高考数学专题复习双曲线

一、选择题

1．若动点P到F1(－5,0)与到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是( )

A.C.

x225

＋

y216

＝1

B.D.

x225

－

y216

＝1

x216

＋＝1 9

y2x216

－＝1 9

y2

解析 由题意知P点的轨迹是双曲线． 因为c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9. 因为双曲线的焦点在x轴上， 所以P点的轨迹方程为答案 D

x216

－＝1. 9

y2

x2y2

2．已知双曲线C：2－2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方

ab程为

( )． A.C.

x220

－＝1 5－

y2

B.－＝1 520D.

x2y2

x280

y220

＝1

x220

－y280

＝1

解析 不妨设a>0，b>0，c＝a2＋b2. 据题意，2c＝10，∴c＝5.

①

b2b双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.

aa ②

由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A. 答案 A

3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，

3

y2

→→

则PA1·PF2的最小值为 A．－2

B．－

( )．

81

16

C．1 D．0

解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－

3→·PF→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋

1，y2＝3(x2－1)，PA12

y2

y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4x－2－，其中x≥1.因此，当x＝1→→

时，PA1·PF2取得最小值－2，选A. 答案 A

4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，



18

8116

M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

( )．

A．3

B．2

C.3

D.2

x2y2x2y2

解析 设双曲线的方程为2－2＝1，椭圆的方程为2＋2＝1，由于M，O，N将

a1b1a2b2cce1a2

椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.

a1a2e2a1答案 B

5．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( ) A.2 C．2

B.3

D．3

解析 不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的离心率与焦点在x轴上

x2y2

的离心率一样)，方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，设F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，

aby2)，由l过点F且与对称轴垂直，可得x1＝x2＝c，将其代入双曲线的方程得b22b22b2

|y1|＝|y2|＝，故|AB|＝，依题意，|AB|＝2a×2＝4a，∴＝4a，化简

aaa整理得b2＝2a2，解得e＝3.

答案 B

x2y2

6．已知双曲线－2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦

4b点到其渐近线的距离等于 ( )． A.5

B．4 2

2

C．3 D．5

x2y2

解析 易求得抛物线y＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－2＝1的右焦点为

4b(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±5×32

∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝5.

51＋4答案 A 二、填空题

5x，2

x2y2

7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－2＝1的离心率为5，则m的值

mm＋4为________．

解析 由题意得m＞0，∴a＝m，b＝m2＋4.

cm2＋m＋4

∴c＝m＋m＋4，由e＝＝5，得＝5，

am2

解得m＝2. 答案 2

x2y2

8．已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，

ab过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．

解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠

AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代b2b4b2

入双曲线方程得y＝2，取点A－c，，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要

aaa

2

π4

πb22222

|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即4ae2－e－2<0，即－11，故1x2y2

9．如图，双曲线2－2＝1(a，b＞0)的两顶点

ab为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为

F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 (1)双曲线的离心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.

解析 (1)由题意可得a b2＋c2＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝

3＋51＋5

，∴e＝. 22

S1

S2

(2)设sin θ＝

bb＋c2

，cos θ＝2

S12bc＝22

S4asin θcos θ2b＋c，＝2

c2bc4a2

bcb2＋c2

＝

b2＋c2212＋5

＝e－＝. 2a222答案 (1)

1＋52＋5

(2) 22

10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若→→

|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动1→→→

弦AB，O为坐标原点，若OP＝(OA＋OB)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2

2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线椭圆＋y2＝1有相同的焦点．

35

x225

－＝1与9

y2

x2

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

解析 ①错误，当k＞0且k＜|AB|，表示以A、B为焦点的双曲线的一支；当k＞0且k＝|AB|时表示一条射线；当k＞0且k＞|AB|时，不表示任何图形；当k＜0时；类似同上．②错误，P是AB中点，且P到圆心与A的距离的平方1

和为定值．故P的轨迹应为圆．③方程两根为和2，可以作为椭圆和双曲线

2的离心率，故正确．④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(±34，0)，故正确． 答案 ③④ 三、解答题

11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．

(1)求双曲线方程；

→·MF→＝0； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF12(3)求△F1MF2的面积．

(1)解 ∵e＝2，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明 法一 由(1)知a＝b＝6，c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMF1＝

m3＋23

，kMF2＝

m3－23，

，

∴kMF1·kMF2＝

m29－12

＝

m2－3

又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3， →·MF→＝0. ∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF12

→＝(－3－23，－m)，MF→＝(23－3，－m)， 法二 ∵MF12→·MF→＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2. ∴MF12∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，

2→→

∴m＝3，∴MF1·MF2＝0.

