陕西省西安市高新一中2019-2020学年九年级（上）第一次
月考数学试卷 含答案解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（ ）
A．圆
B．矩形
C．梯形
D．圆柱
3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：16
4．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ） A．
B．3﹣
C．
D．
或3﹣
5．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知
OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是
（ ）
A．1：2 6．已知A．4
B．2：1
C．1：3
D．3：1
＝（b+d+f≠0），且a+c+e＝6，则b+d+f的值为（ ）
B．6
C．9
D．12
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．③与④相似
8．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C． D．
9．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有（ ） ①
，②
，③
，④CE＝CD•BC．
2
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是AD上任意一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF为 （ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
二．填空题（共6小题）
11．若两个三角形全等，则这两个三角形的相似比为 ．
12．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一根旗杆的影长为24米，那么这根旗杆的高度为 ． 13．如果
，那么
＝ ．
14．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝ ..
15．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2，若△ABC与△ACD相似，AB＝ ．
16．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段
AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是 ．
三．解答题（共10小题）
17．先化简，
为x的值代入求值．
，然后从﹣1≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作
18．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2：1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
19．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求AB、
OC的长和∠D的度数．
20．如图，等边△ABC，点D、E分别是边AC、BC上的点，∠ADE＝60°，BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
21．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4． 证明：△ABC∽△DBE．
22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ ，AQ＝ ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
24．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
25．阅读：如图1，G是四边形ABCD对角线AC上一点，过G作GE∥CD交AD于E，GF∥CB交AB于F，若EG＝FG，则有BC＝CD成立，同时可知四边形ABCD与四边形AFGE相似． 解答问题：有一块三角形空地（如图2△ABC，BC靠近公路，现需在此空地上修建一个正方形广场，其余地为草坪，要使广场一边靠公路，且面积最大，如何设计？请你在下面的图中画出此正方形，（不写画法，保留痕迹）
26．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用． 甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”； 乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”； 丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸．” 你认为谁说的有道理，请证明．
（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha，hb，hc）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：C．
2．如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（ ）
A．圆
B．矩形
C．梯形
D．圆柱
【分析】根据圆柱的左视图的定义直接进行解答即可． 【解答】解：如图所示圆柱从左面看是矩形， 故选：B．
3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：16
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可解决问题； 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）＝故选：D．
2
．
4．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ） A．
B．3﹣
C．
D．
或3﹣
【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【解答】解：当AC＜BC时，BC＝当AC＞BC时，BC＝2﹣（故选：D．
5．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知
AB＝
，
﹣1；
﹣1）＝3﹣
OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是
（ ）
A．1：2
B．2：1
C．1：3
D．3：1
【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，
OA＝10cm，OA′＝20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比
为：10：20＝1：2，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′
B′C′D′E′的周长比是：1：2．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，
OA＝10cm，OA′＝20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2， ∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2． 故选：A． 6．已知A．4
