1、（2011•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部队的面积．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
2、（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
3、（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于2？请说明理由．
5
4、（2011•杭州）在△ABC中，AB= 3，AC= 2，BC=1． （1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
5、（2011•贵阳）在▱ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E． （1）圆心O到CD的距离是 _________ ．
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
∠AFC=30°．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）若半径ON⊥AD于点M，CE= 3，求图中阴影部分的面积．
6、（2011•抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，
7、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=2∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=
51
5，求BC和BF的长．
8、（2010•义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是𝐴𝐸的中点，
1OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=2，BC=2 3．
（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线 （3）求MD的长度．
9、（2010•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切与点D，
弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD． （1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB= 3：2，求⊙O的半径及DF的长．
的中点，过点D10、（2010•绍兴）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是𝐴𝐵作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
11、（2010•丽水）如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16cm，𝑐𝑜𝑠∠𝑂𝐵𝐻
=
45
．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
1、（2011•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部队的面积．
考点：扇形面积的计算；垂径定理。
分析：（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解． 解答：解：（1）在△OCE中， ∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2， ∴OE=2OC=1， ∴CE=
31
2OC= 3，
∵OA⊥CD， ∴CE=DE， ∴CD=2 3；
11（2）∵S△ABC=2AB•EC=2×4× 3=2 3，
∴𝑆
1 3=2𝜋﹣2 3． =𝜋×2﹣22阴影2
点评：本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解． 2、（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D． （1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。 专题：综合题。 分析：（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判
定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可． 解答：解：（1）CD与⊙O相切； 证明：连接OC， ∵CA=CB， ∴𝐴𝐶=𝐶𝐵 ∴OC⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°， ∴∠DOC=60° ∴∠D=30°， ∵OA=2， ∴OC=2 ∴CD= 𝐷𝑂
2﹣𝑂𝐶2=2 3
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
3、（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于2？请说明理由．
5
考点：正多边形和圆；等边三角形的性质；平移的性质。 专题：计算题。
分析：（1）取出⑤，观察图象，根据图象进行平移即可； （2）可以做到．先求出每个等边三角形的面积𝑆1据2﹣2覆盖住正六边形即可．
解答：解：（1）取出⑤，向上平移2个单位；
33 3= 4，得到正六边形的面积为
2，根3 35
答：取出的是三角形⑤，平移的方向向上平移，平移的距离是2个单位．
（2）解：可以做到．
理由是：∵每个等边三角形的面积是𝑆1∴正六边形的面积为𝑆6而0＜𝑆6﹣∴只需用⑤的（3= 4，
3=6𝑆1=32＞52，
5
2
3 32
=
3 325
﹣2＜5 34
=𝑆1，
点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意进行计算是解此题的关键．
4、（2011•杭州）在△ABC中，AB= 3，AC= 2，BC=1． （1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 考点：圆锥的计算；勾股定理；解直角三角形。
专题：计算题；证明题。 分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，利用三角函数计算出sinA，然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°；
﹣2）面积覆盖住正六边形就能做到．
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可．
解答：解：（1）∵BC+AC=1+2=3=AB， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠． ∵𝑠𝑖𝑛𝐴
2
2
2
=
𝐵𝐶𝐴𝐵
=
1
＞2=𝑠𝑖𝑛30°，
31
∴∠A≠30°． （2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥， ∴圆锥的底面圆的半径= 2，
∴圆锥的底面圆的周长=2π• 2=2 2π；母线长为 3，
2∴几何体的表面积 2× 3π+π×（ 2）= 6π+2π．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积=2l•R（l为弧长，R为扇形的半径）；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值．
5、（2011•贵阳）在▱ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E． （1）圆心O到CD的距离是 5 ．
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
1
考点：切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算。 分析：（1）连接OE，则OE的长就是所求的量；
（2）阴影部分的面积等于梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差． 解答：解（1）连接OE． ∵边CD切⊙O于点E． ∴OE⊥CD
则OE就是圆心O到CD的距离，则圆心O到CD的距离是2×AB=5． 故答案是：5；
1
（2）∵四边形ABCD是平行四边．
∴∠C=∠DAB=180°﹣∠ABC=120°， ∴∠BOE=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°， ∴∠AOE=90°， 作EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°， ∴OF=3．EC=BF=5﹣3． 则DE=10﹣5+3=5+3，
则直角梯形OADE的面积是：2（OA+DE）×OE=2（5+5+3）×5=25+6．
5 35 35 35 3115 325 390𝜋×525𝜋扇形OAE的面积是：360=4．
则阴影部分的面积是：25+6﹣4．
点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确作出辅助线，把阴影部分的面积转化为梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差是解题的关键．
6、（2011•抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．
（1）求证：CF为⊙O的切线． （2）若半径ON⊥AD于点M，CE= 3，求图中阴影部分的面积．
2
25 325𝜋
考点：切线的判定；扇形面积的计算。 专题：计算题。 分析：（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sin∠ECO的值为2，可得∠ECO为30°，进而得到∠EOC为60°，又∠CFO为30°，可得∠OCE为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；