(3)解 ∵在△F1MF2中，|F1F2|＝43，且|m|＝3， 11

∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×43×3＝6.

22

x2y2

12．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，

ab且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6. (1)求双曲线的方程；

→

(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且F1A＝→2F1B，求此直线方程．

解 (1)由题意知，在Rt△PF1F2中， |F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2， 即2c＝82＋62＝10，所以c＝5.

由椭圆的定义，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1. 所以b＝c－a＝24，故双曲线的方程为x－

2

2

2

2

y224

＝1.

(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±26x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．

设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为5k106k5k106k

，，和－.

26－k26－kk＋26k＋26→→由F1A＝2F1B，得

5k106k5k106k

＋5，＋5，＝2－或者

26－k26－kk＋26k＋265k106k5k106k

＋5，＋5，－＝2，

k＋2626－k26－kk＋2626

解得k＝±. 3故直线方程为y＝±

26

(x＋5)． 3

x2y2

13． P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是

ab1

双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 5(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足→OC＝λ→OA＋→OB，求λ的值．

x2y2x2y200

解 (1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，有2－2＝1.

abab1

由题意有·＝，

x0－ax0＋a5

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝x－5y＝5b，

(2)联立

y＝x－c，

2

2

2

y0y0

ca30. 5

得4x2－10cx＋35b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5cx＋x＝，2则

35bxx＝4.1

2

2

12

①

x3＝λx1＋x2，→→→→

设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即

y3＝λy1＋y2.

22

又C为双曲线上一点，即x23－5y3＝5b，有

(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

2222化简得λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.

②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

22222所以x21－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，

②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

x2y2

14．如图所示，已知双曲线2－2＝1(b＞a＞0)且a∈

ab[1,2]，它的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B.过F2作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，交双曲线于P，Q两点．

(1)求证：直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；

(2)若M为PF2的中点，O为坐标原点，|OM|－|MT|＝1，|PQ|＝λ|AB|，求实数λ的取值范围．

x2y2b解 (1)证明：双曲线2－2＝1(b＞a＞0)的渐近线为y＝±x，设直线PQ的

aba方程为y＝k(x－c)(不妨设k＜0)，由于直线PQ与圆x2＋y2＝a2相切， |kc|a2a2

∴2＝a，即k＝2，直线PQ的斜率k＝－.

bbk＋1因为第一、三象限的渐近线的斜率为， ∴－·＝－1.

所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．

baabbay＝kx－c(2)由xya－b＝1，

22

22

得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－a2k2c2－a2b2＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， －2a2k2cx1＋x2＝b2－a2k2，－a2k2c2－a2b2x1x2＝b2－a2k2，

1＋k2

[

则

所以|PQ|＝x1＋x2

2

－4x1x2]

2ab21＋k22ab2＝＝2.

|b2－a2k2|b－a2

11

因为|OM|＝|PF1|，|F2M|＝|PF2|，

221

∴|F2M|－|OM|＝(|PF2|－|PF1|)＝a，

2|OM|－|MT|＝1，

代入上式得|F2M|－|MT|＝a＋1.

又|F2M|－|MT|＝|F2T|＝c2－a2＝b，所以b＝a＋1. 因为|AB|＝2a，|PQ|＝2ab2

b2－a2

，

λ＝b2

a＋12a2

b2－a2＝2a＋1＝2a＋1＋1.

令t＝2a＋1，则a＝

t－12

，t∈[3,5]，

所以λ＝1

14t＋t－2＋1，

设y＝t＋1

t，

因为t＋1

t在[3,5]上为增函数，

所以λ∈49

3，5.