第3讲 长方体与正方体的体积

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长方体和正方体的体积计算是我们第一次接触立体几何图形的体积也是学习其他立体图形的基础，并且在各种竞赛试题中经常出现。对于这部分的学习应该把握以下几点： 1. 长方体、正方体基本体积计算公式：V长=a×b×c，V正=a3是学习的基础，拓展的前

提。 2. 由长方体、正方体的体积计算公式推广到一般立体图形的计算V=S底×h。 3. 基本方法：①直接运用公式，②割补，③体积不变规律。

例1 一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，棱长总和是96厘米，求它的体积。 分析： 根据长方体体积计算公式V长=a×b×c，我们必须知道该长方体的长、宽、高。根据题目意思，我们可以知道三者的和（a＋b＋c）为96÷4=24厘米，那么本题的关键就是根据长、宽、高的数量关系求出a、b、c。 解：方法一：96÷4=24（厘米）

24÷（1＋2＋2×1.5）=4（厘米）……高

V=（4×2×1.5）×（4×2）×4=384（立方厘米）

方法二：设高为x厘米，则宽为2x厘米，长为1.5×2x=3x厘米，根据题目 4×（3x＋2x＋x）=96 x=4 所以，2x=8，3x=12。

V=4×8×12=384（立方厘米）。

答： 该长方体的体积是384立方厘米。

例2 长方体三个侧面分别是2、3、6，求它的体积。

32z6yx

分析： 本题只知道三个面的面积，若是求表面积，则十分简单。但这里是求体积，这里就需要我们发现其中的内在关系。

解： 设长方体的交于一点的三个棱长分别为x、y、z（如图）。根据题目 xy=3 ①

yz=2 ② xz=6 ③

①×②×③得（xyz）2=36，即xyz=6。

答： 长方体的体积是6。

例3 将表面积分别为54，96，150平方厘米的三个铁块熔化成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体体积和表面积。

分析： 因为正方体的六个面都相等，54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱长为3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长，96=6×（4×4），棱长为4厘米。150=6×（5×5），棱长为5厘米。知道棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积等于他们的体积和。而表面积呢？就需要我们用求第一个正方体棱长的方法，先求出棱长来。

解： 因为54=6×9=6×（3×3），96=6×（4×4），150=6×（5×5） 所以这三个小正方体铁块的棱长为3、4、5厘米。 大正方体的体积V=33＋43＋53=216（立方厘米） 而216=63，即大正方体的棱长为6厘米 表面积：6×6×6=216（平方厘米）

答： 这个大正方体的体积是216立方厘米，表面积是216平方厘米。

例4 如下图，从长为13厘米，宽9厘米的长方形硬纸的四个角去掉边长为3厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体的纸盒。这个纸盒的体积是多少？

33913

分析：此题只需想象形成的长方体形状，求出其长、宽、高。 解： 长方体的长是 13－3×2=7（厘米） 长方体的宽是 9－3×2=3（厘米） 长方体的高是 3（厘米） V=7×3×3=63（立方厘米） 答： 这个纸盒的体积是63立方厘米

例5 一个边长为4厘米的正方体，如果分别在它的前面、后面、左面、右面、上面和下面的中心位置去挖一个边长为1厘米的小正方体，做成一个积木，这个积木的表面积和体积各是多少？

分析： 因为大正方体边长为4厘米，挖去的小正方块边长为1厘米，因此，大正方体没有“挖通”。从而，每挖去一个小正方块，大正方体表面积就增加“小洞”内的4个侧面积，即1×1×4=4平方厘米。六个面共增加表面积4×6=24平方厘米。大正方体的体积因为没有“挖通”，所以每个面各挖一个边长为1厘米的小正方体，体积就减少6个小正方体。

解： 积木的表面积 4×4×6＋24=120（平方厘米）

积木的体积 4×4×4－6×（1×1×1）=58（立方厘米）

答： 这个积木的表面积和体积各是120平方厘米，58立方厘米。

例6 在一个长为24分米，宽9分米，高8分米的水池中注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的铁块，问水位上升了多少？

分析： 假设上升的水位能把铁块淹没，那么上升的水体的体积就是铁块排开的水的体积6×6×6=216立方分米，上升的水位为216÷（24×9）=1分米。现在水深为5分米与淹没6分米高的铁块矛盾，因此，上升的水位不能把铁块淹没。 解： 设上升了x分米，根据题意有 24×9×x=6×6×（x＋4） x=0.8 答： 水位上升了0.8分米。

例7 有一个边长为5的立方体，分割成若干个边长分别为1，2，3的小立方体。如果要求分割的结果是使小立方体的总数最少，那么，边长为1的小立方体有多少个？

分析：棱长为3的正方体只能有1个，要使边长为1的正方体尽量少，应使棱长为2的正方体尽量多。经试验，边长为2的正方体最大能有7个。 解：5×5×5—3×3×3—2×2×2×7 = 42（个） 答：边长为1的小正方体最少有42个。

例8 用四块同样的长方体和两块同样的正方体纸板做成一个长方体形状的纸箱，它的表面积为266平方分米，长方体的长、宽、高的长度都是整数分米，并且使纸箱的容积尽可能的大。求这个纸箱的容积最大是多少？

分析：画图，设长为a,宽和高相等，都为b，容易列出如下方程：4ab + 2b² = 266 再用分解因数的方法就可以找出a和b的值。

b a b 解：设长方体的长为a,宽和高相等，都为b，列方程：4ab + 2b² = 266，即 b(2a+b)=133=7×19，所以可得到 a=6, b=7, V=6×7×7=294（立方分米）

答：这个纸箱的容积最大是294立方分米。

练习三

1．把1根长2.4米的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？

2．4 米 2．下图是一个棱长1厘米的小正方拼成的立方体，在图中三个阴影正方形的位置各打一个贯穿的洞，那么剩下的体积是多少立方厘米？

3． 一个长为28厘米铁片，四个角各剪去边长为3厘米的正方形后做成无盖的铁盒，该

铁盒的容积为990立方厘米，求这块铁片的面积。

4．有一个长方体，它的底面积是一个正方形（如图），它的表面积是190平方厘米，如果将它分成两个长方体后，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积。

5．用2100个棱长为1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是1分米，长和宽都大于高，它的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。

6．一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开后，恰好是边长为20厘米的正方形，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。

5．现在要砌一个高1米砖垛，每层砖按图的样子来砌，每块砖的厚度为0.1米，每两块之间的灰膏的厚度为0.05米，问砌好这个砖垛共需要多少块砖？