． 解答： 解：∵A⊆B，A⊆C，
∴A⊆（B∩C）
∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}， ∴B∩C={2}
而A⊆（B∩C）则A={2}或∅
故选C
点评： 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及函数子集的运算，同时考查了分析问题的能力，属于集
合的基础题．
4．集合时M={x|x=
，k∈Z}与N={ x|x=
，k∈Z}之间的关系是（ ）
M∩N=φ A． M ⊊N B． N⊊M C． M=N D．
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 常规题型．
分析： 先将集合M进行化简，然后根据2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，而k∈Z，即可判定集合M与集合N的关
系．
解答：
解：M={x|x=，k∈Z}={x|x=，k∈Z}
N={ x|x=，k∈Z}
∵2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，k∈Z ∴M⊊N
故选A
点评： 本题主要考查集合的包含关系判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相
关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（ ） A． P =F B． Q=E C． E=F D． Q=G
考点： 集合的相等． 专题： 计算题．
分析： 弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．
解答： 解：∵P={y=x2+1}是单元素集，集合中的元素是y=x2+1，
Q={y|y=x2+1≥1}={y|y≥1}， E={x|y=x2+1}=R，
F={（x，y）|y=x2+1}，集合中的元素是点坐标， G={x|x≥1}． ∴Q=G． 故选D．
点评： 本题考查集合相等的概念，解题时要注意集合中的元素是什么．
6．（2010•和平区一模）设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（ ）
A． A =B B． A⊊B C． B⊊A D．A ∩B=∅
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题．
分析： 从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合B中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系． 解答：
解：法一：当k=2m（为偶数）时，B={x|x=+，k∈Z}；
当k=2m﹣1（为奇数）时，B={x|x=+，k∈Z}={x|x=+，k∈Z}=A． ∴A⊊B．
法二：由于A={x|x=+，k∈Z}={x|x=B={x|x=+，k∈Z}={x|x=
，k∈Z}，
，k∈Z}，当k是奇数时，B=A；当k是偶数时，B∩A=∅．
∴A⊊B． 故选B．
点评： 本题主要考查集合表示方法中的描述法，考查集合的包含关系判断及应用． 7．（2008•普陀区二模）设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
a≤2 A． a ＜2 B． C． 2＜a＜4 D． a＞4
考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题．
分析： 根据B求得B，由A，B之间的包含关系，求出此时满足题干的a应满足的条件，解不等式即可求得实数a
的范围．
解答： 解：∵集合A={x|x≥a}，
集合B={x||x﹣3|＜1}={x|2＜x＜4}， B⊆A， a≤2， 故选B
点评： 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，本题是一个
基础题．
二．解答题（共8小题）
8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }． （1）若A是空集，求m的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．
考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题． 分析：
（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={}≠∅，不合题意；当m≠0时，须△＜0，解次不等式即可．
（2）由（1）当m=0时符合题意，若当m≠0还须△=0．
（3）至多只有一个元素包括A中只有一个元素和A是空集两种情况．为（1），（2）的合并．
解答： 解：集合A是方程mx2﹣2x+3=0在实数范围内的解集．
（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={}≠∅，不合题意； 当m≠0时，须△＜0，即△=4﹣12m＜0，即m＞． 故若A是空集，则m＞
（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2﹣2x+3=0只有一个解． 若m=0，方程为﹣2x+3=0，只有一解x=，符合题意 若m≠0，则△=0，即4﹣12m=0，m=． ∴m=0或m=．
（3）A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义， 根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥．
点评： 本题考查含参数的方程的解法、空集的概念、集合的表示方法、分类讨论的思想方法．本题的易错点是忽视对m是否为0进行讨论．
9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R} （1）若A=B=∅，求a的取值范围；
（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围； （3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 集合．
分析： （1）首先，结合条件A=B=∅，即方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，从而得到a的取值范围；
（2）可以求解A≠∅，B≠∅的情形，然后，求解它的补集即可； （3）分情况进行讨论，分为：A=∅，B≠∅；A≠∅，B=∅两种情形．
解答： 解：（1）∵A=B=∅，
∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，
∴，
∴，
∴﹣2＜a＜﹣1，
∴a的取值范围为（﹣2，﹣1）． （2）当A≠∅，B≠∅时，
∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0都有实根， ∴∴
，
∴a∈∅，
∴A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围为（﹣∞，+∞）； （3）根据（1） 若A=∅，B≠∅； ∴
，
∴a≤﹣2， 若A≠∅，B=∅ ∴
，
∴a≥﹣1，
∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．
点评： 本题重点考查集合的基本运算，结合一元二次方程根进行分类讨论，属于中档题．
10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1} （I）求集合A；
（II）若A⊆B，求实数a的值．
