离散时间系统的时域分析

§7-1 概述

一、离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。

二、连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：

连续信号取样 离散信号量化 数字信号

三、离散信号的表示方法：

1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k为序号，

相当于时间。

例如：f(k)=sin(0.1k) 2、

（有序）数列：将离散信号的数值按顺序

排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。

四、典型的离散时间信号

⎧1k=0

1、 单位样值函数：δ(k)=⎨0其它

⎩

下图表示了δ(k−n)的波形。

这个函数与连续时间信号中的冲激函数

δ(t)相似，也有着与其相似的性质。例如：

f(k)δ(k)=f(0)δ(k)，

f(k)δ(k−k0)=f(k0)δ(k−k0)。

⎧1k≥0

2、 单位阶跃函数：ε(k)=⎨0其它

⎩

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数ε(t)相似。用它可以产生（或表示）单边信号

（这里称为单边序列）。

k

3、 单边指数序列：aε(k)

(a) a=0.9 (d) a=−0.9

(b) a=1 (e) a=−1

(c) a=1.1 (f) a=−1.1

atat

比较：单边连续指数信号：eε(t)=(e)ε(t)，其

底一定大于零，不会出现负数。

4、 单边正弦序列：Acos(ω0k+φ)ε(k)

双边正弦序列：Acos(ω0k+φ)

五、离散信号的运算

1、 加法：f(k)=f1(k)+f2(k)<—相同的k对应的数相加。

2、 乘法：f(k)=f1(k)⋅f2(k) 3、 标量乘法：f(k)=a⋅f1(k) 4、 移序：f(k)=f1(k−n)

当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序； 当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。

六、线性移不变离散时间系统 1、 线性离散时间系统

系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性

关系的离散时间系统。

a1e1(k)+a2e2(k)⇔a1r1(k)+a2r2(k)

2、 移不变离散时间系统

系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 e(k−n)⇔r(k−n) 3、 线性移不变离散时间系统 同时满足线性和移不变性的系统。

七、离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理

离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：

1）怎样进行抽样？

2）如何抽样才能不损失原来信号中的信

息？

一、抽样器及其数学模型

抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路

它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，

其中的开关函数为：

s(t)=

k=−∞

∑Gτ(t−kT)

+∞

+∞

当τ→0时，开关函数近似为：

lims(t)=limττ→0

τ→0

k=−∞

∑δ(t−kT)=τlimτ⋅δ→0

T(t)

可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即：

s(t)=

k=−∞

∑δ(t−kT)=δ+∞

T(t)

这样，抽样以后的信号为：

fs(t)=f(t)⋅s(t)=f(t)

+∞

=

k=−∞

∑f(t)δ(t−kT)=∑f(kT)δ(t−kT)

k=−∞

k=−∞

+∞

∑δ(t−kT)

+∞

显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。

(a) 开关函数 （b）单位冲激序列

二、 抽样定理

显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在

何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？

1、 抽样信号的频谱：

fs(t)=f(t)

k=−∞

∑δ(t−kT)

+∞

1⎡+∞⎤

Fs(jω)=F(jω)*⎢ωs∑δ(ω−kωs)⎥

2π⎣k=−∞⎦

ωs

=2πk=−∞

∑F(jω)*δ(ω−kω)

s

+∞

1+∞

=∑F(jω)*δ(ω−kωs)Tk=−∞

2π其中ωs=T，称为抽样（角）频率；T称为抽样

（取样）周期。

可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化的结果。

（a） 原信号f(t) (b) 原信号的频谱F(jω) （c）单位冲激序列δT(t) （d）单位冲激序列的频谱ωsδωs(ω) （ωs= (e)fδ(t)=2π） T1τfs(t)=f(t)δT(t) (f) fδ(t)的频谱

如果原来信号最大频率分量为的谱ωm，抽样频率ωs>2ωm，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为ωs/2、增益为T的ILPF，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:

ωs⎛ωct⎞⎛ωct⎞

h(t)=TSa⎜⎟ ⎟=Sa⎜

2π⎝2⎠⎝2⎠

则

f(t)=

n=−∞

∑

+∞

⎡(t−nT)ωs⎤

f(nT)Sa⎢⎥ 2⎣⎦

这个定理称为Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在

ωs>2ωm时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。

能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率ωs=2ωm称为Nyquist抽样频率，或Shannon抽样频率。

z 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相反：首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。 z 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结果不变。

z 恢复信号时，ILPF是不可能实现的，只能用其它的LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一般取ωm的3~5倍。

