2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷(学生版+解析版)

2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）下列各数中，比2小的数是( ) A．3

B．1

C．0

D．2

2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2,1)，点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是( ) A．(2,1)

B．(2,1)

C．(2,1)

D．(1,2)

5，则小车上升133．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若sin的高度是( )

A．5m

B．6m

C．6.5m

D．12m

4．（3分）如图，AC是O的直径，BC是O的切线，AB交O于点D，若ABC65，则COD的度数是( )

A．65

B．55

C．50

D．60

5．（3分）下列计算正确的是( ) A．a2b2ab C．2(ab)2b2a

B．a15a5a3(a0) D．(a5)2a7

6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）

:4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是( )

A．该组成的众数是6环 C．该组成绩的平均数是6环

B．该组成绩的中位数是6环 D．该组成绩数据的方差是10

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7．（3分）如图，在RtABC中，AC4，AB5，C90，BD平分ABC交AC于点

D，则BD的长是( )

A．

25 8B．

3 2C．32 2D．35 28．（3分）若x1，x2(x1x2)是关于x的方程(x1)(3x)p20(p为常数）的两根，下列结论中正确的是( ) A．x113x2

B．x113x2

C．1x13x2

D．1x1x23

9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE2BE，

AF2DF，AE与BF交于点H，若BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是(

)

A．19

B．20

C．21

D．22

10．（3分）如图，在等腰RtABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DEDF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值是( )

A．3

B．22 C．6 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知A70，则A的余角是 ． 112．（3分）计算：()2tan45 ．

2第2页（共26页）

13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ． 14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 （结果保留)．

15．（3分）如图，在ABC中，B60，C75，将ABC绕点A顺时针旋转

(0180)得到ADE，若点C落在ADE的边上，则的度数是 ．

16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ymx2m1的图象为直线l，在下列结论中：①当m0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OHl，垂足为H，则OH的最大值是5；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，AOB为等腰三角形，则m1或论的序号）．

三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2xy1①17．（4分）解方程组：．

2x3y19②1，其中正确的结论是 （填写所有正确结218．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DEDF，连接BE，BF，求证：BEBF．

第3页（共26页）

a2a2b219．（6分）已知A(a． )aba2b2（1）化简A；

（2）若点P(a,b)是直线yx2与反比例函数y1的图象的交点，求A的值． x20．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90，则抽查的总人数是 人；

（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；

（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率．

21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．

（1）求北区居民至少有多少人？

（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值．

k22．（10分）如图，在RtABC中，ACB90，顶点A，B都在反比例函数y(x0)x的图象上，直线BCx轴，垂足为D，连接OB，OC．

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（1）若OB4、BOD60，求k的值； （2）若tanABC2，求直线OC的解析式．

23．（10分）如图，AB为O的一条弦，点C是劣弧AB的中点．

（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D． ①求证：ACB2CAD； ②若CBBD2，求AB的长．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:yx2(mn)xmn(4m0，n0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．

（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）若存在点P，使得PCA2CAO，求

OB的取值范围； OAS1的最S2（3）连接OP，设AC交OP于点D，PCD的面积为S1，OCD的面积为S2，若大值是

1

，求OB的最大值． m4

25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AADC90，ABAD10，CD15，点E，

F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG直线EF，垂足为G．点E从

点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒． （1）求BC的长；

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（2）当GEGD时，求AE的长；

（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．

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2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）下列各数中，比2小的数是( ) A．3

B．1

C．0

D．2

【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知32． 故选：A．

2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2,1)，点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是( ) A．(2,1)

B．(2,1)

C．(2,1)

D．(1,2)

【解答】解：点A的坐标是(2,1)，点B与点A关于原点O对称， 点B的坐标是(2,1)．

故选：C．

3．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若sin的高度是( )

5，则小车上升13

A．5m

B．6m

C．6.5m

D．12m

【解答】解：设小车上升的高度是xm， sin

5， 13x5， 1313解得，x5， 故选：A．

4．（3分）如图，AC是O的直径，BC是O的切线，AB交O于点D，若ABC65，则COD的度数是( )

