离散频谱校正技术

经FFT得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。从理论上分析，加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4％，即使加其它窗时，也不能完全消除此影响，如加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%，相位误差更大，高达90度。

目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱能量重心校正法，第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法，第三种方法是FFT+DFT谱连续细化分析傅立叶变换法，第四种方法是相位差法，这些方法各有其特点。在相位差校正法中，有时移法、缩短窗长法和综合法。

1．比值校正法

这种方法利用频率归一化后差值为1的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出校正频率，进而进行幅值和相位校正。解方程求校正频率的方法是多样化的，直接导出公式的方法称比值公式法，利用迭代求解的方法称为比值迭代公式法，用搜索求解的方法称比值峰值搜索法。研究表明，加Hanning窗的比例校正法精度非常高，频率误差小于0.0001f，幅值误差小于万分之一，相位误差小于1度。 （1）频率校正

频率校正即求出主瓣中心的横坐标。设窗函数的频谱函数为

fx，fx对称于y轴，见图3.1.1。对于任一x，窗谱函数为fx，

离散频谱为yx；对于任一x1，窗谱函数为fx1，离散频谱为

yx1，构造v为间隔为1的两点fx、fx1的比值函数，由fx、fx1、yx和yx1就能求出x。由于f(x)的函数表达式为已知，故

可构造一函数

图3.1.1 窗函数的频谱函数 vF(x)yf(x)x

f(x1)yx1 (3.1.1)

v是间隔为1的两点的比值，是x的函数，对上式解出其反函数：

xg(v)

校正频率为：

(3.1.2)

即求解谱线校正量xkx，这种方法称为比值公式法。

fx(kk)fs N (3.1.3)

式中，kk0,1,2,,N/21为谱线号，N为分析点数，fs为采样频率。

（2）幅值校正

设窗函数的频谱模函数为fx，主瓣函数为：

yAf(xx0)

(3.1.4)

这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A为真实幅值，对应主瓣中心x0，现将yyk，xk代入式(3.1.4)得：

ykAf(kx0)

1

(3.1.5)

式中kx0k，故可解出A值：

A（3）相位校正

yk f(k) (3.1.6)

谱分析所用窗函数都不是对称于y轴的，都要向右平移N/2点，其频谱函数相对于y轴来说有一个相移因子e i  N2，相移角为：

k

(3.1.7)

这表明窗函数的相位是线性的(图2.3.2)。

信号频谱函数与窗函数的频谱函数作复卷积时是复数相乘，相位角相加。由图5.2.3可以看出，频率误差为半个谱线间隔时，相位误差将达到90，这说明FFT的实部与虚部所得到的相位如果不加校正则完全是不能用的。

由频率校正得到谱线校正量后，相位校正量为：

k

当实部为Rk，虚部为Ik时，真实相位角为

(3.1.8)

tan1窗函数都具有相同的相位校正公式。

（4）几种典型窗函数的比值校正 a. 矩形窗的比例公式校正方法 矩形窗的定义为：

Ik Rk (3.1.9)

w(n)1n0,1,2,,N1

其频谱函数为：

(3.1.10)

sin(W()N)j N 12e2sin()2 (3.1.11)

k的取值范围为[-1,+1]区间，当N1，1N0，所以存在下列简化条件：

sin(kk)NN

(3.1.12)

由以上简化条件，将归一化频率2k，带入(3.1.11)，同时用x替换k得其频谱模函数为： N

(3.1.13)

sin( x) x

根据式(3.1.10)和式(3.1.13)构造如下的修正比例函数：

f(x)

2

vF(x)由上式可以求出频率修正量：

f(x)sin( x)(x1)x1

f(x1) xsin[(x1)]x (3.1.14)

x式(3.1.14)也可以直接变为：

1k 1v (3.1.15)

xf(x)(x1)f(x1)0 (3.1.16)

上式表明，在式(3.1.13)所代表的曲线上任取两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，当x2x11时，两点都在主瓣

内，就相当于谱线抽样的情形，见图3.1.2，于是可得矩形窗的重心定理：幅值谱主瓣内两条相邻谱线的重心为主瓣中心，对应的频率为信号的准确频率。

将式(3.1.15)代入式(3.1.6)，可得矩形窗的幅值校正公式：

A kyk

sin( k) (3.1.17)

由式(3.1.9)可知矩形窗的相位角时，

N1，当N很大2N1N ，故仍可用式(3.1.8)和式(3.1.9)进行相位校正。22 图3.1.2 矩形窗的重心定理 b. 哈宁(Hanning)窗的比例公式校正方法 哈宁窗的定义为：

w(n)a(1a)cos(其频谱函数为：

2 n) N (3.1.18)

