广东省深圳市宝安中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

宝安中学2015—2016学年第一学期期末考试

高一数学试题

命题：许世清 审题：陶金娥 2016.01.25 选择题（1—12题，每小题5分，共60分） 1. 角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于

A.5

5

25B. 5

C．－

5

525D．－

5

2.已知向量a(5,6)，b(10,12)则a与b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 3.sin2015 31133 B C  D 

2222 A

1的零点所在的大致区间是 x1133 A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）

222215.在△ABC中，D是AB上一点，若AD=2DB，CD=CA+CB，则=

31122 A B  C D 

33336．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝

x4.函数fx2

A．5 B．4 C．3

 D．2

7.设向量a与b满足a2，b在a方向上的投影为1，若存在实数，使得a与ab垂直，则 A．

1 B．1 C．2 D．3 28.将函数f(x)3sin(平移

x)的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右232个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象,则函数yg(x)的解析3式是

1

A．g(x)3sinxx1 B.g(x)3sin1 22C.g(x)3sin2x21 D.g(x)3sin2x21

rrrrrrrr9.设向量a,b的夹角为，定义a,b的向量积：ab是一个向量，它的模|ab|= rrrrrr|a||b|sin，若a(3,1)，b(1,3)，则|ab|=

A.3

10.下列函数中，在(,0)上为减函数的是 A.yx20162015 B. 23

C. 2 D. 4

B.yx20132015

C.yx20142015

D.yx20152016

cos x

11．函数y＝sin x||(0sin x

x12．已知函数f(x)()log2x实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若实数

13x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是 ．．．

A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c 填空题（13—16题，每小题5分，共20分）

13. 函数ylog1(x2x)的单调递减区间是_______________．

22D．x0＞c

14．若xlog43，则(2x2x)2

15.设f(x)asin(x)bcos(x)4(a,b,,是常数)，且f(2015)5，

则f(2016)

16.给出下列命题:①若ab0,则ab0; ②已知A(x1,y1),B(x2,y2),则

xx2y1y21AB(1,); 22222③已知a,b,c是三个非零向量,若ab0,则|ac||bc|;

④已知10,20,e1,e2是一组基底,a1e12e2则a与e1不共线,a与e2也不共线; ⑤若a与b共线,则ab|a||b|.其中正确命题的序号是 .

2

解答与证明题（17—22题，共70分） 17.(本小题满分10分)

已知|a||b|1，a与b的夹角为120°， 求： ⑴ab； ⑵(3b2a)(4ab).

18.（本题12分）

设函数f(x)x22xa(0x3,a0)的最大值为m，最小值为n. (1)求m，n的值(用a表示)；

2sin()sin(3(2)若角的终边经过点P(m1,n3)，求

2)的值.

cos()cos(52)

19.(本小题满分12分) 已知α∈(0，

2)，且cos2α＝45. (Ⅰ)求sinα＋cosα的值； (Ⅱ)若∈(2，π)，且5sin(2α＋β)＝sinβ，求角β的大小 ．

3

20.（本题12分）

某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,列表并填入的部分数据如下表： 2)在某一个周期内的图象时，

7 3x x Asin(x) x1 0 0 1 3x2  0 x3 2  23 23 3 0 （1）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；

（2）将f(x)的图象沿x轴向右平移

2个单位得到函数3g(x)的图象，P、Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低

点（如图），求OQP的大小； (3)求OQP的面积.

21.（本题12分）

由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步

16x80x2溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为yx2。

2x44x只有当河流中碱的浓度不低于．．．1时，才能对污染产生有效的抑制作用。

（1）判断函数的单调性（不必证明）；

（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.