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A．65 【解答】解：

BC切

B．55

O于C，

C．50 D．60

ACBC，即ACB90， ABC65，

A90ABC25， OAOD， ADOA25， CODAADO50，

故选：C．

5．（3分）下列计算正确的是( ) A．a2b2ab C．2(ab)2b2a

B．a15a5a3(a0) D．(a5)2a7

【解答】解：A、a2b2无法化简，故此选项错误；

B、a15a5a10(a0)，故此选项错误；

C、2(ab)2b2a，故此选项正确；

D、(a5)2a10，故此选项错误；

故选：C．

6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）

:4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是( )

A．该组成的众数是6环 C．该组成绩的平均数是6环

B．该组成绩的中位数是6环 D．该组成绩数据的方差是10

【解答】解：A、6出现了3次，出现的次数最多， 该组成绩的众数是6环，

故本选项正确；

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B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；

C、该组成绩的平均数是：(4566678)6（环)，故本选项正确；

17110D、该组成绩数据的方差是[(46)2(56)23(66)2(76)2(86)2]，故本

77选项错误； 故选：D．

7．（3分）如图，在RtABC中，AC4，AB5，C90，BD平分ABC交AC于点

D，则BD的长是( )

A．

25 8B．

3 2C．32 2D．35 2【解答】解：在RtABC中，AC4，AB5，C90，

ACAB2AC23，

过D作DEAB于E，

BD平分ABC，C90，

CDDE，

在RtBCD与RtBED中， CDED， BDBDRtBCDRtBED(HL)，

BEBC3，

AE2，

AD2DE2AE2，

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DE222(4DE)2，

DE3， 2335BDDE2BE2()232．

22故选：D．

8．（3分）若x1，x2(x1x2)是关于x的方程(x1)(3x)p20(p为常数）的两根，下列结论中正确的是( ) A．x113x2

B．x113x2

C．1x13x2

D．1x1x23

【解答】解：令y(x1)(3x)p2，

当p0时，y(x1)(3x)0的两根为：x11，x23； 当p0时，p20， 当p1时，yp2； 当p3时，yp2； 如图所示：

y3x3x2xp2x22x3p2，

x113x2．

故选：B．

9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE2BE，

AF2DF，AE与BF交于点H，若BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是(

)

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A．19

B．20

C．21

D．22

【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，

BCAD，AD//BC， CE2BE，AF2DF，

BEDF，AFCE，

AD//BC，

BEH∽FAH，



BEBHEH1， AFHFHF2HF2BH，AHHE，

SABH2SBEH4，SAFH2SABH8， SABF12，

SABCD212336， 2五边形CEHFD的面积3612222，

故选：D．

10．（3分）如图，在等腰RtABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DEDF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值是( )

A．3

B．22 C．6 D．5

【解答】解：连接PC，PD， 在RtCEF中，P为EF的中点，

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CP1EF， 2在RtEDF中， DP1EF， 2CPDP，

点P在CD的垂直平分线上运动，

作A关于CD垂直平分线的对称点A，

PAPB的最小值为AB，

在Rt△AAB中，

AB22125，

故选：D．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知A70，则A的余角是 20 ． 【解答】解：根据定义A70的余角度数是907020． 112．（3分）计算：()2tan45 5 ．

2【解答】解：原式41

5．

故答案为：5．

13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 300030005 ． x(120%)x【解答】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为： 300030005． x(120%)x第12页（共26页）

故答案为：

300030005． x(120%)x14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 100 （结果保留)．

【解答】解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为1025， 1所以圆锥的侧面积25840，圆柱的侧面积25660，

2所以每顶帐篷的表面积4060100． 故答案为：100．

15．（3分）如图，在ABC中，B60，C75，将ABC绕点A顺时针旋转

(0180)得到ADE，若点C落在ADE的边上，则的度数是 30或45 ．

【解答】解：当点C在边AD上，如图1，

B60，ACB75，

BAC180BACB180607545，

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将ABC绕点A顺时针旋转(0180)得到ADE，

DAEBAC45，

如图2，当点C在边DE上，

将ABC绕点A顺时针旋转(0180)得到ADE，

ACAE，EACB75， EACE75，

EAC180757530．

综合以上可得的度数是30或45． 故答案为：30或45．

16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ymx2m1的图象为直线l，在下列结论中：①当m0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OHl，垂足为H，则OH的最大值是5；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，AOB为等腰三角形，则m1或确结论的序号）．