考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的确定性、互异性、无序性；集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题．
分析： （I）解一元二次方程求得x的值，即可得到集合A．
（II）若A⊆B，即{2，3 }⊆{a，2，2a﹣1}，可得 a=3，或 2a﹣1=3，分别求得a的值，再代入条件检验．
解答： 解：（I）求集合A={x|x2﹣5x+6=0}={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3 }．
（II）若A⊆B，即{2，3 }⊆{a，2，2a﹣1}． ∴a=3，或 2a﹣1=3．
当 a=3 时，2a﹣1=5，B={3，2，5 }，满足A⊆B．
当 2a﹣1=3时，a=2，集合B不满足元素的互异性，故舍去． 综上，a=3．
点评： 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的关系，以及集合中元素的互异性，体现了分类讨
论的数学思想，属于中档题．
11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}， （1）若P⊆Q，求实数m的取值范围； （2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．
考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题；集合．
分析： （1）化简P，利用P⊆Q，可得Q={0，﹣4}，利用韦达定理，即可得出结论；
（2）根据Q⊆P，可得Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，分类讨论，即可得出结论．
解答： 解：（1）P={0，﹣4}，
∵P⊆Q，∴Q={0，﹣4}，
∴0，﹣4是x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两个根，
∴∴m=1
，
（2）∵Q⊆P，P={0，﹣4}，
∴Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}， ∴△=4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＜0或
或或，
∴m≤﹣1或m=1．
点评： 本题考查集合之间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}． （1）若
，试判定集合A与B的关系；
（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．
考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．
专题： 计算题． 分析：
（1）若
，B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在
集合B中没有，所以B⊊A．
（2）先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集合即可
解答： 解：（1）∵B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，
集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有， ∴B⊊A．
故答案为：B⊊A．
（2）当a=0时，由题意B=∅，又A={3，5}，B⊆A，
当a≠0，B={}，又A={3，5}，B⊆A， 此时
或5，则有 a=或a=
．
故答案为：
点评： 本题考查集合关系中的参数取值问题，求解问题的关键是正确理解A⊆B的意义及对其进行正确转化，本题
中有一个易错点，即A是空集的情况解题时易漏掉，解答时一定要严密．
13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}． （Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．
考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题；数形结合；转化思想．
分析： （Ⅰ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可；
（Ⅱ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可，求解时要分两类，N是空集与不是空集．
解答：
解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）
②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，
综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）
点评： 本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是掌握由集合的包含关系得出参数所满足的不等式的方
法﹣﹣比较端点法，求解此类题时，如本题的第二小题，易因为忘记讨论空集的情况导致失解，谨记！
14．（2013•金山区一模）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|（1）求A、B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 阅读型．
分析： （1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B即可；
＜1，x∈R }．
（2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可．
解答： 解：（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A={x|a﹣2＜x＜a+2}，
由
＜1，得
＜0，即﹣2＜x＜3，∴B={x|﹣2＜x＜3}．
⇒0≤a≤1，
（2）若A⊆B，∴
∴0≤a≤1．
点评： 本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、形象．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}． （1）若A⊊B，求a的取值范围； （2）若A⊆B，求a的取值范围； （3）若A=B，求a的取值范围．
考点： 集合的包含关系判断及应用；集合的相等． 专题： 集合．
分析： （1）首先，化简集合A，然后对集合B中a的取值情况进行讨论，最后，结合条件A⊊B进行求解；
（2）根据（1），直接进行求解即可，注意等号问题； （3）直接根据集合的相等运算进行求解．
解答： 解：由集合A得：A={x|1≤x≤2}，
由集合B得：
当a=1时，B={1}，
当a＜1时，B={x|a≤x≤1 }， 当a＞1时，B={x|1≤x≤a }，
（1）∵A⊊B，且A={x|1≤x≤2}， ∴当a≤1时，显然不满足条件， 当a＞1时，
∵B={x|1≤x≤a }， ∴a＞2，
∴a的取值范围是（2，+∞）． （2）∵A⊆B，且A={x|1≤x≤2}， ∴当a≤1时，显然不满足条件， 当a＞1时，
∵B={x|1≤x≤a }， ∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）． （3）∵A=B，
∴B的集合为B={x|1≤x≤2}， ∴a=2．
点评： 本题重点考查集合与集合之间的关系，集合的相等等知识，属于基础题，难度小．
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