高中数学不等式的分类、解法

一、知识点回顾

1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法

解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：

二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)

二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的

端点

4.分式不等式的解法

法一：转化为不等式组；法二：化为

整式不等式；法三：数轴标根法

5.高次不等式解法

法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法

6.指数与对数不等式解法

a>1时af(x)ag(x)f(x)g(x)；

logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0

0logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)

7.三角不等式解法

利用三角函数线或用三角函数的图像求解

8.含参不等式解法

根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法

利用函数的单调性求解，化为基本不

等式（有时还会结合奇偶性）

10.绝对值不等式解法（后面详细讨论）二、练习：

（1）3x24x40解集为 （23x2 ）（一化二算三写）

（2）132x2x20解集为 （R） (变为≤，则得∅)（无实根则配方）

三、例题与练习

例1已知函数f(x)(ax1)•(xb) ，若不等式f(x)0的解集为(1,3)，则不等式

f(2x)0的解集

为

(,312)(2,)

解法一：由根与系数关系求出

a1,b3，得f(x)x22x3，再得

出新不等式，求解

解法二：由二次不等式f(x)0的解集为(1,3)得f(x)0解集为(,1)(3,)，再由

2x(,1)(3,)得解集

变式1. 已知关于x的不等式

x2mxn0的解集是{x|5x1}，则不等式mxn0的解集为

（m, n）=（-4，-5），解集为

(,54)

例2：不等式

x2x23x2≥0的解集是

_____．

答案：（-2，-1）∪[2，+∞）

法一：化为不等式组 法二：数轴

标根法

法三：化为整式不等式（注意等价性）

变式2：不等式x33x2x30的解集

为 .

答案：(1,3)(,1)

例3：解关于x的不等式ax222xax 分析：化为ax2(a2)x20，考虑分类

标准：①a与0的关系②2a与-1的关系 变式3：①解关于x的不等式ax2－(a＋

1)x＋1<0

解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）<0

当a<0时，原不等式解集为(,1a)(1,)

当a=0时，x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞)

当01a(1,21)

变式4：定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为 法一：结合图像求解；法二：化为不等式组

当a=1时，(x1)20，原不等式解集为 解集为(,3]0[5,)当a>1时，原不等式解集为(1a,1) ②.解关于x的不等式log1a(a2x1)0

答案：当a>1时，解集为(0,12loga2) 当

0(,12loga2)

（总结指数与对数不等式解法） 思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.

例4：已知函数f(x)x21,(x0)1,(x0)，则不

等式f(1x2)f(2x)的解集为

分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式

画出函数图像，结合图像易得不等式组

2x0或1x202x01x22x得解集为 例5：f(x)是定义在R上的偶函数，

当x0时，f(x)exsinxa，解不等式

f(1x)f(2)

分析：x0时，f(x)excosx0，f(x)在[0,)上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化为f(1x)f(2)，化为

1x2，得解集为(,1)(3,)

探究：改为奇函数，解集为

变式5：函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为__________________．

答案：(2,3)∪(－3，－2)

解析 由导函数图象知f(x)在(－∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)>1等价于－21.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重

2.要善于转化，化为不等式组或整式不

等式或代数不等式，注意数形结合。 五、课后思考题

1.已知函数f(x)的大致图像如图，则不等式

f(x)(x1)x0的解集为

分析：化为不等式组x1x1x0或(x)0x0

ff(x)0进而得解集为(1,0)(3,)

2. 已知f(x)2x(x0)x22x(x0)，解不等式

f(f(x))8

分析：换元，设f(x)t，先解不等式

f(t)8，

得2t0或0t3，再转化为关于x的不等式求解， 解集为(1,log23)3.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，对任意x1，x2≥0，若x1≠x2，则

f(x1)f(x2)13x0，如果f3

＝1x24，且4f(log1x)3，那么x的取值范围为

8( )

∪(2，＋∞)

∪12，2



答案 B 解析：f(log31x)4，由已知可得当x≥0

8时，f(x)是减函数．又f(x)为偶函数，∴f(log1x)f(log1x)，

88由f(log1x)34f(1183)得log1x83 ∴1113log1x ∴8324.已知A(2,0)、B(2,0)、C(2a,a)，且ABC是锐角三角形，求a的取值范围。

分析：由题意可得22a2(2a)2a24，解得 a(2,4)

教后记：知识点回顾用时较多，可简略（5分钟内）