22.（本题12分）

设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g（a）. （1）求函数f(x)的定义域；

4

（2）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）； （3）求g（a）；

高一数学试题答案

选择题（1—12题，每小题5分，共60分） BDDB ABCB CABD

填空题（13—16题，每小题5分，共20分） 13. (2,) 14．

415.3 16.①③④

3

解答与证明题（17—21题，共70分） 17.(本小题满分10分) 解：⑴ab|a||b|cos21 …5分 32⑵ (3b2a)(4ab)8|a|210ab3|b|210 …10分

18.（本题12分）

解：(1)可得f(x)(x1)21a，而0x3，

∴mf(1)1a，nf(3)3a；………………………………………………6分 (2)由(1)知角的终边经过点P(a,a)，tan1，所以cos0， 原式=

2sincos，

cossin2tan13……………………………………12分

1tan2分子分母同时除以cos得原式=19.(本小题满分12分) 解：(I)由cos2α＝ 所以sin2α＝

44，得1－2sin2α＝. ……2分 55110. ……3分 ，又α∈0，，所以sinα＝101029 因为cos2α＝1－sin2α，所以cos2α＝1－1＝.

1010310 ……5分 又α∈，所以cosα＝0，102 所以sinα＋cosα＝10310210＋＝. ……6分 10105 5

 (Ⅱ)因为α∈0，，所以2α∈0，， 2 由已知cos2α＝

34，所以sin2α＝1-cos22＝ 116＝ ……7分

5525 由5sin(2α+β)＝sinβ，得5(sin2αcosβ＋cos2αsinβ)＝sinβ. ……9分

所以5(

3cosβ＋sinβ)＝sinβ，即3cosβ＝－3sinβ，所以tanβ＝－1. ……11分 53 因为β∈，， 所以β＝. ……13分

4220.（本题12分） 解：（1）x12410，x2，x3 所以f(x)3sin(x)

23 ………………4分333（2）将f(x)的图像沿x轴向右平移

2个单位得到函数g(x)3sinx

2 3因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点，所以P(1,3),Q(3,3) 所以，QO(3,3),QP(2,23)

|QO|12,|QP|4,QOQP12M

cosOQPQOQP|QO||QP|1232 234所以OQP（3）OM

6.…………………………8分

T2根据函数图像的对称性可知线段 2PQ必过点M(如图)SOQPSPOMSQOM

11|yP|OM|yQ|OM22|yP|OM2321.（本题12分）

解：（1）函数在[0,2]上单调递增，在(2,4]上单调递减；……………………2分

…………………………………………12分

51716517x81517x（2）x22x2--------4分 220x20x2

6

4x12x3………………………………………………………………5分 2x4综上，得517x3………………………………………………………………6分 2即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为

3517117………………………………………………………7分 22（3）由（1）知，当0x2时，y16x8单调递增 x2当2x4时，y4x单调递减

所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱， 即2x4时，

1616y4x(x2)814(2x)…………………………10分

x(x2)2记f(x)2x单调递增。

对任意x1,x2满足，2x1x222，

16，下面用单调函数的定义证明f(x)在(2,22)上单调递减，(22,4)上xf(x1)f(x1)(2x11616)(2x2)x1x22xx16(x1x2)120x1x2

f(x1)f(x2)，所以，f(x)在(2,22)上单调递减，同理可证，f(x)在(22,4)上单

调递增。 故当且仅当2x16,即x22时，f(x)minf(22)82， x所以y有最大值1482。……………………………………………………………12分 22.（本题12分）

1x20 （1）依题得：1x0，解得：1x1。函数f(x)的定义域为[1,1]；

1x0 ………………………………2分 （2）∵t1x1x，∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1

∵t

2221x2[2,4]，且t0……① ∴t的取值范围是[2,2]。

7

…………………………………4分 由①得：

1x21211t1，∴m(t)a(t21)tat2ta，t[2,2]。 22212atta，t[2,2]的最大值， 2 …………………………………………………6分 （3）由题意知g(a)即为函数m(t)∵直线t112是抛物线m(t)atta的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： a21）当a0时，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

由t1a0知m(t)在t[2,2]上单调递增，故g(a)m(2)a2；……7分2）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2；………………………………8分

3）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

若t1a(0,2]即a22时，g(a)m(2)2，

若t1a(2,2]即a(22,12]时，g(a)m(11a)a2a， 若t1a(2,)即a(12,0)时，g(a)m(2)a2．………………11分

g(a)(a1=a2综上所述，有2)a1,(2．…………………………………………12分2a2a12)2(a22)8