抽样信号经过非理想低通滤波器

z 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquist抽样定理还可以做适当修改。

z 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。

z 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信号，从而可以用数字信号处理系统进行处理，达到模拟信号处理无法达到的效果。

e(t) 采样A/D转换DSP处理

D/A转换r(t) LPF 滤波 §7-3 离散时间系统的描述

离散时间系统的描述方法有三种：

1） 数学模型——>差分方程 2） 物理模型——>框图

3） 系统函数——>Z.T.，在第八章中介绍。

一、 数学模型

离散时间系统处理的信号是离散信号，信号只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。

例1：人口（或虫口）问题：

z 假设人口的年出身率为a，则k年人口y(k)和下一年的人口y(k+1)之间的关系为：

y(k+1)=(1+a)y(k) <—前向（预测）方程； 或：y(k)=

1

y(k+1)<—后向（滤波）方程； (1+a)

或：y(k+1)−(1+a)y(k)=0<—一般差分方程。

z 差分方程与微分方程一样，也必须有初始条件。

如果已知y(0),则可以得到差分方程的解：

y(1)=(1+a)y(0),

y(2)=(1+a)y(1)=(1+a)2y(1), y(3)=(1+a)y(2)=(1+a)3y(0), y(k)=(1+a)ky(0)

z 差分方程也可以加激励：假设k年从外地引入x(k)个人，则：y(k+1)=(1+a)y(k)+x(k)。

例2：Fibonacci数列：假设每一对兔子每月生一对小兔子，而小兔子在一个月以后才会后生育能力。如果在第一个月内有一对小兔子，问：到n个月时，有几对兔子？

解：假设y(k)代表第k个月兔子的总对数，则： 1） 这y(k)对兔子在k+2月生y(k)对小兔子，即在k+2月必然有y(k)个小兔子；

2） 除了小兔子以外，k+1月存在的兔子在k+2月必然都长成大兔子

所以，第k+2月兔子的总对数为： y(k+2)=y(k)+y(k+1) 或者：y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0

差分方程的一般形式：

r(k+n)+an−1r(k+n−1)+...+a1r(k+1)+a0r(k)

=bme(k+m)+bm−1e(k+m−1)+...+b1e(k+1)+b0e(k)

z 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微分计算变成了移序计算；

z 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最大移序与最小移序之差；

z 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个数必须等于差分方程的阶数；

z 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系统可以用一个常系数差分方程描述。 z 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程求近似数值解。

二、物理模型

与连续时间系统一样，离散时间系统也可以用框图的形式描述。 1、 基本运算单元

离散时间系统框图的基本运算单元有加法器、标量乘法器和延时（移序）器构成。

y(k)=x(k−1) y(k)=x(k−1)+y(0)

(a)初始条件为零 (b)初始条件不为零

延时器

2、 离散时间系统框图的构成

离散时间系统框图构成与连续时间系统很相似，只不过将其中的积分器变成延时（移序）器。

离散时间系统的初始状态可以包含在延时（移序）器中。

e(k)y(k+1) ∑y(k) D a− 一阶离散时间系统的模拟框图

n阶离散时间系统模拟框图

§7-4 离散时间系统的零输入响应

离散差分方程的解法： 1） 时域经典法

与微分方程一样，将解分为通解（齐次解）和特解两部分。首先确定形式解，再代入初始条件（或边界条件），确定其中的待定系数。 优点：物理概念清晰，可以一次得到全部解； 缺点：特解有时很难求，不实用。 2） 近代时域法：

将解分为零输入响应rzi(k)和零状态响应

rzs(k)两部分。对零输入响应rzi(k)仍然用时域

经典法；零状态响应rzs(k)用卷积和求解。

这种方法是求解差分方程的主要方法； 3） 变换域解法：Z变换（ Z.T.），相当于连续时

间系统中的L.T.变换法。在第八章中介绍。 4） 数值解法：利用前向预测形式的差分方程，

通过迭代计算的方法，得到数值解。这种方法用计算机求解比较方便，但是无法得到通式。

例如：对于Fibonacci问题，有差分方程：

y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0； Î Î

y(k+2)= y(k+1)+y(k)； y(k)= y(k-1)+y(k-2)；

现在已知：y(0)=0,y(1)=1,则可以得到： y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,y(6)=8,……

