2016年北京各区一模圆锥曲线汇编
圆锥曲线汇编 2016.4
x2
?y2?1过抛物线y2?8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为1.已知双曲线m
2.已知圆C:(x?3)2?(y?5)2?5，过圆心C的直线l交圆C于A,B两点，交y轴于点P.若A恰为PB的中点，则直线l的方程为
3.若圆x2?(y?1)2?r2与曲线(x?1)y?1的没有公共点，则半径r的取值范围是
A
．0?r?
4.在极坐标系中，直线?sin???cos??1被曲线??1截得的线段长为
B
．0?r? | D | C |
．0?r? |
．0?r?（A）
12（B）1（C）22（D
5.已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点 P的椭圆的短轴长为
（A）3
（B）6（C）9（D）12
x2y2
6.已知双曲线2?2?1(a?0,b?
0)的一条渐近线为y?，那么双曲线的离心率为ab
________.
7．在极坐标系中，圆C1:??2cos?与圆C2:??2sin?相交于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A．1B
C
D．2
x2y2?8．已知双曲线C：2?2?1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l
的距离为3ab
C的方程为_______．
9.已知点P(x0,y0)在抛物线W：y?4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，2
则x0 的值为（ | ） | D．2 22 | |
C． | |||
A．13 | B．1 | ||
x2y2?10．已知l为双曲线C2?2?1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2,0），4ab
点C的右顶点为_________，则C的方程为_______．
11．如图，AB是半圆O的直径，?BAC?30?，BC为半圆的切线，且BC?则点O到AC的距离OD＝______．
12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为??x?1?s，(s为参数)，曲线?y?1?s
?x?t?2，B两点，C的参数方程为?(t为参数)，若直线l与曲线C相交于A，2y?t?
则AB＝____．
13．已知抛物线y2?4x的动弦AB的中点的横坐标为2，则AB的最大值为( )
A．4B．6C．8D．12
??x?1??14.直线l
：??y?2????x?2?2cos?2（t为参数）与圆C：?（?为参
数）?y?1?2sin?的位置关系是
( | ) | （B）相切 | （C) 相交且过圆心（D）相交但不过 |
（A）相离 |
圆心
x2y2
??1的两条渐近线所围成的三角形面积15.抛物线y??8x的准线与双曲线C:842
为_________.
x2
216..若圆?x?2??y?1与双曲线C:2?y?1?a?0?的渐近线相切，则a?双a22曲线C的渐近线方程是.
17.CY(本小题共14分）
x2y2
?1的焦点分别为F1,F2. 已知椭圆C:?42
（Ⅰ）求以线段F1F2为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点
Q，使得?PQM??PQN?180?？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18.DCL（本小题共13分）
已知抛物线C:y2?2px(p?0)，焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A,B两点，直线OA与OB的斜率之积为?p．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：OD
OM?2.
19.FT
已知椭圆G1.
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为A,B，点P是椭圆G上异于点A,B的一动
点，直线PA,PB分别与直线x?4于M,N两点，以线段MN为直径作圆
C.
①当点P在y轴左侧时，求圆C半径的最小值；
②问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切？若存在，指
出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
20．HD（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)，椭圆C与y轴交于A，B两点，且｜abAB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及｜EF｜的最大值．
21．HDW（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)，椭圆C与y轴交于A，B两点，且｜abAB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．是否存在点P使得以MN为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。
x2y2
22．SJSL（本小题共14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴长为2，离心
ab
率为B两点，且线段AB的垂直平分线，直线l:y?kx?m与椭圆C交于A，2
1
2?)．通过点(0，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
23.SY（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆E:2?2?1(a?b?
0)的离心率e
?，且点(1,在椭圆E上.ab22
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,).求?AOB（O为坐标原点)面积的最大值.
24．XCL（本小题满分14分）
22已知椭圆C:mx?3my?1?m?
0?的长轴长为O为坐标原点12
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设点A?3,0?，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若BA?BP，求四边形OPAB面积的最小值.
25．XCW（本小题满分14分）
x2y2
已知椭圆C：??1(m?
0)的长轴长为O为坐标原点.3mm
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线l与y轴相交于点B，点A(3,0)关于直线l的对称点P
在椭圆C上，求|OB|的最小值.
1. y??1x | 2. 2x?y?1?0.2x?y?11?0 | 3. | C | 4. D | 5. B |
6.2
2y2
x??132 | 7. B | 8. | 9. B | 10. | 11. 3 |
12.
14.D
15.
17.CY（本小题满分13分）
解：（I）因为a2?4，b2?2，所以c2?2. 13.B
所以以线段F1F2为直径的圆的方程为
x2?y2?2.……………………………3 分得?PQM??PQN?180?，
（II）若存在点Q(m,0)，使
则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为k1,k2.
等价于k1?k2?0.
依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y?k(x?4). ?y?k(x?4)?
