专题5 构造函数证明不等式 一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．
二、解题秘籍 (一) 把证明此类问题一般是
转化为证明
有最小值,
有最小值且比较容易求,或者
但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极
值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围
此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.
(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式
此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：
①去分母,把分数不等式转化为整式不等式； ②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式； ③两边同时除以,此方法适用于以下两类问题： (i)不等式为(ii)不等式中含有考虑此法.
类型,且的符号确定；
,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可
(六) 通过减元法构造函数证明不等式
对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.
(七) 与数列前n项和有关的不等式的证明
此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,,n代换,然后用叠加法证明.
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