本章重点介绍近代时域法。

首先，在本节中介绍近代时域法中零输入响应rzi(k)的求法，或齐次差分方程的求解方法。

一、 差分方程的算子表示法

为了记录方便，引入移位算子S：

S⋅y(k)=y(k+1)

则可以将一般的差分方程

r(k+n)+an−1r(k+n−1)+...+a1r(k+1)+a0r(k)=bme(k+m)+bm−1e(k+m−1)+...+b1e(k+1)+b0e(k)

记为：

Sn⋅r(k)+an−1Sn−1⋅r(k)+...+a1S⋅r(k)+a0r(k)=bmSm⋅e(k)+bm−1Sm−1⋅e(k)+...+b1S⋅e(k)+b0e(k)

或：

r(k)=H(S)e(k)

其中：

bmSm+bm−1Sm−1+bm−2Sm−2+...+b1S+b0

H(S)=

Sn+an−1Sn−1+an−2Sn−2+...+a1S+a0

二、零输入响应rzi(k)的求法

零输入响应rzi(k)对应于齐次差分方程：

1

H(S)=n

S+an−1Sn−1+an−2Sn−2+...+a1S+a0

1=

D(S)

或：

rzi(k+n)+an−1rzi(k+n−1)+...+a1rzi(k+1)+a0rzi(k)=0

1、一阶系统

rzi(k+1)+a0rzi(k)=0

—>rzi(k+1)=−a0rzi(k) 假设：rzi(0)已知，则：

rzi(1)=−a0rzi(0)；rzi(2)=(−a0)2rzi(0)； rzi(3)=(−a0)3rzi(0)；… ∴rzi(k)=(−a0)krzi(0)

󰂗 分析上面的结论，其中的(−a0)可以定义为系统的特征方程的特征根，相应的解中就有了

(−a0)k。结合在求解微分方程中的一些结论，

可以分析出求解差分方程的零输入响应的基本思路，猜想它应该有下面的形式：

rzi(k)=C1v1+C2v2+C3v3+......

其中vi为差分方程的特征根。 2、n阶系统

与微分方程求解方法相似，也分为以下几部： （1） 求特征方程——即H(S)的分母多项式—

—D(S)=0根（特征根）ν1、ν2、…、νn； （2） 根据D(S)=0的根，确定r(k)的形式解：

a、 假设D(S)=0没有重根，则其形式解为：

kkk

rzi(k)=C1(ν1)+C2(ν2)+...+Cn(νn)ε(k)

kkk

[]b、 假设D(S)=0有重根，假设ν1是一个m重根，则形式解为：

rzi(k)

=(C1+C2k+...+Cmkm−1)(ν1)k+Cm+1(νm+1)k+...+Cn(νN)kε(k)

[] 其余情况以此类推。

（3） 带入初始条件，确定待定系数。 对于一般差分方程，初始条件为

rzi(0)~rzi(n−1)。将它带入形式解中，可以得

到n元一次线性方程组：

rzi(0)=C1+C2+...+Cn

rzi(1)=C1(ν1)+C2(ν2)+...+Cn(νn) rzi(2)=C1(ν1)2+C2(ν2)2+...+Cn(νn)2

……

rzi(n−1)=C1(ν1)n−1+C2(ν2)n−1+...+Cn(νn)n−1

由此不难确定待定系数。

例：求解Fibonacci数列。 其差分方程为： y(n+2)-y(n+1)-y(1)=0 特征方程为：

S2−S−1=0

特征根为：

1+51−5ν1=ν2=，2 2

所以，齐次差分方程的形式解为：

kk⎤⎡⎛⎛1−5⎞1+5⎞⎢⎜⎟⎟⎥ε(k)+C2⎜y(k)=C1

⎜2⎟⎥ ⎢⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦

带入初始条件y(0)=0,y(1)=1,有：

⎧5

C=C1+C2=0⎧⎪⎪1⎪5∴⎨1−5⎨1+5

+CC2=1 ⎪C=−5 1⎪22⎩2⎪5⎩

kk⎤⎡⎛⎞⎛⎞5⎜1+5⎟5⎜1−5⎟⎥⎢ε(k)−∴y(k)=

⎜⎟⎜⎟ ⎢5⎝2⎠5⎝2⎠⎥

⎣⎦

三、特征根与系统稳定性

在离散系统信号处理中，同样需要满足稳定性条件。系统的响应不应该随着k→∞而趋向无穷大，而应该是一个有限的值。所以，对于系统的零输入响应中的各个分量，都应该随k→∞而有限。