由?x2y2，得(2k2?1)x2?16k2x?32k2?4?0. ?1???42因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以??0.
2222 即(16k)?4(2k?1)(32k?4)?0，解得k?21. 6
16k232k2?4 设M(x1,y1)，N(x2,y2),则x1?x2?，x1x2?， 2k2?12k2?1 y1?k(x1?4)，y2?k(x2?4). 令k1?k2?y1y2??0， x1?mx2?m
(x1?m)y2?(x2?m)y1?0,
(x1?m)k(x2?4)?(x2?m)k(x1?4)?0,
当k?0时，2x1x2?(m?4)(x1?x2)?8m?0，32k2?416k2?(m?4)?2?8m?0，
所以2?2k2?12k?1
8(m?1)?0，2k2?1
所以m?1.
当k?0时，也成立.
所以存在点Q(1,0)，使得?PQM??PQN?180?.化简得，18.DCL（共13分）
解：（Ⅰ）
因为直线AB过点F且与抛物线C交于A,B两点，F(P,0)，2
p)(k?0)．2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB（不垂直x轴）的方程可设为y?k(x?
所以y12?2px1(p?0)，y22?2px2．
因为直线OA与OB的斜率之积为?p，所以
y1y2??p． x1x2
y1y22)?p2，得
x1x2?4． ……4分x1x2所以( p?k2p2?y?k(x?),222由??0 2 消y得kx?(kp?2p)x?42??y?2px, 其中V?(k2p?2p)2?k2p2k2?0k2P?2Pp2
所以x1x2?，x1?x2?．2k4
2所以p?4，抛物线
C:y?8x． | ……8 |
分
（Ⅱ）设M(x0,y0),P(x3,y3)，因为M为线段AB的中点，41k2P?2P2(k2?2)y?k(x?2)??所以x0?(x1?x2)?，.00k22k2k2 所以直线OD的斜率为kop?
直线OD的方程为y?kopx?y02k?2.x0k?22k2x代入抛物线C:y?8x的方程，
2k?2
2(k2?2)2
得x3?.2k
所以x3?(k2?2).x0
2因为k?0,所以
ODOM?x3?(k2?2)?2. ……
13分x0
19.FT
1.
?b?1?a?2???c,得到?b?1,
所以???a?222?c???
a?b?c
-----------------------------------------------------------3分（Ⅱ）①设P(x0,y0)，
A(0,1),B(0,?1)
所以直线PA的方程为：y?1?y?1xx0
令x?4，得到yM?4(y0?1)4(y0?1)8?1同理得到yN??1，得到|MN|?|2?|
x0x0x0
4|(?2?x0?0)x0所以，圆C半径r?|1?
当x0??2时，圆C半径的最小值为3.--------------------------------------9分②当P在左端点时，圆C的方程为：(x-4)2+y2=9
当P在右端点时，设P(2,0)，A(0,1),B(0,?1)
所以直线PA的方程为：y?1??1x2
令x?4，得到yM??1同理得到yN?1，
：(x-4)2+y2=1，易知与定圆(x-2)2+y2=1相切,半径R=1圆C的方程为
4?1?,?2?x0?0?4?x0r?|1?|??C由前一问知圆的半径x0?4?1,0?x0?2?x?0因为yM?4(y0?1)4(y0?1)4y?1，yN??1，圆C的圆心坐标为(4,0)
x0x0x0
?4?,?2?x0?0?4?x0?圆心距d?
?|x0|?4,0?x0?2??x0
当-2?
x00C内切；当0<x0?
2C外切；20. HD解：（Ⅰ）由题意可得，b?1，e?c?aa2?13?，得2a4
2解a?4，
x2
?y2?1. 椭圆C的标准方程为4
（Ⅱ）设P(x0,y0)(0?x0?2)，A(0,1)，B(0,?1)， 所以
kPA?y0?1y?1，直线PA的方程为y?0x?1， x0x0
y0?1x?1， x0
4(y0?1)?1)， x0同理：直线PB的方程为y?直线PA与直线x?4的交点为M(4,
直线PB与直线x?4的交点为N(4,4(y0?1)?1)，x0
线段MN的中点(4,4y)， x0
4y024)?(1?)2， x0x0所以圆的方程为(x?4)2?(y?
216y0x令y?0，则(x?4)?2?(1?0)2， x042
22x0y0?112?y0?1，所以2??，因为4x04
所以(x?4)2?8?5?0，x0
因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以5?88?0，解得x0?(,2]. 5x0
设交点坐标(x1,0),(x
2,0)，则|x1?x2|?所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.