（2）由（1）得出的∠COF=60°，根据对称性可得∠EOD为60°，进而得到∠DOA=120°，由OA=OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到∠DOM为60°，在直角三角形OCE中，由CE的长及∠ECO=30°，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由∠MDO=30°，半径OD=2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积．
解答：解：（1）∵CD垂直平分OB，∴OE=2OB，∠CEO=90°， ∵OB=OC， ∴OE=2OC，
1
1
1
在Rt△COE中，sin∠ECO=𝑂𝐶=2， ∴∠ECO=30°， ∴∠EOC=60°， ∵∠CFO=30°，
∴∠OCE=90°，又OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠COF=60°，
由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°， ∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
𝐸𝑂1
𝐸𝐶在Rt△COE中，CE= 3，∠ECO=30°，cos∠ECO=，
𝑂𝐶∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°， ∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcos30°= 3，
60𝜋×22∴S扇形OND=360=3π，
∴S△OMD=OM•DM=2
1
2 32，
2
3∴S阴影=S扇形OND﹣S△OMD=3π﹣2．
点评：此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径．对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的．
7、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=2∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=
51
5，求BC和BF的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可． 解答：（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF=∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G． ∵sin∠CBF=∴sin∠1=
51
2125，∠1=∠CBF，
55 ∵∠AEB=90°，AB=5， ∴BE=AB•sin∠1= 5， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2 5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2 5， ∴sin∠2=
2 5，cos∠2= 5， 55
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴𝐺𝐶𝐴𝐺
=𝐵𝐹𝐴𝐵
𝐺𝐶•𝐴𝐵20𝐴𝐺=3
∴BF=
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
8、（2010•义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是𝐴𝐸的中点，
1OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=2，BC=2 3．
（1）求∠A的度数； （2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求MD的长度．
考点：圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；特殊角的三角函数值。 专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数． （2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度． 解答：解：（1）∵∠BOE=60°，∴∠A=2∠BOE=30°．（2分）
（2）在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．（1分） 又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．（2分） ∴BC是⊙O的切线．（3分）
的中点，∴
（3）∵点M是𝐴𝐸OM⊥AE．（1分）
1
1
2
在Rt△ABC中，∵BC=2 3，∴AB=BC•tan60°=2 3× 3=6．（2分） ∴OA=
𝐴𝐵133
=3，∴OD=OA=，∴MD=．2222（3分）
点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 9、（2010•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切与点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD． （1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB= 3：2，求⊙O的半径及DF的长．
考点：切线的性质；垂径定理；解直角三角形。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；
（2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长． 解答：（1）证明：连接OD． ∵直线CD与⊙O相切与点D， ∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分） 又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°． ∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD． （3分） 又∵∠EOD=2∠B， ∴∠CDE=2∠B． （4分）
（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． （5分） ∵BD：AB= 3：2， ∴在𝑅𝑡
△𝐴𝐷𝐵中𝑐𝑜𝑠𝐵=
𝐵𝐷𝐴𝐵
=
32
，
∴∠B=30°． （6分） ∴∠AOD=2∠B=60°． 又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°． （7分） 在Rt△CDO中，CD=10，
10∴OD=10tan30°=3 3，
10
即⊙O的半径为3 3． （8分）
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°， ∴DE=CDsin30°=5． （9分） ∵DF⊥AB于点E， ∴DE=EF=2DF．
∴DF=2DE=10． （10分）
1
点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．
的中点，过点D
10、（2010•绍兴）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是𝐴𝐵作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题。
分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．
（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的的半径． 解答：解：（1）连接OD交于AB于点G． 的中点，OD为半径， ∵D是𝐴𝐵∴AG=BG．（2分） ∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线． ∴OG∥BC， 即OD∥CE．（2分） 又∵CE⊥EF， ∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．（1分）
（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8， ∴CF=10．（1分）
设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，
∵OD∥CE， ∴△FOD∽△FCE， ∴𝐹𝑂𝐹𝐶=𝑂𝐷（2分）
𝐶𝐸，∴10∴r=
10﹣2𝑟𝑟
=6， 3011，
30
即：⊙O的的半径为11．（2分）
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质． 11、（2010•丽水）如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16cm，𝑐𝑜𝑠∠𝑂𝐵𝐻
=
45
．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
考点：垂径定理；切线的性质；解直角三角形。 分析：（1）Rt△OHB中，由垂径定理易得BH的长，可利用∠OBH的余弦函数求出半径OB的长；
（2）由切线的性质知，若直线l与⊙O相切，那么直线l必过C点，故所求的平移距离应该是线段CH的长． Rt△OHB中，根据勾股定理，可求出OH的长．CH=OC﹣OH． 解答：解：（1）∵直线l与半径OC垂直， ∴HB=2AB=2×∵cos∠OBH=
11
16=8（cm）． （2分）
𝐻𝐵4
𝑂𝐵=5，
∴OB=4HB=4×8=10（cm）；（2分）
55
（2）在Rt△OBH中， OH= 𝑂𝐵
2﹣𝐵𝐻2= 102﹣82=6（cm）． （2分）
∴CH=10﹣6=4（cm）．
所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm．（2分）
点评：此题综合考查了垂径定理、切线的性质及解直角三角形的应用．
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