【解答】解：当m0，2m10，即m当2m10，即m1时，直线l经过第一，第二，第三象限； 21，其中正确的结论是 ②③ （填写所有正21时，直线l经过第一，第三象限； 21时，直线l经过第一，第三，第四象限； 2当m0，2m10，即0m当m0时，2m10，直线l经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确； 一次函数ymx2m1m(x2)1，

当x2时，y1，即直线l经过定点(2,1)，当点H和定点(2,1)重合时，

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OH取得最大值5；即③正确；

若l与x轴交于点A，与y轴交于点B， 12m则A(，0)，B(0,2m1)，

m若AOB为等腰三角形，则|OA||OB|， |12m1||2m1|，解得m1或， m21时，点A和点B，点O重合，故不成立， 2又当m当AOB为等腰三角形，m1；故④错误．

故答案为：②③．

三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2xy1①17．（4分）解方程组：．

2x3y19②【解答】解：①②得：4y20，即y5， 把y5代入①得：x2， x2则方程组的解为．

y518．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DEDF，连接BE，BF，求证：BEBF．

【解答】证明：如图，连接BD，

在菱形ABCD中，ADBCDB， 在EDB和FDB中，

第15页（共26页）

DEDFEDBFDB， BDBDEDBFDB(SAS)，

BEBF．

a2a2b219．（6分）已知A(a． )aba2b2（1）化简A；

（2）若点P(a,b)是直线yx2与反比例函数y1的图象的交点，求A的值． xa2a2b2【解答】解：（1）A(a )aba2b2a2aba2a2b2

ab(ab)(ab)ab(ab)(ab) aba2b2ab． ab1的图象的交点， x（2）点P(a,b)是直线yx2与反比例函数yba2， 将点P(a,b)分别代入得，1baab2， ab1Aab22． ab120．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

第16页（共26页）

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90，则抽查的总人数是 200 人；

（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；

（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率． 【解答】解：（1）抽查的总人数为：5090200（人)，故答案为：200； 360（2）参与的纪律检查的人数为：2005012030（人)，条形统计图补充完整如下：

（3）把参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动分别记为A、B、C，画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小亮和小明选中同一项活动的结果有3个， 小亮和小明选中同一项活动的概率为

31． 93第17页（共26页）

21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．

（1）求北区居民至少有多少人？

（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值． 【解答】解：（1）设北区居民有x人，则南区居民有(18000x)人， 依题意得：18000x3x， 解得：x4500．

答：北区居民至少有4500人．

（2）依题意得：1500(1m)22700(14m)1800090%， 整理得：5m246m400，

解得：m10.880%，m210（不合题意，舍去）． 答：m的值为80%．

k22．（10分）如图，在RtABC中，ACB90，顶点A，B都在反比例函数y(x0)x的图象上，直线BCx轴，垂足为D，连接OB，OC． （1）若OB4、BOD60，求k的值； （2）若tanABC2，求直线OC的解析式．

【解答】解：（1）在RtBOD中，BDOBsinBDO4故点B的坐标为(2，23)，

3123，ODOB2， 22第18页（共26页）

将点B的坐标代入函数表达式得：23解得k43；

（2）tanABC2， 故设AC2t，则BCt，

k， 2设点B的坐标为(m,n)，则点A的坐标为(m2t,nt)、点C(m,nt)， 将点A、B的坐标代入函数表达式得：(m2t)(nt)mn， 1解得tmn，

21则点C的坐标为(m,m)，

2设直线OC的表达式为yrx，

11将点C的坐标代入上式并解得：mrm，解得r，

221故直线OC的表达式为yx．

223．（10分）如图，AB为O的一条弦，点C是劣弧AB的中点．

（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D． ①求证：ACB2CAD； ②若CBBD2，求AB的长．