m

limν=0limkν<11、 当时，k→∞，k→∞ν=0（有

k

k

重根时），系统稳定。 2、 当ν=1时，

ν1） 如果没有重根，klim→∞

kν2） 有重根时， klim→∞

k

k

≡1，系统临界稳定；

=∞，系统不稳定。

ν3、 当ν>1时，klim→∞

k

=∞，系统不稳定。

ν是一个复数，可以在复平面上表示为一个点。复平面上每一个点都对应一个信号模式。

系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心、半径为1的圆——单位圆——的内部，在单位圆上最多只能有单根。

比较：连续时间系统的稳定条件。

§7-5 离散时间系统的零状态响应

rzs(k)的解法：

1） 经典法：分通解和特解两部分分别求解。 2） 时域卷积和法：类似于连续时间系统中的卷

积积分方法。

3） 变换域法：Z.T. ，类似于L.T.

本节介绍卷积和法。

一、 离散信号的时域分解

选用子信号——单位函数δ(k)，可以将离散时间信号分解为很多个单位函数δ(k−i)之和：

e(k)=

i=−∞

∑e(i)δ(k−i)

+∞

+∞

引入卷积和计算：

x(k)*y(k)=

i=−∞

∑x(i)y(k−i)

则可以将上式简记为：

e(k)=e(k)*δ(k)

二、 rzs(k)的求解

假设线性移不变系统对δ(k)的响应（单位函数响应）是h(k)，

则：对δ(k−i)的响应是h(k−i)，<—移不变 对e(i)δ(k−i)的响应是e(i)h(k−i)，<—齐次性

i=−∞

∑e(i)δ(k−i)响应是∑e(i)h(k−i)，<—叠加性

i=−∞

+∞+∞

即：系统对激励信号e(k)的响应r(k)为：

r(k)=

i=−∞

∑e(i)h(k−i)=e(k)*h(k)

+∞

所以，如果知道系统的单位函数响应，通过卷积和计算，就可以得到系统对任意信号的响应。 z 假设激励信号是一个有始信号，则上面的卷积和公式中的求和上下限可以简化为：

r(k)=e(k)*h(k)=

∑e(i)h(k−i)

i=0

+∞

z 如果系统是因果系统，则h(k)也是一个有始信号，则可以进一步简化：

r(k)=e(k)*h(k)=

∑e(i)h(k−i)

i=0

+k

三、 卷积和

1、 卷积和可以通过其定义求得。 例：

aε(k)*bε(k)=

kk

i=−∞

ik−i

εε(k−i)a(i)*b∑

+∞

⎛kik−i⎞

=⎜∑a*b⎟ε(k)⎝i=0⎠

−1k+1

−1(ab)−1ikk

ε(k)=b∑(ab)ε(k)=b−1

1−abi=0

k

P30，表7-1：常用卷积和公式。

2、 卷积和的数值解法

1） 图解法：反褶、平移、相乘、叠加 例：e(k)={2,1,5}, h(k)={1,2,3} e(k): 2 1 5 h(k): 1 2 3

h(-k): 3 2 1 —>r(0)=2 h(1-k): 3 2 1 —>r(1)=5 h(2-k): 3 2 1 —>r(2)=13 h(3-k): 3 2 1 —>r(3)=13 h(4-k): h(5-k): h(6-k):

3 2 1

—>r(4)=15 —>r(5)=0

3 2 1

3 2 1 —>r(6)=0

……………

所以，r(k)={2,5,13,13,15}

从此例可见，有限长序列的卷积和仍然是有限长序列。

2） 多项式乘法 e(k):

2， 1， 5

* h(k): 1， 2， 3 6， 3，15 4， 2，10 2， 1， 5

2， 5， 13，13，15 ——>r(k) 3） 阵列法：

2 1 5 2 1 5 1 4 2 10 2 6 3 15 3 各对角线元素相加，可以得到结果。 3、 卷积和的性质：

卷积和有很多与卷积积分相似的性质。其中最重要的是移序特性（相当与卷积积分中的时移或微积分特性）：

如果x1(k)*x2(k)=y(k)，

则：x1(k+m)*x2(k+n)=y(k+m+n)