NN2N2sinsinsinN 1ai 2222W()ae N2N22sinsinsin22N2N式中a0.5，将归一化频率函数为：

(3.1.19)

2k和式(3.1.12)的简化条件代入式(3.1.19)，并用x替换k得其频谱模Nf(x)asin x1asin[ (x1)]sin[ (x1)] x2 (x1) (x1)sin xa(12a)x2  x1x2式(3.1.20)中，当x0时，f(x)a；当x1时，f(x)个谱线间隔，(-2，+2)区间为主瓣。

(3.1.20)

1a，其图形如图3.1.3所示，主瓣宽度为42 3

令ca，则式(3.1.20)可写为： 12asin xx2cf(x)(12a)2 x1x

将上式代入式(3.1.1)构造如下修正函数：

f(x)x2x2cvF(x)

f(x1)1x(x1)2c(3.1.21)

图3.1.3 Hanning窗的频谱函数 由于哈宁(Hanning)窗a0.5，则c，上式右边第二项为1，这时有：

vF(x)解出f(x)的反函数

f(x)x2

f(x1)1x (3.1.22)

xg(v)v2k v1 (3.1.23)

这就是哈宁窗的频率校正函数。式(3.1.22)也可写成：

(x1)f(x)(x2)f(x1)0

这表明哈宁窗的主瓣函数式(3.1.20)，有如下性质：在曲线上任取两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，当两点x坐标差为1时，将左

(3.1.24)

边点左移一格，右边点右移一格，这时两点的重心在坐标原点，

)和(x1,y见图3.1.4。图中的(x2,y12)点重心在坐标原点，

对应到幅值谱中则重心处的频率为信号真实频率，这可称为哈宁窗的重心定理。

将式(3.1.23)代入式(3.1.6)，可得哈宁窗幅值校正公式：

(3.1.25)

图3.1.4 Hanning窗的重心定理 A2 k(1k2)yk

sin( k)相位校正同矩形窗。 (5) 仿真计算 用计算机产生式(3.1.35)的函数，采样频率为1024Hz，作1024点FFT后，频率间隔为1Hz，单边幅值谱的准确幅值为1，这样便于观察校正误差。分析结果及校正结果见表图3.1.5、图3.1.6。 ytcos2143.2t10/180cos2163.4t20/180 cos2385.7t30/180 (3.1.35) 当频率间隔较远时，如本例中383.4Hz这个频率成分，采用哪种窗的校正精度都很高，频率和幅值的误差在0.2％以内，相位误差也较小。当两频率越靠近，校正精度越差，本例中143.2和163.4Hz这两个频率相隔20条谱线，频率和幅值的校正误差略有增大，不加窗时已超过0.5％，但加窗后的误差仍在1％以下。从理论分析，当两个频率的间隔过小，由于主瓣重叠，此方法根本不适用。 2.能量重心校正法

4 图3.1.6 校正频谱 图3.1.5 未校正频谱 (1) 常用窗函数的能量特性

以下以Hanning窗为例，研究频谱分析中窗函数的能量特性。Hanning窗的定义为：

W(n)0.50.5cos(2n/N)n0,1,2,,N1

其频谱模函数为：

(3.2.1)

y(x)2sin(x)1 2x2(1x) (3.2.2)

令功率谱函数G(x)y(x)，则有：

sin2(x) G(x)22224x(1x) (3.2.3)

图3.2.1 Hanning窗功率谱模函数 如图3.2.1所示。对任意一确定值x，G(x)满足下式：

inG(xi)(xi)0nnn0,1,,

(5.3.1)

证：

inG(xi)(xi)nnsin2((xi))4(xi)1(xi)22in22(xi)

(3.2.5)

sin2(x)11422 222xixi1xi116(xi1)(xi1)insin2(x)sin2(x)22216(nx)(nx1)162(nx)2(nx1)2显然，当n时，G(xi)(xi)0成立。

inn(5.3.1)式表明，Hanning窗离散频谱的能量重心无穷逼近坐标原点。由于Hanning窗旁瓣的功率谱值很小，根据其能量重心的特性，若令x[0.5,0.5]范围内，就可以用主瓣内功率谱值较大的几条谱线精确地求得主瓣的中心坐标。

对于矩形窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗等常用的窗函数而言，当n足够大时，离散窗谱的能量重心都在原点附近，其数学证明繁琐，在此省去推导过程。