＝（b+d+f≠0），且a+c+e＝6，则b+d+f的值为（ ）
B．6
C．9
D．12
【分析】先利用等比性质得到＝，然后把a+c+e＝6代入后利用内项之积等于
外项之积可求出b+d+f的值． 【解答】解：∵∴
＝，
＝（b+d+f≠0），
而a+c+e＝6， ∴b+d+f＝×6＝9． 故选：C．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．③与④相似
【分析】由OA：OC＝OB：OD，利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，①与③相似，问题可求．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD， ∠AOB＝∠COD（对顶角相等）， ∴①与③相似． 故选：B．
8．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【解答】解：根据题意得：AB＝
＝
，BC＝2，AC＝
＝
，
∴BC：AC：AB＝2：：＝：：1，
A、三边之比为B、三边之比
：
：：1，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； ：2：
，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
C、三边之比为1：D、三边之比为2：
故选：A．
9．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有（ ） ①
，②
，③
，④CE＝CD•BC．
2
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】如图，作辅助线；首先证明∠BEC＝90°；运用勾股定理证明CD＝CF，BA＝BF；根据两角相等证明：△CDE∽△EAB和△ECF∽△BCE，列比例式可作判断． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F；
∵CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠FCE（设为α），∠ABE＝∠FBE（设为β）， 且2α+2β＝180°，
∴α+β＝90°，∠BEC＝180°﹣90°＝90°； ∵∠A＝90°，DC∥AB，
∴∠D＝90°；而CE平分∠BCD，BE平分∠ABC， ∴ED＝EF，EA＝EF；
∴ED＝EF＝EA，
由勾股定理得：CD＝CF，BA＝BF； ∵∠D＝∠A，∠DCE＝∠AEB， ∴△CDE∽△EAB， ∴
，
，
∵四边形ABCD是梯形， ∴AD与BC不平行， ∴∠DEC≠∠ECF＝∠DCE， ∴DE≠CD，
∴①②不正确，③正确；
∵∠EFC＝∠CEB＝90°，∠ECF＝∠ECB， ∴△ECF∽△BCE， ∴
2
，
∴CE＝BC•CF＝CD•BC， ∴④正确， 故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是AD上任意一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF为 （ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【分析】首先设AC与BD相较于点O，连接OM，由在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，可求得矩形的面积，OA与OD的长，然后由S△AOD＝S△AOM+S△DOM，求得答案． 【解答】解：设AC与BD相较于点O，连接OM， ∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝BD＝
＝10，S矩形ABCD＝AB•BC＝48，
∴OA＝OD＝5，S△AOD＝S矩形ABCD＝12， ∵ME⊥AC，MF⊥BD，
∴S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝OA•ME+OD•MF＝（ME+MF）＝12， 解得：ME+MF＝故选：A．
．
二．填空题（共6小题）
11．若两个三角形全等，则这两个三角形的相似比为 1 ． 【分析】根据相似三角形与全等三角形的关系解答即可．
【解答】解：两个全等三角形的相似比为1，若两个三角形相似，且它们的相似比为1，则这两个三角形的对应边相等，对应角相等，即这两个三角形全等． 故答案为：1．
12．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一根旗杆的影长为24米，那么这根旗杆的高度为 14.4米 ．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【解答】解：设旗杆高度为x米， 由题意得，
＝
，
解得：x＝14.4． 故答案为：14.4米． 13．如果【分析】由【解答】解：∵
，那么
＝
．
可知：若设a＝2x，则b＝3x．代入所求式子就可求出．
，
∴设a＝2x，则b＝3x， ∴
．
故答案为．
14．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝
..
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF＝BE：CD问题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE：BE＝4：3， ∴BE：AB＝3：7， ∴BE：CD＝3：7． ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF＝BE：CD＝3：7， 即2：DF＝3：7， ∴DF＝
．
．
故答案为：
15．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2，若△ABC与△ACD相似，AB＝ 18或
．
【分析】应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2，
∴CD＝4，
设AB＝x，
当AC：AD＝AB：AC时，△ABC∽△ACD， ∴6：2＝AB：6， 解得AB＝18；
当AB：AC＝AC：CD时，△ABC∽△CAD， ∴AB：6＝6：4解得AB＝
， ，
．
故答案为：18或
16．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段
AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是 ．
【分析】作B关于AC的对称点E，过E作EP⊥BC于P，交AD于D，则AE＝AB＝8，此时，
BD+DP的值最小，BD+DP的最小值＝EP，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：作B关于AC的对称点E，过E作EP⊥BC于P，交AD于D， 则AE＝AB＝8，
此时，BD+DP的值最小，BD+DP的最小值＝EP， ∵∠BAC＝∠BPE＝90°，∠C＝∠E， ∴△ABC∽△PBE， ∴∴
＝
， ， ，
．
∴PE＝故答案为：
三．解答题（共10小题） 17．先化简，
为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝[
﹣
]÷
，然后从﹣1≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作
＝＝﹣
•，
∵x≠±1且x≠0，
∴在﹣1≤x≤2中符合条件的x的值为x＝2， 则原式＝﹣