四、 h(k)的求解方法：

有四种：1)递推法（数值解法） 2）祘子法 3）初始条件法 4）系统函数法（ZT） 这里仅介绍祘子法。

1、 祘子法（部分分式分解）

在离散系统中，同样可以利用转移祘子，通

过部分分式分解的方法，将高阶系统分解为多个低阶系统之和，解出单位函数响应。其分解方法与连续时间系统中的部分分式分解法相似。

bmSm+bm−1Sm−1+bm−2Sm−2+...+b1S+b0

H(S)=

Sn+an−1Sn−1+an−2Sn−2+...+a1S+a0

这里同样要分几种情况讨论： 1） 如果ma、 如果特征方程没有重根，则：

A1A2An

H(S)=++...+

S−ν1S−ν2S−νn=H1(S)+H2(S)+...+Hn(S)

b、 如果特征方程有重根，假设ν1是l重根，则：

H(S)=

A1A2Al

+++...S−ν1(S−ν1)2(S−ν1)l+

Al+1An+...+

S−νl+1S−νn

=H1(S)+H2(S)+...+Hn(S)

2） 如果m=n，可以先通过长除，变成一个常数和真分式之和，然后再求解

H(S)=A0+

A1A2An

++...+S−ν1S−ν2S−νn

=A0+H1(S)+H2(S)+...+Hn(S)

3） 当m>n时，系统为非因果系统。这里不予考虑。

如果能够得到各个低阶子系统的单位函数响应，将其相加，就可以得到系统的单位函数响应。

2、 子系统的单位函数响应

11） 一阶离散系统：H(S)=S−ν

对应的差分方程：r(k+1)−ν⋅r(k)=δ(k)。 a、 k<0时，r(k)=0 (因果系统，零状态) b、 k=0时，r(0)=δ(−1)+ν⋅r(−1)=0 c、 k=1时，r(1)=δ(0)+ν⋅r(0)=1 d、 k=2时，r(2)=δ(1)+ν⋅r(1)=ν e、 k=3时，r(3)=δ(2)+ν⋅r(2)=ν

3

r(4)=δ(3)+ν⋅r(3)=νf、 k=4时，

2

g、 ……….

通过数学归纳法，可以证明：

k−1

r(k)=νε(k−1)

1k−1

或记成：S−νδ(k)=νε(k−1)

Sk

δ(k)=νε(k)。这个结 同样可以证明：S−ν果似乎比上面的结果规范，但是它在做部分分式分解时必须在分子上凑S。

1(k−1)!k−n

δk=νε(k−1) ()2） (S−ν)n

(n−1)!(k−n)!

或：

S(k−1)!k−n+1

δ(k)=νε(k) n

(S−ν)(n−1)!(k−n+1)!

3） H(S)=A0的单位函数响应为A0δ(k)，或

A0δ(k)=A0δ(k)

有了上面的结论就可以得到任意系统的单位函数响应。 例：已知差分方程：

r(k+2)-5r(k+1)+6r(k)=e(k+2)-3e(k) 求h(k)。

解：根据差分方程，可以用移序算子表示为：

5S−9S2−3

=1+2H(S)=2

S−5S+6S−5S+6

61

=1+−

S−3S−2∴h(k)=δ(k)+6⋅3k−1ε(k−1)−2k−1ε(k−1)

解的最终形式应该是： 1） 形式上最简单；

2） 有理分式的分子、分母多项式按降幂排列； 3） 分母上不能有复数或无理数；

4） 在实际系统中，激励、系统函数都为实数信

号或函数，在响应中不可能有虚部。 如果出现共扼复根，如何计算？

P35，表7-2。

五、 离散时间系统全响应的求解

综合前面的§7-4的内容，可以求出离散时间系统全响应。

例：系统转移函数：H(S)=

S(7S−2)

(S−0.5)(S−0.2)，

激励e(k)=ε(k)，初始条件为：r(0)=2,r(1)=4。求全响应。

关于初始条件r(0)、r(1)的讨论：

初始条件r(0)、r(1)到底是什么？有多种解释： 1） 它是系统在0、1时刻的值。这种解释符合实际应用条件。但是，其中r(0)和r(1)中必然包含零状态响应部分，所以不能直接用它求零输入响应。——>应该将其中的零状态响应部分减去后再带入零输入响应。