(2) 能量重心法校正频率、幅值和相位的原理

设图3.2.2中的Hanning窗频谱主瓣模函数的平方为：

图3.2.2 Hanning窗谱频率校正 sin2((xx0)) YA22224(xx0)[1(xx0)] (3.2.6)

相当于式(3.2.3)乘以系数A并平移到xx0处，x0和A分别为分析信号的频率和幅值，Y0为主瓣内谱线

5

最大值。根据Hanning窗的能量重心特性有：

inY(xxinn0i)0

(3.2.7)

化简上式有：

inY(xxi0i)inY(xi)Yxiiinnn00

(3.2.8)

根据式(3.2.8)就可求得主瓣的中心：

x0inY(xi)iinnYnn0,1,

(3.2.9)

i式(3.2.9)就是加Hanning窗时单谐波信号谱分析的频率精确校正公式。设采样频率为fs，作谱点数为N，主瓣内峰值的谱线号为m，Yi为功率谱第i条谱线值，x0为主瓣中心，由式(3.2.9)就能得到能量校正法校正频率的通用公式：

nx0inY(mi)fiinns/Nn0,1,

(3.2.10)

Yini对幅值的校正，由帕斯瓦定理知，

inY就是主瓣峰值处功率谱的理论值(应考虑窗函数的能量恢复系数，

n取1时即为三点卷积幅值校正)，因此很容易求得信号的校正幅值，设能量恢复系数为Kt，则校正后的幅

值为：

AKtYi

inn (3.2.11)

由式(3.2.10)知，设归一化频率的校正量为x，则有：

x(x0mfs/N)/(fs/N)

(3.2.12)

根据对称窗函数相位特点，频率校正量为x时，相位的校正量应为：

x

(3.2.13)

设信号FFT的实部为Rm，虚部为Im，则校正后的相位为：

mtg1(Im) Rm (3.2.14)

以上就是Hanning窗的频率、幅值和相位的校正。在实际应用中，n不可能取无穷大，由于Hanning窗的旁瓣衰减很快，仿真研究表明，当n取1时，其频率校正就能达到很高的精度。如果要得到更高的校正精

6

度，可根据实际情况，适当增加n的值。

根据对称窗函数离散频谱的能量重心特性，数值计算表明，以上校正公式同样适用于其它窗，只是精度不同，选择的点数不同。

(3) 常用窗函数能量重心校正法误差分析 a.矩形窗

在频谱分析中，矩形窗的定义为：

W(n)1其功率谱模函数为[5]：

n0,1,N1

(3.2.15)

sin2(x)Y(x)

2x2 (3.2.16)

根据公式(3.2.2)，当n取1，x[0.5,0.5]时，可以求得能量重心校正法对频率校正的绝对误差：

Efxi1Yi(xi)i11Yi1xY(x1)(x1)Y(x)xY(x1)(x1) Y(x1)Y(x)Y(x1) (3.2.17)

能量重心校正法对幅值校正的绝对误差：

EA1KtYi(xi)1Kt[Y(x1)(x1)Y(x)xY(x1)(x1)]

i11

由于矩形窗的旁瓣衰减很慢，当n取1或2时，能量重心法对矩形窗谱的频率校正绝对误差仍然很大，

如图3.2.3所示。

图3.2.3 矩形窗谱频率校正绝对误差 图3.2.4 Hanning窗谱频率校正绝对误差 b.Hanning窗

Hanning窗功率谱模函数如图3.2.1所示，其旁瓣衰减很快，能量主要集中在主瓣内，因此能量重心法的校正精度很高。图3.2.4是当n取1和n取2时，对频率校正的绝对误差曲线。 (4) 仿真实例

用计算机生成如式(3.2.20)的信号，采样频率为1024Hz，作谱点数为1024，频率间隔(频率分辨率)为1Hz，选用Hanning窗。

y(t)cos(25.2t40/180)cos(2123.4t20/180)cos(2128.2t30/180)cos(2256.3t10/180)

(3.2.18)

图3.2.6是加Hanning窗n1 (三点卷积)时频谱的校正前后谱图对比，从图表中可以得出以下结论：

7

a. 对间隔较远的频率成分，如本例中的5.2Hz和256.3Hz，谱的能量重心法对频率、幅值和相位的校正精度很高，与误差理论曲线相符合。

b. 由于能量重心法是采用功率谱曲线校正，突出了主瓣内幅值大点的影响，相对而言对负频率成分的抗干扰能力强，本例中频率为5.2Hz的信号证明了这一点。

c. 当两个频率越靠近，由于旁瓣的干涉，校正精度降低，本例中123.4Hz与128.2Hz这两个频率相隔4.8条谱线，使123.4Hz的信号校正误差增大。从理论上分析，当两个频率的间隔小于4个频率分辨率时，由于主瓣重叠，