＝﹣2．
18．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2：1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点，点A向左移动2个单位，向下移动3个单位，
就是坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可；
（2）连接OA并延长到A′，使OA′＝2OA，连接OB并延长到B′，使OB′＝2OB，连接
OC并延长到C′，使OC′＝2OC，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，原点O，x轴、y轴， 点B坐标为B（2，1）；
（2）△A′B′C′即为所求作的三角形．
19．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求AB、
OC的长和∠D的度数．
【分析】先根据OA＝2，AD＝9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出，再把已知数据代入进行计算即可． 【解答】解：∵OA＝2，AD＝9， ∴OD＝9﹣2＝7， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴
＝
＝
，
＝
＝
∵OA＝2，OB＝5，DC＝12， ∴＝解得OC＝
＝
， ，AB＝
，
∵△AOB∽△DOC， ∴∠D＝∠A＝58°．
20．如图，等边△ABC，点D、E分别是边AC、BC上的点，∠ADE＝60°，BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：∠B＝∠C＝∠ADE＝60°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∠ADC＝∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴
，
设AB＝x， ∴
，
解得：x＝6，
所以等边三角形ABC的边长为6．
21．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4． 证明：△ABC∽△DBE．
【分析】由已知的两组相等角，可证得△ABD∽△CBE，即可得出AB：BD＝BC：BE；因此
只需证∠ABC＝∠DBE即可，由图可发现这两个角正好都是一个等角加上一个同角，故这两个角也相等，由此得证．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△ABD∽△CBE；（3分） ∴∴
；（2分） ；（2分）
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC，（2分） 即∠ABC＝∠DBE；（1分） ∴△ABC∽△DBE．（2分）
22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ 2t ，AQ＝ 16﹣3t ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【分析】（1）利用速度公式求解；
（2）由于∠PAQ＝∠BAC，利用相似三角形的判定，当＝
；当
＝
时，△APQ∽△ACB，即
＝
＝
时，△APQ∽△ABC，即，然后分别解方程即可．
【解答】解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t． （2）∵∠PAQ＝∠BAC， ∴当当
＝＝
时，△APQ∽△ABC，即时，△APQ∽△ACB，即
秒或4秒．
＝＝
，解得t＝，解得t＝4．
；
∴运动时间为
23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△
ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【解答】解：设CD长为x米， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA， ∴MA∥CD∥BN， ∴EC＝CD＝x米， ∴△ABN∽△ACD， ∴
＝
，即
＝
，
解得：x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解， ∴路灯高CD约为6.1米
24．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：设正方形的边长为xmm， 则AI＝AD﹣x＝80﹣x， ∵EFHG是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴即
＝＝
，
，
解得x＝48mm，
所以，这个正方形零件的边长是48mm．
25．阅读：如图1，G是四边形ABCD对角线AC上一点，过G作GE∥CD交AD于E，GF∥CB交AB于F，若EG＝FG，则有BC＝CD成立，同时可知四边形ABCD与四边形AFGE相似． 解答问题：有一块三角形空地（如图2△ABC，BC靠近公路，现需在此空地上修建一个正方形广场，其余地为草坪，要使广场一边靠公路，且面积最大，如何设计？请你在下面的图中画出此正方形，（不写画法，保留痕迹）
【分析】（1）结论1利用相似三角形的性质解决问题即可．结论2证明四个角线段，四条边成比例即可．
（2）先在AB上任取一点O，过O作BC的垂线，然后作出以OM为一边的正方形OMNP，连接BP并延长交AC于点E，过点E作BC的垂线交BC于点H，再以EH为边作正方形EFGH即可．
【解答】（1）证明：∵GE∥CD， ∴△AGE∽△ACD， ∴
＝
，
＝
，
∵GF∥BC，同法可得∴
＝
，
∵GE＝GF， ∴CD＝BC． ∵△AGE∽△ACD，
∴∠AEG＝∠D，∠AGE＝∠ACD，
＝
＝＝
， ＝
，
＝
＝
＝
，
同法可得∠AFG＝∠B，∠AGF＝∠ACB，
∴∠EAF＝∠DAB，∠AEG＝∠D，∠EGF＝∠DCB，∠AFG＝∠B，∴四边形AFGE∽四边形ABCD．
（2）解：如图四边形EFGH即为所求．
26．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用． 甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”； 乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”； 丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸．” 你认为谁说的有道理，请证明．
（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha，hb，hc）
【分析】解：设△ABC的三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa，xb，xc，由（1）、（2）可得：
＝
，进而表示
出xa＝，同理xb＝，xc＝，然后将它们作差，与0比较，进而得出
xa，xb，xc，的大小关系．
【解答】解：设△ABC的三条边上的对应高分别为ha，hb，hc． 由（1）、（2）可得：
＝
，
∴xa＝，
同理xb＝，xc＝，
∵xa﹣xb＝＝
﹣＝﹣b+hb＝2S（﹣），
（b+hb﹣a﹣ha），
＝
∵a＞b，ha＜b， ∴（b﹣a）（1﹣即xa﹣xb＜0， ∴xa＜xb，
（b﹣a）（1﹣），
）＜0，
同理：xb＜xc， ∴xa＜xb＜xc． ∴乙同学说的正确．
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