2） 直接是系统零输入响应部分的值，即rzi(0)和

rzi(1)。这样求解简单了，但是在实际情况下很

难得到。

3） 有的资料上给出的初始条件是r(-1),r(-2)等。这时候它一定属于零输入响应。

§7-6 离散时间系统与连续时间系统

时域分析方法比较

离散时间系统与连续时间系统时域分析方法非常相似，但是也有一些差异。其基本形式相同，但是含义或概念不同。

一、 时域分析方法比较 1、 系统描述方面： 1） 数学模型： 连：微分方程

ddn−1dn

()+()+...+rtar(t)+a0r(t)rtan−11nn−1

dtdtdt

ddm−1dm

=bmme(t)+bm−1m−1e(t)+...+b1e(t)+b0e(t)

dtdtdt

离：差分方程：

r(k+n)+an−1r(k+n−1)+...+a1r(k+1)+a0r(k)=bme(k+m)+bm−1e(k+m−1)+...+b1e(k+1)+b0e(k)

2） 祘子表示：

连：引入微分祘子p

(p+a=(bp

nm

n−1p+...+a1p+a0r(t)n−1

)m

+bm−1pm−1+...+b1p+b0e(t)

)

：

或

bmpm+bm−1pm−1+bm−2pm−2+...+b1p+b0

H(p)=

pn+an−1pn−1+an−2pn−2+...+a1p+a0

离：引入移序祘子S

Sn⋅r(k)+an−1Sn−1⋅r(k)+...+a1S⋅r(k)+a0r(k)=bmSm⋅e(k)+bm−1Sm−1⋅e(k)+...+b1S⋅e(k)+b0e(k)bmSm+bm−1Sm−1+bm−2Sm−2+...+b1S+b0

H(S)=

Sn+an−1Sn−1+an−2Sn−2+...+a1S+a0

3） 物理模型： a、 基本运算单元：

连：加法器，标量乘法器，积分器 离：加法器，标量乘法器，移序（延时）器 b、 结构

两者类似，只要将积分器与移序（延时）器互换。

2、 求解方法： 1） 种类：

连：经典法，近代时域法，变换域法 离：经典法，近代时域法，变换域法，递推法

2） 近代时域法：都是通过解零输入响应rzi和零状态响应rzs两部分 （1） rzi求解 a、 列特征方程：

nn−1

连：p+an−1p+...+a1p+a0=0 nn−1S+aS+...+a1S+a0=0 离：n−1

b、 特征根： 连：λ1,λ2,...,λn 离：ν1,ν2,...,νn c、 形式解： 连：rzi(t)=(C1e

λ1t

+C2eλ2t+...+Cneλnt)ε(t)

kkk

离：rzi(k)=(C1λ1+C2λ2+...+Cnλn)ε(k)

d、 根据初始条件，确定系数 初始条件一般形式： 连：r(0),r'(0),r''(0),......

离：r(0),r(1),r(2),......，或r(−1),r(−2),r(−3),......

（2） rzs求解

1） 求系统的离:单位函数响应 （1）求转移函数： 连：H(p)=

bmpm+bm−1pm−1+bm−2pm−2+...+b1p+b0pn+an−1pn−1+an−2pn−2+...+a1p+a0

连:单位冲激响应

bmSm+bm−1Sm−1+bm−2Sm−2+...+b1S+b0

离：H(S)=Sn+aSn−1+aSn−2+...+aS+a

n−1n−210

（2） 部分分式分解：

将高阶差分方程变成低阶差分方程之和。 （3） 求低阶系统的离:单位函数响应

1λt

δ(k)=eε(t) 连：p−λ连:单位冲激响应

微分

微分

1k−1δ(k)=νε(k−1) 离：S−ν

2） 求rzs

连：卷积积分：rzs(t)=e(t)*h(t) 离：卷积和 ：rzs(k)=e(k)*h(k)

二、 系统结构与性能 1、 稳定性判别： 连：h(t)绝对可积(

∫

+∞

−∞

h(t)dt<∞ )

——>特征根在s平面虚轴以左半平面内； 离：h(k)绝对可和(

k=−∞

∑h(k)<∞）

+∞

——>特征根在z平面单位圆内； 2、 因果性

连：h(t)是右边（有始）信号——>维纳.佩利准则 离：h(k)是右边（有始）序列——>m<=n