此方法的校正精度将明显降低。由于能量重心法是采用功

图3.2.6频谱能量重心法校正结果(Hanning窗,n=1) 率谱曲线校正，突出了主瓣内幅值大点的影响，两个频率

靠近时的校正精度比比值法高。

d. 参与校正点数n越多，对单频率成分的校正精度越

高，但要求相邻两个谱峰的频率间隔越大。如把本例中的第二个频率成分123.4Hz变为125.2Hz，与128.2Hz的频率成分只间隔3条谱线时，对理论频率为128.2Hz，幅值为1，相位为20度的这个频率成分，校正点数n1时仍具有较高的精度，频率误差为0.01337个频率分辨率，幅值误差为0.631%，相位误差为2.472度；校正点数n2时误差就非常大，频率误差为0.4937个频率分辨率，幅值误差为13.558%，相位误差为99.4147度。

(5) 讨论

a. 频谱分析的能量重心校正方法，可大大提高离散频谱的分析精度，为精确测量信号的参数提供了一种有效的手段。与其它校正方法相比，此方法能对多段平均功率谱直接进行校正，算法简单，计算速度快，负频率成分和间隔较近的多频率成分产生的干涉现象所带来的误差对精度的影响小，校正方法不依赖于窗函数，解决了三点卷积幅值校正法不能校正信号频率和相位的缺点。

b.校正精度与窗函数有关。加Hanning窗时具有较高的校正精度，由于矩形窗谱的能量泄漏严重，校正精度较低。

c.校正精度与参与校正的点数有关。点数越多，对单频率成分的校正精度越高，但要求相邻两个谱峰的频率间隔越大。在工程应用中，对噪声小的信号，推荐加Hanning窗n1(三点卷积法)的方法进行校正，频率间隔大于等于4个频率分辨率的信号校正后的幅值误差小于1%，频率误差小于0.01个频率分辨率，相位误差小于5度；对噪声大或要求分析精度高的信号，可以增大点数，但要求相邻两个谱峰的频率间隔要大一些。

d.这种方法不适用于频率过于密集的分析场合或连续谱。

3 FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换

FFT谱是离散傅立叶变换的一种特殊情况，它大大提高了运算速度，但频率分辨率受到一定限制。通过细化FFT可在一定程度上提高频率分辨率，但细化j倍，必须加长采样数据长度j倍。当采样数据恒定或对瞬态信号分析时，要提高频率分辨率，常规FFT就无能为力了。

离散的傅立叶变换也有频率分辨率的限制，且运算速度较慢，所以目前国内外的信号处理设备都采用FFT进行频率分析，而不用一般的离散傅立叶变换。在不增加采样数据长度的前提下，将离散的傅立叶变换频域曲线，变成连续曲线，理论上是可行的，它克服了频率分辨力的限制，但计算工作量大大增加。随着计算机技术的迅速发展，计算机运算速度越来越快，利用连续的傅立叶变换频域曲线，对FFT谱指定的一个频率区间f1,f2进行细化谱分析，是完全可行的，且具有十分重大的工程意义。 （1）傅立叶变换对FFT谱部分区间进行细化的算法 对于式(4.5.8)的DFT傅立叶变换可用实部和虚部表示：

8

1N1XR(f)xkcos(2kn/N)Nk01N1XI(f)xksin(2kn/N)Nk0FFT谱是上述离散傅立叶变换的一种特殊情况，即N叶变换可采取递推的快速算法。

以上变换，频率分辨率为f分辨率无法再提高。

时间序列xt中已含有从0至(3.3.2)变为：

n0,1,2,,N/21 n0,1,2,N/21

(3.3.1)

(3.3.2)

2M(M为正整数)时的情况，在这种情况下，傅立

fs/N，与采样频率fs成正比，与采样点数成反比，N为一定时，频率

fs/2的频域信息，所以如果用连续的傅立叶变换对谱进行计算，把频谱

曲线看成连续的，即把式(3.3.1)和式(3.3.2)中的n看作一个在区间0nN/2内的连续实数，则式(3.3.1)、

1N1XR(f)xkcos(2kf/fs)Nk00ffs/2

(3.3.3)

1N1XI(f)xksin(2kf/fs)Nk0对指定的一个频率区间f1,f2，包含在区间的步骤如下：

a.确定频率分辨率 b.确定计算频率序列

0ffs/2

(3.3.4)

