天津大学金融经济学第一次作业

𝑇

𝛾𝑖=1+𝛾+⋯+𝛾𝑇

𝑖=0𝑇

𝛾 𝛾𝑖=𝛾+𝛾2+⋯+𝛾𝑇+1

𝑖=0

𝑇

1−𝛾 𝛾𝑖=1−𝛾𝑇+1

二

三

四

五

六

七

𝑖=0

𝑇

𝛾𝑖=

1−𝛾𝑇+1

𝑖=0

1−𝛾

𝑆𝑇+1𝑇+1=

1−𝛾

1−𝛾

𝑇→∞lim𝑆𝑇+1=1 1−𝛾 ∞

𝛾𝑖=1 =0

1−𝛾

𝑖lim

(1+𝜖)𝜉𝜖→0

1+𝜖𝜉=1 (1+𝜖)𝜉≈1+𝜖𝜉

ln(1+𝜖)𝜖→lim

0

𝜖=1 ln(1+𝜖)≈ϵ

lim𝑒𝜖

𝜖→0

1+𝜖=1

1+ϵ≈𝑒𝜖

1lim1+𝜖 𝜖→0

1−𝜖=1 1

1+𝜖≈1−𝜖 (1+𝜖)(1+𝜉)

1+𝜖+𝜉=1

𝜖→0,𝜉→0lim

1+ϵ 1+ξ ≈1+ϵ+ξ

八

𝑥−𝜇1 2

𝑓𝐹1 𝑥 =exp−,22𝜎2𝜋𝜎 11

1

𝑓𝑍 𝑧 =

+∞

+∞−∞

(𝑦−𝜇2)2

𝑓𝐹2 𝑦 =exp− 22𝜎2𝜋𝜎 22

1

𝑓𝐹1 𝑥 𝑓𝐹2 𝑧−𝑥 𝑑𝑥

𝑥−𝜇1 2 𝑧−𝑥−𝜇2 21= exp−⋅exp−𝑑𝑥 222𝜎12𝜎2 2𝜋𝜎2−∞ 2𝜋𝜎1

+∞22 2222 𝜎21+𝜎1𝜇1𝜎2+𝑧𝜎1−𝜇2𝜎1(𝑧−𝜇1−𝜇2)2

= exp⁡{− −}𝑑𝑥 22 x−22222𝜋𝜎1𝜎2−∞2𝜎1𝜎2𝜎2+𝜎12(𝜎1+𝜎2)

1𝑧𝜎1−𝜇2𝜎1

（令x−𝜇1𝜎2+=2𝜎+𝜎22

1

2

2

2

𝜎1𝜎2𝑡2+𝜎2 𝜎12

）

1(𝑧−𝜇1−𝜇2)2𝜎1𝜎2=exp⁡−⋅2𝜋⋅ 22222𝜋𝜎1𝜎22(𝜎1+𝜎2) 𝜎1+𝜎2

(𝑧−𝜇1−𝜇2)2

=exp⁡− 22222(𝜎+𝜎)1 2𝜋 𝜎1+𝜎22

122𝐹1+𝐹2~𝑁（𝜇1+𝜇2,𝜎1+𝜎2）

九

𝐸 𝑒𝑅 =

1+∞

+∞

𝑒𝑥

1

−∞

2𝜋𝜎exp−

𝑥−𝜇 2

2𝜎2

𝑑𝑥

𝑥−𝜇−𝜎2 2−2𝜇𝜎2−𝜎4= exp−𝑑𝑥 22𝜎2𝜋𝜎 −∞

𝑥−𝜇−𝜎2 21𝜎2+∞

=exp⁡(𝜇+) exp−𝑑𝑥

2−∞2𝜎2 2𝜋𝜎𝜎2=exp⁡(𝜇+)

2十

𝑡−𝜇 2

F 𝑋 =P R<𝑥 = exp−𝑑𝑡 22𝜎2𝜋𝜎 −∞

1

𝑡−𝜇 2𝛾x1F Y =P γR<𝑥 =P R< = exp−𝑑𝑡 2𝛾2𝜎 2𝜋𝜎−∞

𝑥𝛾

𝑥

𝑥

令𝑡= ,则t∈(−∞,)⇒s∈(−∞,x)

𝛾

𝑠

𝑠−𝛾𝜇 2

F 𝑌 = exp−𝑑𝑠 2𝜎22𝛾2𝜋𝛾𝜎−∞ 1

γR~N(γμ,𝛾2𝜎2)

𝑥