21.HDW解：（Ⅰ）由已知AB?2，得知2b?2，b?1,8?x0?2）5
c?.
a222因为a?b?c，所以a?2,
x2
所以椭圆C的标准方程为?y2?1.4
0). 2.假设存在，记D(2，
设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n)
由已知可得A(0,1) B(0,?1)，
所以AP的直线方程为y?y0?1x?1， x0
BP的直线方程为y?y0?1x?1，x0
令x?4，分别可得m?4(y0?1)4(y0?1)?1，n??1， x0x0所以M(4,4(y0?1)4(y?1)?1),N(40?1)x0x0
MN因为为直径，所以??????????D?M?0D所M以
4(y0?1)4(y0?1)?????????(2,?1)?(2,?1)?0DM?DN?x0x0
2?????????16y02?(4?x0)2x0?0因为点P在椭圆上，所以所以DM?DN?4??y02?1，2x04
??????????4x02?8x0?x028x0?x02??0 代入得到DM?DN?4?x02x02 所以x0?8，这与x0?[?2,2]矛盾
所以不存在
?ce??，?a2??22．SJSL（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知可得?2b?2，解得?a2?b2?c2，???
a2?2，b2?1，………2分
x2
故椭圆C的标准方程为?y2?1．………3分2
?y?kx?m，?y1)，B(x2，y2)，联立方程?x2（Ⅱ）设A(x1，消去y得2??y?1，?2
(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0．………4分
当??8(2k2?m2?1)?0，即2k2?m2?1时，………5分 x1?x2??4km，1?2k2 2m2?2．………6分x1?x2?1?2k2
x1?x2y1?y2?2kmm??，．当k?0时，线段AB的垂直平分线显然
21?2k221?2k2
1?)，
过点(0，2
11S?AOB?AB?m??m?
因为?22所以
m?(?1,,?所以m2?
(0,1)
12，当m?时，取到等号.……8分 当k?0时，
S?AOB?2y1?y21?(?)1??1，化简整理得?)，所以因为线段AB的垂直平分线过点(0，12k2?02
2?2k?1?2m，?2得0?m?2．………10分2k?1?2m．………9分由?222k?1?m，??
又原点O
到直线AB的距离
为d?
AB?1?x2?所
以S?AOB12………11分 而2k?1?2m且?AB?d?20?m?2，则S?AOB?12?m?2．………12分所以当m?1，即k?时，S?
AOB213分14分综上，S?
AOB23.SY（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 e?1?2132??a?4
?
点(1,在椭圆上，?1
【2分】，2a4
2?32?1，解得a?2,b?1.2a4b
x2
?所求椭圆方程为?y2?1 【4分】 4
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，?, ?AB的斜率k存在.AB的垂直平分线过点(0,）1
2
当直线AB的斜率k?0时， ?x1??x2,y1?y2
?SVAOB1x2?4?x21???1??2|x||y|?|x||y|?|x 222"?"当且仅当x12?4?x12,
?x1?(SVAOB)max?1 【6分】当直线AB的斜率k?0时，设lAB:y?kx?m(m?0).?y?kx?m?222消去y得：
(1?4k)x?8kmx?4m?4?0??x22??y?1?4
22 由??0.4k?1?m | ① | 【8 分】 |
x1?x28km4m2?44km??,,xx?，?x1?x2???1222221?4k1?4k1?4k
?y1?y2x?xm?4kmm?k12?m?，的中点为(,)AB?1?4k21?4k2221?4k2 m1???1，化简得1?4k2??6m由直线的垂直关系有k? ②?4km
1?4k2
2由①②得?6m?m,??6?m?0 【10分】又O(0,0)到直线y?kx?m
的距离为d?，
【12分】
|AB|?x1?x2|?4
SVAOB1?|AB|d?42
?m|? Q?6?m?0，?m??3时，(SVAOB)max?1?3?1.m??3，?1?4k2?18，解
得3
k?
即k??
2
综上：(SVAOB)max?1；25．XCW（本时，(SVAOB)max?1；
小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C：
x2y2
， | 所以 | 3m?m |
?1 |
a2?3m
，
b2?m
， 分
故
2a??m?2
，
所以椭圆C的方程为x26?y2
2
?1.分
因为c2，
所以离心率e?ca?. 分
（Ⅱ）解：由题意，直线l的斜率存在，设点P(x0,y0)(y0?0)，则线段AP的中点D的坐标为(x0?32,y0
2
)， 且直线AP的斜率ky0
AP?x，0?3分
由点A(3,0)关于直线l的对称点为P，得直线l?AP， 故直线l的斜率为?
13?k?x0，且过点D，APy0
14分】
………………1
………………3
………………5 ………………7【
所以直线l的方程为：
y?y03?x0x?3?(x?0)， 分
………………92y02
令x?0，得y?x2222
0?y0?9
2y，则B(0,x0?y0?9
02y)，
由x22
6?y0
2?1，得x2?6?3y2
00，
化简，得B(0,?2y2
0?3
2y).
分
所以|OB|?|?2y2
0?3
2y|
?|y0|?32|y|
≥
?
分
当且仅当|y0|?
32|y，即y0?[时等号成立.
0|
所以|OB
|.
………………11………………13
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