这时频率分辨率已不受采样点数的限制，f是一个连续的频率。

0,fs/2内，用式(3.3.3)和式(3.3.4)进行L点等间隔谱分析

ff2f1/L

(3.3.5) (3.3.6)

f1,f1f,f12f,,f1Mff2

c.用式(3.3.3)和式(3.3.4)进行L1点实部和虚部计算，并合成幅值谱和相位谱。

用此法计算全景谱速度较慢，故采用FFT法计算全景谱。在用FFT谱作出全景谱的前提下，对某些感兴趣的范围用式(3.3.3)、(3.3.4)进行细化，细化密度可以任意设定。但特别要指出的是这种细化方法与传统的复调制细化方法(ZOOM)不同，由于没有加大窗的长度，所以仅能对信号局部频率的幅值和相位细化运算，而不能将已经非常密集、幅值和相位相互叠加的频率成分分离开。

（2）仿真计算

用计算机产生式(3.3.7)的函数，采样频率为1024Hz，作1024点FFT后，频率间隔为1Hz，单边幅值谱的准确幅值为1。分析结果及校正结果见表3.3.1。

y(t)cos(2143.2t10/180)cos(2163.4t20/180) +cos(2385.7t+30/180)

(3.3.7)

采用实型FFT算法，对于多频率成分信号，在加矩形窗时，由于旁瓣相互藕合作用的影响，FFT+DFT细化算法与比例法校正精度基本相同，但其相位精度要高一些；在加Hanning窗时，由于旁瓣衰减率非常大，校正精度会有较大改进。

表3.3.1 多频率信号FFT+DFT细化谱分析结果

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矩形窗 理论值 实数FFT谱 细化谱 频率(Hz) 143.2 143 143.200 幅值 1.000 0.944 1.00833 相位(度) 10 -26.72 10.305 频率(Hz) 163.4 163 163.400 幅值 1.000 0.753 1.00798 相位(度) 20 -177.54 19.586 频率(Hz) 387.7 387 383.400 幅值 1.000 0.862 1.00318 相位(度) 30 23.97 29.890

（3） 结论

a.FFT+DFT谱连续细化分析傅立叶变换的实质是用FFT作全景谱，针对要细化的局部再用改进的连续DFT进行运算，以得到局部细化精度极高的频谱。

b.这种方法可以在不增加采样长度的前提下，大大增加频率分辨力，提高谱值和相位的计算精度。虽然与FFT方法相比速度下降了很多，但在现阶段微机速度飞速提高的基础上，采用分段细化的方式，增加的计算时间是可以接受的。但平均段数较大时，增加的计算时间就太长了，所以应该研究增快计算式(3.3.3)和式(3.3.4)速度的各种算法。

c.仿真计算表明，矩形窗细化谱的频率误差小于0.1％，幅值误差量级也仅有0.5％左右，相位误差在0.5度之内。

d.这种细化方法与传统的复调制细化方法(ZOOM)不同，由于没有加大窗的长度，所以仅能对信号局部频率的幅值和相位细化运算，而不能将已经非常密集、幅值和相位相互叠加的频率成分分离开。

4 相位差法

相位差校正法有三种方法：第一种方法是改变窗长法，只采样一段时域信号，对这一段序列分别进行N点和M点的FFT分析，利用其相位差进行频谱校正[8]；第二种方法是时域平移法，采样长度为LN点，从该段第0点起，取N(通常为1024)点，得到一时间序列；从该段信号第L点起(时间平移L点)，取N点，得到另一时间序列，分别对两段序列进行N点的FFT变换，利用对应峰值谱线的相位差进行频谱校正的方法；第三种方法是综合校正法---时域平移+改变窗长法，第二段时域序列比第一段滞后L点，对这两段时域分别作N点和M点的FFT(或DFT)分析，利用对应峰值谱线的相位差进行频谱校正的方法，该方法适用于加各种对称窗情况下的离散频谱校正。

(1) 时域平移法 a 校正原理[10]

对加长度为T的对称窗wt的谐波信号xt进行傅立叶变换，根据第五章第二节的推导有

图3.4.1.用于分析的两段单频率成份信号的时域波形 10

F[x(t)wT(t)]F[x(t)]F[wT(t)]AA{ej(ff0)ej(ff0)}{W(f)ejfT} 22AAW(ff0)ej[T(ff0)]W(ff0)ej[T(ff0)]22加窗后的相位为

(3.4.1)

T(ff0)

设频率误差fff0，式(3.4.2)表示为

(3.4.2)

Tf

(3.4.3)

将连续信号xt向左平移t0得x0t，根据傅立叶变换的性质得x0t的相角为

02f0t0

此时，对

(3.4.4)

x0(t)wT(t)作FFT分析，根据上述推导同理得

0Tf2f0t0

(3.4.5)