【解答】（1）解：如图，点C为所作；

（2）证明：OCAB，

第19页（共26页）

AHBH，ACBC，

AOCBOC， OAOC，OCOB， OACOCABCO， ACB2CAD；

（2）解：AD交O于E，如图，

AE为直径，

ABE90， BE//OC， BCBD2，

1BEOC，

2OH//BE， BE2OH，

设OHx，则BE2x，OC4x，

CH3x，

在RtBOH中，BH(4x)2x215x， 在RtBCH中，(3x)2(15x)222，解得xAB2BH215x215610． 66， 624．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:yx2(mn)xmn(4m0，n0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．

（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）若存在点P，使得PCA2CAO，求

OB的取值范围； OAS1的最S2（3）连接OP，设AC交OP于点D，PCD的面积为S1，OCD的面积为S2，若大值是

1

，求OB的最大值． m4

【解答】解：（1）对于yx2(mn)xmn①，令yx2(mn)xmn0，解得xm或

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n，令x0，则ymn，

故点A、B、C的坐标分别为(m,0)、(n,0)、(0,mn)；

（2）当抛物线的对称轴在y轴及其右侧都不会存在PCA2CAO，故抛物线的对称轴在

y轴左侧，如图1，

作点A关于y轴的对称点A(m,0)，则CACA，则CAOCAO，

PCA2CAOCAOCAO，即ACP是△AAC的外角，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为ynxmn②， xm2n联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 2y2mn2n故点P的坐标为(m2n,2mn2n2)，

P是抛物线G位于第三象限上的点，

m2n0n1故，解得， 2m22mnn0n0，m0，故n0， m而

OBn， AOmOB1； OA20

（3）设点P的坐标为(x，x2(mn)xmn)，过点P作PE//OC交AC于点E，

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由点A、C的坐标，同理可得，直线AC的表达式为ynxmn，则点E的坐标为(x,nxmn)，

则PEyEyP(nxmn)[x2(mn)xmn]x2mx， 而OCmn，

PCD和OCD是同高的两个三角形，

故其面积比等于DP:OD，

PE//OC， PDE∽ODC，

则DP:ODPE:OC， 

S1PE111m(x2mx)(xm)2， S2COmnmn24nS1m0，故1有最大值为，

S2mn4n即m1， 4nm411解得：nm2m(m2)211，

44当m2时，n有最大值为1．

即OB的最大值为1．

25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AADC90，ABAD10，CD15，点E，

F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG直线EF，垂足为G．点E从

点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒． （1）求BC的长；

（2）当GEGD时，求AE的长；

（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．

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【解答】解：（1）如图1，过点B作BHCD于点H，则四边形ADHB是矩形，

AB10，CD15， CH5，

又BHAD10，

BCBH2CH21025255；

（2）过点G作MNAB，如图2，

AB//CD， MNCD，

DGEF，EGDG，

EMGGND(AAS)，

MGDN，

设DNa，GNb，则MGa，MEb，

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点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，

BE2t，AE102t，DF3t，CF153t， AMDN，ADMN，

ab10，ab102t，解得a10t，bt， DGEF，GNDF， DGN∽GFN，



GNNF， DNGNGN2DNNF，

GN2t2， NFDN10t又

DFDNNF，

t2， 3t10t10t解得t55， 又0t3， t55， AE102t25．

（3）如图3，连接BD，交EF于点K，

BE//DF，

BEK∽DFK，



BKBE2t2， DKDF3t3ABAD10，

又

BD2AB102，

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3DKBD62，

5取DK的中点，连接OG，

DGEF，

DGK为直角三角形，

1OGDK32，

2点G在以O为圆心，r32的圆弧上运动，

连接OC，OG，由图可知CGOCOG， 当点G在线段OC上时取等号，

ADAB，A90，

ADB45， ODC45，

过点O作OHDC于点H， 又OD32，CD15，

OHDH3， CH12，

OCOH2CH2317，

则CG的最小值为3(172)，

当O，G，C三点共线时，过点O作直线ORDG交CD于点S，

ODOG，

R为DG的中点，

又DGGF，

OS//GF，

点S是DF的中点，

OCSC， OGSF33DSSFt，SC15t，

22315t3172， 

332t2第25页（共26页）

t2344， 32344时，CG取得最小值为31732． 3即当t第26页（共26页）