式(3.4.5)减式(3.4.3)，求相位差得

02t0ff

由此可得其频率修正量为

(3.4.6)

f2t0f

2t0 (3.4.7)

上面所有推导没有具体利用哪一种窗函数，所以这种校正方法适用于所有的对称窗函数。 b 离散频谱校正实现方法

 对信号xt进行离散采样，采样频率为fs，采一段信号长度

为LN点，从该段第0点始，取N(通常为1024) 点，得到时间序列xnn0,1,2,N1；从该段第L点开始， 对时间序列xn作N点FFT分析。对应谱线号

取N点，得到时间序列x0nn0,1,2,N1。

ii0,1,2,N1，设频率校正量为fidifs/N，其

中di为归一化的谱线号修正量。TN/fs，根据式(3.4.3)，

有

图3.4.2.两段信号加窗作谱后相位比较 Ndifs(i)Tfdi

fsN(3.4.8)

 对序列x0n作N点FFT分析。对应于谱线号i，由式(3.4.5)有

0(i)Tf2f0t0idifsL2LidiNdifs2di

fsNNfsN11

(3.4.9)

 根据相位差，求出频率修正量。对于谱线号i有

0(i)(i)2f0t02Li2Ldi2Lidi NNN

(3.4.10)

di令2i2Li/N

2L/N (3.4.11)

L，由于相位是在,之间，周期为2，所以可能超过,这一区间，N所以在实际计算中应取除以2后的余数：

fmod(,2)

再作如下调整

(3.4.12)

22此时要式(3.4.11)成立，必须满足

()

() (3.4.13)

|2Ldi| N (3.4.14)

其中|di|0.5，所以参数应满足

0LN

满足式(3.4.15)后，最后得

(3.4.15)

di2Li/N

2L/N (3.4.16)

 校正其频率、幅值和相位。 校正的频率为

fiifs/Ndifs/N(idi)fs/N

序列FFT分析的幅值，校正后的幅值为[3-4]

(3.4.17)

当知道窗谱函数表达式时，可进行幅值校正。设窗函数的频谱模函数为Wx，yi为谱线号i对应的原始

Aiyi

W(di) (3.4.18)

根据第五章第二节的推导，设信号FFT的实部为Ri，虚部为Ii，由对称窗函数相位特点，归一化频率校正量为di时，则校正后的相位为

itg1(Ii)di Ri (3.4.19)

c 讨论

 提出了一种通用的时移相位差离散频谱校正方法：将采样时域序列前N点构造第一段序列，然后从

采样序列的第L点始，取N点作为第二段序列，分别对两段序列进行FFT分析，利用对应峰值谱线的相位差进行频谱校正的通用方法。与其它校正方法相比，此方法具有很好的通用性，其校正方法不受所加窗函数不同的影响，算法简单，计算速度快。文献[9]中提出的采连续两段时域信号的相位

12

 

 

差校正法，是这种方法当LN时的一个特例。与只采样一段时域信号，然后这一段序列进行N点和N/2点的FFT分析的相位差方法[8]相比较，其两次作FFT的点数相同，避免了不同长度FFT分析的复杂程序和寻找对应谱线号的过程。

校正精度与点数L选取有关，尤其对密集频率成份或负频率干涉影响更加显著。L点数越大，校正精度提高，但L必须小于N。

在加大噪声时，校正精度与L点的选取有很大关系，L点越大，精度越高。因此，为了获得较高的校正精度，L应选取更大的点数。当点数足够大时，负频率成分和间隔较近的多频率成分产生的干涉现象所带来的误差对精度的影响小，这种方法的抗噪声干扰的能力较强。

校正精度与窗函数有关。加Hanning窗时具有较高的校正精度，由于矩形窗谱的能量泄漏严重，校正精度较低。

这种方法不适用于频率过于密集的分析场合或连续谱。

(2) 改变窗长法 a 校正原理[10]

对加长度为T的对称窗wt的谐波信号xt进行傅立叶变换,设f1为信号峰值处的频率，根据式3.4.3的推导，在信号峰值处的相位为

1T(f1f0)

设频率误差为ff1f0，式(4.7.21)表示为

(3.4.21)

1Tf

(3.4.22)

同理对x(t)相同的对称窗w0(t)，窗长T/2函数，wT0(t)由对称窗w0(t)在时间上平移T/4得到

wT0(t)w0(tT/4)

此时，对

(3.4.23)

x0(t)wT0(t)作FFT(或DFT)分析，根据前面的推导，设f2为信号峰值处的频率，为由此

2可得，在信号峰值处的相位为

T2(f2f0)

(3.4.24)

其中f0f1f，式(3.4.22)减式(3.4.24)，求相位差得

12由此可得其频率修正量为

Tf2T2(f2f1) (3.4.25)

fT(f2f1)/2

T/2 (3.4.26)

上面所有推导没有具体利用哪一种窗函数，所以这种校正方法适用于所有的对称窗函数。 b 离散频谱校正实现方法

 对信号x(t)进行离散采样，采样频率为

fs，采样点数为N。

 分别对x(n)作N点FFT(或DFT)分析和N/2点FFT，加相同的对称窗。第一段的峰值谱线号i，设

频率校正量为fidifs/N，其中di为归一化的谱线号修正量，其取值范围为[-0.5，0.5]，第二段FFT(或DFT)后与i对应的峰值谱线号为j，T

N/fs，由式(3.4.26)得到的相位差为

13

di2(2ji)2 (3.4.27)

 根据相位差，求出频率修正量。对于谱线号i有

di2( 校正其频率、幅值和相位。 校正的频率为

i2)/

(3.4.28)

fiifs/Ndifs/N(idi)fs/N

(3.4.29)

当知道窗谱函数表达式时，可进行幅值校正。设窗函数的频谱模函数为W(x)，序列FFT分析的谐波峰值的幅值，校正后的幅值为

yi为谱线号i对应的原始

(3.4.30)

Aiyi

W(di)

根据第五章第二节的推导，设信号FFT的实部为Ri，虚部为Ii，由对称窗函数相位特点，归一化频率校正量为di时，则校正后的相位为

Iiitg()di

Ri1 (3.4.31)

这种方法的特点为：(1) 这种方法的精度较高，速度快，但由于第二段频谱分析的长度缩减了一半，所以当频率成分间隔较近时，其误差较大。(2) 只需采一段时间信号，不必考虑窗函数，其通用性较好。(3) 这种方法仍然无法消除频谱干涉带来的误差，因此不适用于密集频率成分的重叠频谱分析。

(3) 综合校正法---时域平移+改变窗长法时域平移法 a 校正原理[10]

设f1为谐波信号离散频谱谱峰处的频率，对加长度为T的对称窗wt的谐波信号xt进行傅立叶变换，推导加窗后的相位为

1T(f1f0)

设频率误差ff1f0，式(3.4.32)表示为

(3.4.32)

1Tf

(3.4.33)

将连续信号xt向前平移1T得x0t，其中10，根据傅立叶变换的性质得x0t的相角为

02f01T2(f1f)1T

(3.4.34)

wT0(t)由对称窗w0(t)在时间上平移2T/2得加相同的对称窗函数w0(t)，其窗长为2T(20)，

到

wT0(t)w0(t2T/2)

此时，对

(3.4.35)

x0(t)wT0(t)作FFT(或DFT)分析，根据前面的推导，同理得

14

22T(f2f0)2(f1f)1T

其中f0fif，式(3.4.33)减式(3.4.36)，求相位差得

(3.4.36)

12Tf[2T(f2f0)2(f1f)1T]2T(f2f1)2f11T(2211)Tf由此可得其频率修正量为

(3.4.37)

f上式中，必须保证

2f1T2T(f2f1)

(2211)T (3.4.38)

(3.4.39)

上面所有推导没有具体利用哪一种窗函数，所以这种校正方法适用于所有的对称窗函数。 b 离散频谱校正实现方法

 对信号xt进行离散采样，采样频率为fs，采样点数为Max(N，M+L)，其中第一段序列xn的起

点为0，点数为N，第二段序列x0n的起点为L，点数为M。即1L应满足式(3.4.39)。

 分别对xn和x0nFFT(或DFT)分析，加相同的对称窗。第一段的峰值谱线号ii0,1,N1，

设频率校正量为fidifs/N，其中di为归一化的谱线号修正量，其取值范围为[-0.5，0.5]。第二段FFT(或DFT)后与之对应的峰值谱线号为j，TN/fs，根据式(3.4.33)和(3.4.36)，有相位差

22110

N，2MN，注意

1(i)2(j)2T(f2f1)2f1T(2211)fTM(jiLM2L)2i(1)diMNNNN

(3.4.40)

 根据相位差，求出频率修正量。对于谱线号i有

2idi 关于相位取值问题的讨论 令2iLjiM()NMN M2L(1)NN (3.4.41)

LjiM()，由于相位是在,之间，周期为2，所以可能超过NMN,这一区间，所以在实际计算中应取除以2后的余数：

fmod(,2)

再作如下调整

(3.4.42)

22此时要式(3.4.43)成立，必须满足

()

() (3.4.43)

15

|(M2L1)di| NN (3.4.44)

其中|di|0.5，所以参数应满足

0|满足式(3.4.43)后，最后得

M2L1|2 NN (3.4.45)

diM2L(1)NN (3.4.46)

 校正其频率、幅值和相位。

校正的频率为

fiifs/Ndifs/N(idi)fs/N

序列FFT分析的幅值，校正后的幅值为[3-4]

(3.4.47)

当知道窗谱函数表达式时，可进行幅值校正。设窗函数的频谱模函数为Wx，yi为谱线号i对应的原始

Aiyi

W(di) (3.4.48)

根据第五章第二节的推导，设信号FFT的实部为Ri，虚部为Ii，由对称窗函数相位特点，归一化频率校正量为di时，则校正后的相位为

itg1(c参数选取的讨论

Ii)di Ri (3.4.49)

在本方法中，通常选取加Hanning窗，参数N,M,L的选取对校正精度有影响，同时也影响计算量大小。 一般在进行FFT(或DFT)分析，都是作基2的FFT(或DFT)分析，所以N和M应为2的幂。通常取M为

N/2、N和2N三种情况。L的选取比较灵活，一般情况下LN，这样可以缩短采样长度，提高数据的利用率。N通常为1024，所有参数选取的前提是必须满足式(3.4.46)。

当LN,MN (对应的11,21)时，就是文献[9]采用的校正方法；当L0,MN/2 (对应的10,20.5)时，就是文献[8]采用的校正方法；以上两种校正方法只是本方法的两个特例。

d 仿真研究

用计算机生成式(3.4.50)的信号，采样频率为1024Hz，作谱点数为1024，频率间隔(频率分辨率)为1Hz，选用Hanning窗，参数N1024,M512,L100时(满足式(3.4.46))，分别进行了无噪声和加随机噪声的仿真计算，随机噪声信号最大幅值为1（消除直流成分后，相当于各频率成分幅值的50%）。

y(t)cos(24.39t40/180)cos(2150.2t40/180)(3.4.50)

cos(2155.2t20.4/180)cos(2300.68t50/180)cos(2213.5t60/180)

16

图3.4.5是加Hanning窗无噪声时频谱的校正前后对比结果。从图表中可以得出以下结论：

(1) 对间隔较远的频率成分，如本例中的213.5Hz和300.68Hz，这种相位差法对频率、幅值和相位的校正精度很高，频率最大误差为0.000015个频率分辨率，幅值误差为0.0006%，相位误差为1.083度。

(2) 加Hanning窗时，采用这种校正方法，负频率成分的干涉影响较小[6]，本例中频率为4.39Hz的信号的校正精度很高。

(3) 当两个频率越靠近，由于旁瓣及主辨的干涉[6]，其幅值和相位误差都很大，采用这种相位差法校正精度 有所降低。本例中150.2Hz与155.2Hz这两个频率成分，

图3.4.5 加Hanning窗无噪声校正前后谱图对比 频率最大误差为0.01879个频率分辨率，幅值误差为0.596%，相位误差为3.4095度。从理论上分析，这两个

频率成分，对第一段FFT(或DFT)而言，此时两频率相差5条谱线；对于第二段FFT(或DFT)而言，此时两频率相差2.5条谱线，已发生主瓣重叠，所以校正精度将明显降低。但当两个频率的间隔对于两段FFT(或DFT)而言都大于4条谱线时，不会发生主瓣重叠，其校正精度仍较高。

e 讨论

 提出一种利用相位差的离散频谱综合校正法---时域平移+改变窗长法：第二段时域序列比第一段滞后

L点，对这两段时域分别作N点和M点的FFT(或DFT)分析，利用对应峰值谱线的相位差进行频谱校正的方法，该方法适用于加各种对称窗情况下的频谱校正。与其它校正方法相比，此方法具有很好的通用性，其校正方法不受所加窗函数不同的影响，算法简单，计算速度快。此方法是一种通用的校正方法，文献[9]和文献[8]提出的校正方法只是此法的两个特例。

 负频率成分和间隔较近的多频率成分产生的干涉现象所带来的误差对精度的影响小，这种方法的抗

噪声干扰的能力较强。

 校正精度与窗函数有关。加Hanning窗时具有较高的校正精度，由于矩形窗谱的能量泄漏严重，校

正精度较低。

 这种方法不适用于频率过于密集的分析场合或连续谱。

17